江苏省淮安市浦东实验中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟 分值：120分
一、单选题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1. 如图图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于”和分式分母不为零进行计算即可得，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．
【详解】解：由题意得，，
解得且，
故选：．
4. 若把分式中的x、y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A. 不变B. 缩小到原来
C. 扩大到原来的3倍D. 扩大到原来的9倍
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知x、y都扩大到原来的3倍分别为3x，3y，然后再进行计算即可判断．
【详解】解：由题意得：x、y都扩大到原来的3倍后分别为：3x，3y，
∴，
∴分式的值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，选项错误；
B、不能合并，选项错误；
C、，选项错误；
D、，选项正确；
故选D．
6. 要了解一批灯泡的使用寿命，从总体中任意抽取50个灯泡进行试验，在这个问题中，50是( )
A. 个体B. 总体
C. 总体的一个样本D. 样本容量
【答案】D
【解析】
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念进行解答即可.
【详解】在这个问题中，50是指样本的容量，
故选D．
考查的对象是一批灯泡的使用寿命，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【点睛】本题主要考查了具体问题中总体、个体、样本、样本容量，关键是明确样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位．
7. 一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图中，选择D的人数为10人，占总人数的，求出总人数，最后用总人数乘以选择B的百分比即可．
【详解】解：调查总人数为：（人），
选择B的人数为：（人），
故选：C．
【点睛】本题考查了条形图和扇形统计图，掌握扇形统计中调查总数等于部分数除以部分数所占总数的百分比，部分数等于总数乘以部分数所占总数的百分比是解题的关键．
8. 如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了中点四边形，以及菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．应添加的条件为，理由为：根据、、、分别为、、、的中点，利用三角形中位线定理及，等量代换得到四条边相等，确定出四边形为菱形．
【详解】解：应添加的条件是，理由为：
、、、分别为、、、的中点，且，
，，，，
，
∴四边形为菱形，
故选：D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9. 若分式的值为零，则=_______．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件得到|x|-3=0且x-3≠0，解方程即可确定x的值．
【详解】根据题意得|x|-3=0且x-3≠0，
解|x|-3=0得x=3或-3，
而x-3≠0，
所以x=-3．
故答案为-3．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0．
10. 已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的化简，实数与数轴．由数轴可得，，从而得，，再结合二次根式的性质化简进行求解即可．
【详解】解：由数轴得：，，
∴，，
∴

．
故答案为：．
11. “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”是___________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
【答案】必然
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，直角三角形的性质，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，而直角三角形斜边上的中线一定等于斜边的一半，据此可得答案．
【详解】解：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．”是必然事件，
故答案为：必然．
12. 如图，在中，，将绕点B旋转得到，且点落在边上，则_______°．
【答案】68
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出，，再根据平角的定义即可求解．
【详解】解：∵将绕点B旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：68．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转图形的基本性质是解题关键．
13. 若西安市环保部门要对西安空气的污染情况进行调查，应采用__________的方式比较合适．(填“普查”或“抽样调查”)
【答案】抽样调查
【解析】
【分析】本题考查了抽查和普查的适用范围，熟练掌握普查和抽查的定义以及适用范围是解本题的关键．根据全面调查的定义：在一个调查中对全体对象都进行了调查，像这样考察全体对象的调查叫做全面调查；抽样调查调查是这样一种方法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况．据此判断即可．
【详解】解：若西安市环保部门要对西安空气的污染情况进行调查，应采用抽样调查的方式比较合适．
故答案为抽样调查．
14. 如图，下面是三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），小明转动每个转盘各一次，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，按事件发生的可能性从小到大排列为______________．（填序号）

【答案】③①②
【解析】
【分析】根据题意分别计算出①②③的概率即可求解．
【详解】解：①：“指针落在灰色区域内”的可能性为：；
②：“指针落在灰色区域内”的可能性为：；
③：“指针落在灰色区域内”的可能性为：
故答案为：③①②
【点睛】本题考查概率的计算．掌握计算方法是解题关键．
15. 如图是友谊商场某商品1~4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最大的是___________月份．
【答案】2
【解析】
【分析】根据利润售价进价和图象中给出的信息即可得到结论．
【详解】解：由图象中的信息可知，
利润售价进价，利润最大的是2月，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润售价进价是解题的关键．
16. 如图，将边长为2的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点与点重合，与交于点，取的中点，连接，则周长的最小值是______.
【答案】##
【解析】
【分析】取的中点，连接，，．首先证明，，推出，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，取中点，连接，，，
由翻折的性质以及对称性可知；，，，
点是的中点，
，
在中，，
，，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
三、解答题（本大题共有10小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）分母不变，分子直接作差，然后约分即可；
（2）先用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，然后进行除法运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
【点睛】本题考查了分式的减法，分式的除法运算，完全平方公式，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的运算．
18. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算：
（1）根据二次根式加减的运算法则计算即可；
（2）根据二次根式四则混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
原式
．
19. 先化简，然后从0，1，2中选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值.
【答案】，取，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再进行除法运算，得出，考虑分式有意义，取，代入计算，即可作答．
【详解】解：
∵，
∴
则取，
∴
20. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数．
【答案】
【解析】
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且相等）是解题关键．
21. 某校组织全校2000名学生进行了防火知识竞赛．为了解成绩的分布情况，随机抽取了部分学生的成绩（很分取整数，满分为100分），并绘制了如图所示的频数分布表和频数分布直方图（不完整）：
抽取部分学生成绩的频率分布表
根据所给信息，回答下列问题：
（1）_______，________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）学校将对成绩在90.5～100.5分之间的学生进行奖励，请你估算出全校获奖学生的人数．
【答案】（1）60，0.19；（2）见解析；（3）700人
【解析】
【分析】（1）用样本人数乘以60.5～70.5的频率可得a；用70.5～80.5的频数除以样本人数可得b；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）利用全校人数乘以获奖学生的频率即可．
【详解】解：（1）a=400×0.15=60，
b=76÷400=0.19，
故答案为：60，0.19；
（2）由（1）知，a=60，
补全的频数分布直方图如下图所示；
（3）2000×0.35=700（人），
即全校获奖学生的有700人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
22. 定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．
（1）下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有________________（只填序号）；
（2）求分式的“美妙分式”；
【答案】（1）②③ （2）或
【解析】
【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断；
（2）根据给出的“美妙分式”定义求分式的“美妙分式”即可；
本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
【小问1详解】
解：①，
②，
③，
故答案为：②③，
【小问2详解】
设分式的“美妙分式”为，
则 ，
或，
①当时，
，
②当时，
，
答：分式“美妙分式”为或.
23. 如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）先证为的中位线，则，再证四边形为平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得到，再由三角形中位线定理求出的长，然后由矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，求出．
【小问1详解】
证明：∵四边形为菱形，
∴，
∵点E为中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
由（1）得：为的中位线，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键．
24. 根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式，第2式，第3式，
第4式．
（1）根据规律填空：第5式______________；
（2）若，求的值；
【答案】（1）
（2）80
【解析】
【分析】本题主要考查分母有理化：
（1）根据题意得出第5个式子即可；
（2）先总结出规律，再求出n的值即可．
【小问1详解】
解：第1式，
第2式，
第3式，
第4式，
所以，第5个式子为：，
故答案为：
【小问2详解】
解：由（1）可得：
∴
，
∴
解得，
25. 已知的三个顶点的坐标分别为、、
（1）画出关于坐标原点O成中心对称的；
（2）将绕坐标原点O顺时针旋转，画出对应的；
（3）若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）、、
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出关于坐标原点O成中心对称的；
（2）根据旋转的性质即可画出；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，即可得点坐标．
本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：∵以为顶点的四边形为平行四边形，
∴点坐标为、、．
故答案为：、、．
26. 定义：对角线相等的凸四边形称为对美四边形．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是对美四边形的有______；
（2）如图1，在中，为线段的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是对美四边形，求这个对美四边形的面积．
（3）如图2，为等腰底边上的一点，连结，过作，以为顶点作交于点，
①求证：四边形为对美四边形．
②若，设，试求出与的关系式．
【答案】（1）矩形，正方形
（2）或．
（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解；
（2）分两种情况：点在的上方和在的下方，分别画出图形，利用对美四边形的性质求解即可；
（3）①连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明四边形为平行四边形，根据对美四边形的定义证明结论；
②过点作于点，根据勾股定理和完全平方公式求解即可．
【小问1详解】
∵矩形、正方形的对角线相等，平行四边形、菱形的对角线不一定相等，
∴矩形和正方形是“等对角线四边形”，
故答案为：矩形，正方形；
【小问2详解】
当点在的上方时，如图，

是的中垂线，
，
，，，
，
四边形为等对角线四边形，
，
，
；
当点在的下方时，如图，过点作，交的延长线于，

四边形为等对角线四边形，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
综上所述：这个等对角线四边形的面积为或．
【小问3详解】
①如图1，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形为对美四边形；
②设为m，为n，则mn=6，
则，
过点作于点，如图所示，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是对美四边形的定义、平行四边形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握对美四边形的定义是解题的关键．成绩分组
频数
频率
50.5～60.5
20
0.05
60.5～70.5
a
0.15
70.5～80.5
76
b
80.5～90.5
104
0.26
90.5～100.5
140
0.35
合计
400
1