2024届北京市海淀区高三一模数学试卷

这是一份2024届北京市海淀区高三一模数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。


数学
本试卷共 9 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
已知全集
U
=

x
−2 

A
=

x
− 1 

2
，则
CU A =

，集合
2
A. ( − 2, −1)B. [ − 2, −1]C. ( −2, −1)2
2. 若复数 z 满足 i  z = 1 + i ，则 z 的共轭复数 z =
D.
[ −2, −1)
2
A.
1 + i
B.
1 − i
C. −1 + iD. −1 − i
3. 已知 an  为等差数列， Sn 为其前
若双曲线 x 2 − y2 = 1 (a  0, b  0) a 2 b2
n 项和. 若 a1 = 2a2 ，公差 d  0 ， Sm = 0 ，则 m 的值为
0) ，且 | a + b |= 2 ，则  a , b =
b
，则该双曲
A.
4
B. 5
C.
6
D. 7
4. 已知向量 a , b 满足 | a |= 2
， b = (2,
A.
π
B.
π
C.
2π
D.
5π
6
3
3
6
上的一点到焦点 ( −
5, 0)
的距离比到焦点 ( 5, 0)
的距离大
线的方程为
C.
m
是两条直线，且
− m
⊥ 
. 则“
l ⊥ 
”是“
m / / 
”的
x
2
x
2
2
2
A.
− y
=1 B.
− y
=1
4
2
6. 设 , 
是两个不同的平面， l ,
−
y
2
= 1
x
2
D. x
2
2
y
2
= 1
4
 ， l
与曲线
=
f
( x)
相切的直线的条数为
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.
x 3 ,x  0
2)
已知 f (x) = 
，函数 f ( x) 的零点个数为 m ，过点 (0,
lg(x + 1), x
 0
n
，则
A.
m, n
1,1
的值分别为
B.1, 2
C.
2,1
2, 2
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，角  以 Ox 为始边，终边在第三象限. 则
A. sin  − cs   tan B. sin  − cs   tan 
C. sin   cs   tan D. sin   cs   tan 
函数 f ( x) 是定义在 ( −4, 4) 上的偶函数，其图象如图所示，
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f
(3) = 0 . 设 f A. [0, 2] B. [ −3, 0] C. ( −5, 0] D. ( −4, 0]
( x) 是
[3, 4)
[2, 4)
[2, 3)
的导函数，则关于
x
的不等式
f ( x + 1) 
f
( x)  0
的解集是
某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图
1
. 通过观
察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以
该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为
60
），再沿直线繁殖，
；②每次
分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半. 于是，该组
同学将整个繁殖过程抽象为如图 2 所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的
中心 O 开始，沿直线繁殖到 A11 ，然后分叉向 A21 与 A22 方向继续繁殖，其中
， 且
A11 A21
与
A11 A22
关 于
OA11
所 在 直 线 对 称 ，
 A A A
= 60
21
11
22
A11 A21 = A11 A22 = 12 OA11 ,
.若
OA11
4cm
，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培
养皿壁，则培养皿的半径
r
至少为
*
, 单位:cm)
( r  N
A.B.
C.
8
D.
9
其中所有正确结论的序号是_________.
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第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 已知 ln
a
2
2
= _________.
b
= 2 ，则 ln a
− ln b
12. 已知
C : ( x − 1)
2
2
= 3 ，线段 AB 是过点 (2,1)
的弦，则 | AB | 的最小值为_________.
+ y
13. 若 ( x −
4
4
+ a3
3
2
+ a1
x + a0 ，则 a0
=
a + a
= _________.
2)
_________；
1
3
= a4 x
x
+ a2 x
+ a
+ a
a
0
2
4
14. 已知函数 f (x ) = sin(x +
π
)sin 2x
，则 f (
5
π) = _________；函数
的图象的一个对称中心的坐标为
4
4
_________.
15. 已知函数
f ( x ) =
3
− x
，给出下列四个结论：
x
①函数
是奇函数；
②  k  R ，且 k  0
，关于
x 的方程
f ( x ) − kx = 0
恰有两个不相等的实数根；
③已知 P 是曲线
上任意一点， A(−
1
, 0) ，则 | AP |
1
；
2
2
④设 M ( x1 , y1 ) 为曲线
上一点， N ( x2 , y2 )
为曲线 y = − f ( x) 上一点. 若 | x1 + x2
|= 1
，则 | MN | 1
.
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题 13 分）
在 △ABC 中， b sin C + 3c cs B = 2c .
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若
B
=
；
， b
c
=
4
，求
△ABC
的面积.
2
3
17.（本小题 14 分）
如图，在四棱锥
−
ABCD
中，
AD / / BC
， M
为 BP 的中点，
AM
/ /
平面
CDP
.
（Ⅰ）求证： BC = 2 AD ；
（Ⅱ）若
PA ⊥
AB
， AB = AP = AD = CD = 1 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
选择一个作为已知，使四棱锥
−
ABCD
存在且唯一确定.
（ⅰ）求证： PA ⊥ 平面
ABCD
；
（ⅱ）设平面
CDP
平面
BAP
=
l
，求二面角
C
− l
−
B
的余弦值.
条件①：
条件②：
BP AB
= ⊥
DP PC
；
；
条件③：
 CBM
CPM
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（ⅰ）问得 0 分；如果选择多
个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题 13 分）
某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.
现从该校随机抽取100 名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整
理如下表：
（ⅰ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于 3 （Ⅱ）从该校科普测试成绩不低于 80 分的学生中随机抽取 2 名，记 X 为这
的科普过程性积分之和，估计 X 的数学期望 E ( X ) ；
分的概率；
名学生
科普测试成绩 x
科普过程性积分
人数
90  x  100
4
10
80  x  90
3
a
70  x  80
2
60  x  70
1
23
0  x  60
0
2
（Ⅰ）当 a =
35
时，
（Ⅱ）从该校科普过程性积分不高于1 分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 Y1 ，上述100 名学生科普测试成绩的平均值记为 Y2 . 若根据表中信息能推断 Y1  Y2 恒成立，直接写出 a 的最小值.
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19.（本小题 15 分）
（Ⅱ）设 P 是椭圆 G 上异于顶点的动点，点 Q 在直线 x = 2 上，且 PF ⊥ FQ ，直线 PQ
的右焦点.
与 x 轴交于点 M . 比
2
2
= m 的离心率为
2
， A , A
分别是 G 的左、右顶点， F 是 G
已知椭圆 G : x
+ my
2
1
2
（Ⅰ）求
的值及点 F 的坐标；
， x  (0, +) 存在最大值，求 a 的取值范围.
，
2
| 的大小.
较 | MP | 与 | MA1 |  | MA2
20.（本小题 15 分）
1
x
已知函数
f ( x ) = xe
a −
.
2
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）若函数
−2
a |
g ( x ) =| f ( x ) + e
21.（本小题 15 分）
已知 Q : a
, a ,
a 2
( m  2, m
1
2
m
*
) 为有穷正整数数列，其最大项的值为
 N
且当
定义
=
bt +1
min n
− n
1 
时，均有
akm + i  akm
，其中，
i  j  m) .
表示数集
设 b0 = 0 ，对于
M 中最小的数.
 0,1,
m
−1
，
0,1,
, m
b , a
n
 t
i
+ j
(1 
min M
（Ⅰ）若
Q
: 3,1, 2, 2, 3,1, 2, 3
，写出
b1 , b3
的值；
（Ⅱ）若存在
Q
满足：
b1 + b2 + b3
11
，求
的最小值；
（Ⅲ）当
m
=
2024
时，证明：对所有
Q
， b2023

20240
.
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