湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了已知f，设，则a，b，c的大小关系为，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．5种B．12种C．20种D．60种
2．（2x﹣y）4的展开式中x3y的系数为（ ）
A．﹣32B．32C．8D．﹣8
3．将4个不同的小球放入2个不同的袋子中，每个袋子中放2个小球，不同的放法有（ ）
A．6种B．8种C．16种D．32种
4．某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量ξ（单位：g）近似服从正态分布N（90，4），现有该新品种大束10000个，估计单果质量在（88，94）范围内的大枣个数约为（ ）
附：若X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．
A．8400B．8185C．9974D．9987
5．鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的形状以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如表所示：
某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为．已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为（ ）
A．36码B．36.5码C．38码D．39码
6．由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）个．
A．360B．192C．312D．240
7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）≥csx恒成立，则f（x）≥sinx的解集为（ ）
A．[﹣π，+∞）B．[π，+∞）C．D．[0，+∞）
8．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分X（满分为100分）近似服从正态分布N（80，25），下列说法正确的是（ ）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997．
A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25
B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份
C．P（70＜X＜75）＝P（85＜X＜90）
D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布N（80，25）
（多选）10．下列命题正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和﹣0.85，则乙组数据的线性相关性更强
B．已知样本数据x1，x2，……，xn的方差为4，则3x1+2，3x2+2，……3xn+2的标准差是36
C．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据（xi，yi）（i＝1，2，……，10），其线性回归方程是，且x1+x2+……+x10＝2（y1+y2+……+y10）＝6，则实数的值是
D．在检验A与B是否有关的过程中，根据所得数据算得K2＝6.352，则有99%的把握认为A和B有关附：
（多选）11．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝32，且T5＝T6，则下列结论正确的是（ ）
A．a6＝1
B．{an}的公比为
C．Tn≤210
D．a1a2…an＝a1a2…a11﹣n（n∈N+，n＜11）
（多选）12．设一个正三棱柱ABC﹣A1B1C1，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为Pn，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．已知函数f（x）＝x2﹣1在区间[1，m]上的平均变化率为4，则m的值为 ．
14．某班有7名班干部，其中4名男生，3名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 ．
15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从t＝0s时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长（在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出），则在t＝2s时刻，水面上升的瞬时速度为 cm/s．
16．函数f（x）＝ex（x2﹣x+1）（e为自然常数），方程f（x）＝k恰有1个不等实根，则k取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示（10分）
（1）若从该校随机选1名学生，估计选到的学生是对新闻大事关注度极高的男学生的概率：
（2）能否有90%的把握认为学生对新闻大事的关注度与性别有关？
附：，n＝a+b+c+d．
18．已知数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．数列{bn}满足bn+1﹣bn＝3（n≥2），b1＝a2，b2＝a3．（12分）
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
19．已知等差数列满足．（12分）
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）设数列{an+1an+2}的前n项和为Tn．证明．
20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．（12分）
（1）求这3人中至少有1人通过市知识竞赛的概率
（2）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
21．已知函数．（12分）
（1）若a＝0，证明：f（x）≤0恒成立．
（2）若f（x）存在零点，求a的取值范围．
22．已知函数f（x）＝ex+sinx+csx﹣2．（12分）
（1）求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）若对任意的x＞0，f（x）＞ax恒成立，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：BAABC 6-8:DDC
二．多选题（共4小题）
9．：BC．
10．AC．
11：ABD．
12．：AD．
三．填空题（共4小题）
13．：3．
14．：．
15：4．
16．：0＜k＜1或．
四．解答题（共6小题）
17．
【解答】解：（1）由表格中的数据可知，从该校随机选1名学生，
估计选到的学生是对新闻大事关注度极高的男学生的概率为．
（2），
根据临界值表可知，没有90%的把握认为学生对新闻大事的关注度与性别有关．
18．
【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，
因为S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列，
所以a1+a2+a3＝7，6a2＝a1+3+a3+4，
解得a2＝2，
则，即，
即2q2﹣5q+2＝0，解得q＝2或（舍去），
此时a1＝1，所以；
所以b1＝a2＝2，b2＝a3＝4，b2﹣b1＝2，
又bn+1﹣bn＝3（n≥2），
所以{bn}是从第二项起，b2＝4，3为公差的等差数列，
所以bn＝4+3（n﹣2）＝3n﹣2，n≥2，
综上：；
（2）由（1）知：，
则Tn＝a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
＝2×20+4×21+7×22+...+（3n﹣2）2n﹣1，
所以，
两式相减得：
＝
＝﹣6+（5﹣3n）2n，
所以Tn＝6+（3n﹣5）2n．
19．
【解答】（1）解：设数列 的公差为d，
由题意，得 ，
所以 ，
所以 ；
（2）证明：结合（1），有，
所以，
又显然函数 在（0，+∞）上单调递增，
当n＝1，﹣＝﹣；当n→+∞，﹣→0，所以﹣≤﹣＜0，所以≤﹣＜，
即 ．
20．
【解答】解：（1）3人都没有通过市知识竞赛的概率为，
所以，这3人中至少有1人通过市知识竞赛的概率为．
（2）方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则Y＝600X，且，
所以元，
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为300、600、900、1200，
则，，，，
所以，．
所以E（Y）＜E（Z），
所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
21．
【解答】解：（1）证明：当a＝0时，，可得，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得f（x）≤f（1）＝0，
所以当a＝0时，f（x）≤0恒成立．
（2）解法1：令，可得，
令函数，可得．
令函数，则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又因为h（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，h（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝0．
当x→0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，
因为f（x）存在零点，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞）．
解法2：由函数，可得，
由f′（x）＝0，可得﹣x2+ax+1＝0，其判别式Δ＝a2+4＞0，
由一元二次方程根与系数的关系知，关于x的方程﹣x2+ax+1＝0有唯一正根，
设﹣x2+ax+1＝0的唯一正根为m，则有am＝m2﹣1，
当0＜x＜m时，f′（x）＞0；当x＞m时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，m）上单调递增，在（m，+∞）上单调递减，
所以，
当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→﹣∞．
因为f（x）存在零点，所以f（m）≥0，
设，则h（1）＝0，
则，所以h（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以h（x）≥0，即x≥1，由f（m）≥0，可得m≥1，
由am＝m2﹣1，得，故a的取值范围为[0，+∞）．
22．
【解答】解：（1）因为f′（x）＝ex+csx﹣sinx，则f′（0）＝2，且f（0）＝0，
所以切线方程为y＝2x．
（2）由已知ex+sinx+csx﹣ax﹣2＞0在区间（0，+∞）上恒成立，
设g（x）＝ex+sinx+csx﹣ax﹣2，则g（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，
而g′（x）＝ex+csx﹣sinx﹣a，令m（x）＝g′（x），则m′（x）＝ex﹣sinx﹣csx，
设h（x）＝ex﹣x﹣1，则h′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，h′（x）＞0，
所以函数h（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故在区间（0，+∞）上，h（x）＞h（0）＝0，
即在区间（0，+∞）上，ex＞x+1，
设函数p（x）＝x﹣sinx，x∈（0，+∞），则p′（x）＝1﹣csx≥0，
所以函数p（x）在（0，+∞）上单调递增，
故在区间（0，+∞）上p（x）＞p（0）＝0，即在区间（0，+∞）上x＞sinx，
所以在区间（0，+∞）上，ex＞x+1＞sinx+csx，
即m′（x）＝ex﹣sinx﹣csx＞0，所以在区间（0，+∞）上函数g′（x）单调递增，
当a≤2时，g′（0）＝2﹣a≥0，故在区间（0，+∞）上函数g′（x）＞0，
所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
又g（0）＝0，故g（x）＞0，即函数f（x）＞ax在区间（0，+∞）上恒成立，
当a＞2时，g′（0）＝2﹣a，
，
故在区间（0，ln（a+2））上函数g′（x）存在零点x0，即g′（x0）＝0，
又在区间（0，+∞）上函数g′（x）单调递增，
故在区间（0，x0）上函数g′（x）＜g′（x0）＝0，所以在区间（0，x0）上函数g（x）单调递减，
由g（0）＝0，所以在区间（0，x0）上g（x）＜g（0）＝0，与题设矛盾．
综上，a的取值范围为（﹣∞，2]．
脚长
22
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
26.5
27
欧码
35
35.5
36
36.5
37.5
38
38.5
39
40
40.5
41
42
P（K2≥k0）
0.050
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
男学生
女学生
合计
关注度极高
45
40
85
关注度一般
5
10
15
合计
50
40
100
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635