山东省淄博市2023-2024学年高三下学期阶段性诊断检测数学试题答案

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数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B；2．A；3．C；4．A；5．A；6．D；7．B；8．C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AD；10．BCD；11．ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．；13．；14．．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）解：（1）当时，， ……………2分
且， ……………………4分
又， ……………5分
所以曲线在点处的切线方程为． ……………6分
（2）因为函数在区间上是减函数，
所以在区间上恒成立．
当且仅当在上恒成立， ……………8分
则在上恒成立， ……………10分
令，，
显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则， ……………12分
得，
实数的取值范围为 ……………13分
16．（15分）解：（1）由题意得， ……………1分
， ……………2分
，
，
因此，销量与年份代码有较强的线性相关关系： ……………6分
， ……………8分
， ……………9分
关于的线性回归方程为. ……………10分
（2）由题意知，该地区名购车车主中，男车主有名，女性车主有名，购置新能源汽车的男性车主有名，购置新能源汽车的女性车主有名．
“一位车主购得新能源汽车”记作事件，“车主是女性”记作事件，………12分
一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为：
． ……………15分
17．（15分）解证：（1）直角梯形中，
由相似可得，
因为，，可得，，
故可得，，
由勾股定理得，， ………1分
即，，
翻折后可得，，， ………3分
又因为，在平面内，
故平面； …………………4分
（2）因为点为边的中点，
所以，又，
所以， …………………6分
因为平面，所以平面平面，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
因为为定值，
当h最大时，三棱锥的体积最大，
而，则， …………………8分
当h=1时，. …………9分
（3）由（2）得，当三棱锥的体积最大时，
点P到平面ABC的距离为，即平面．
故，，
又因为，
故，，两两垂直．
故可以为原点，
直线分别为轴建立空间直角坐标系， …………………10分
由题可得，， ………12分
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，得， ………………13分
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． …………………15分
18．（17分）解证：（1）由题意，2ab=4， …………………1分
又，解得， …………………3分
所以椭圆的标准方程为． …………………4分
（2）①设直线AB的方程为，设
联立，得 …………6分
(*)
…………………7分
=
，，
整理得， …………………9分
…………………10分
所以直线和直线的斜率之和为定值0． ……………11分
②由①，不妨取，则 ……………12分
设原点到直线AB的距离为d，则
………14分
又，所以 …………………15分
当且仅当时取等号． …………………16分
．
即四边形ABCD的面积的最大值为4． …………………17分
19．（17分）解：（1）当成立时，则能被整除，得，
即 …………………2分
当成立时，则能被整除，得，
即，则 ………………4分
显然集合为全体正偶数组成的集合，集合中所有的元素都是奇数，
所以 …………………6分
（2）若选择①，
将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等差数列，其通项公式为：； …………………7分
设， …………………9分
方法一：，
由二项式定理得：
…………………11分
显然， …………………13分
所以数列为单调递增数列， …………………14分
同时，
当时，
…………………15分
则，
…………………16分
且，
所以数列有界 …………………17分
方法二：要证明数列单调递增，两边取对数，
只需证明数列单调递增， …………………10分
令，构造函数， …………………11分
只需证明函数在区间上单调递减，
则，
再设，
则，
所以函数在区间上单调递减，且，
所以函数在区间上小于零，从而在区间上小于零，
所以函数在区间上单调递减， …………………12分
显然， …………………13分
所以数列为单调递增数列， …………………14分
同时，
当时，
…………………15分
则，
…………………16分
且，
所以数列有界 …………………17分
若选择②，
将集合中的元素按从小到大排列构成的数列为等比数列，其通项公式为：
； …………………7分
设， …………………9分
显然， …………………11分
所以数列单调递增， …………………12分
其中，
，
所以， …………………16分
所以数列有界. …………………17分