浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试题

这是一份浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试题，共12页。试卷主要包含了设集合，则，小蒋同学喜欢吃饺子，设函数，则等内容，欢迎下载使用。
数学
命题，审校：杭州学军中学高三数学备课组
2024.4
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选､多选､错选均不得分.
1.在复平面内表示复数的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A.1 B. C. D.
3.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，两点在轴上，以为直径的圆与抛物线：交于点.已知是方程的一个解，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6.小蒋同学喜欢吃饺子.某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.以半径为1的球的球心为原点建立空间直角坐标系，与球相切的平面分别与轴交于三点，，则的最小值为（ ）
A. B. C.18 D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设函数，则（ ）
A.是偶函数
B.的最小正周期为
C.的值域为
D.在区间单调递增
10.在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ）
A. B.
C. D.
11.已知是方程的两根，数列满足，满足，其中.则（ ）
A.
B.
C.存在实数，使得对任意的正整数，都有
D.不存在实数，使得对任意的正整数，都有
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为__________.
13.将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为__________；若有解，则的最大值为__________.
14.若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
平面两两平行，且与的距离均为.已知正方体的棱长为1，且.
（1）求；
（2）求与平面夹角的余弦值.
16.（15分）
斜二测画法是一种常用的工程制图方法，在已知图形中平行于轴的线段，在直观图画成平行于轴（由轴顺时针旋转得到）的线段，且长度为原来的，平行于轴的线段不变.如图，在直角坐标系中，正方形的边长为.定义如下图像变换：表示“将图形用斜二测画法变形后放回原直角坐标系”；表示“将图形的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的倍”.
（1）记正方形经过两次变换后所得图形为，求的坐标；
（2）在第次复合变换中，将图形先进行一次变换，再进行一次变换，，.记正方形进行次复合变换后所得图形为.过作的垂线，垂足为，若恒成立，求的取值范围.
17.（15分）
已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）当时，，求的最小值；
（3）若在区间存在零点，求的取值范围.
18.（17分）
设双曲线，直线与交于两点.
（1）求的取值范围；
（2）已知上存在异于的两点，使得.
（i）当时，求到点的距离（用含的代数式表示）；
（ii）当时，记原点到直线的距离为，若直线经过点，求的取值范围.
19.（17分）
在概率较难计算但数据量相当大､误差允许的情况下，可以使用UninBund（布尔不等式）进行估计概率.已知UninBund不等式为：记随机事件，则.其误差允许下可将左右两边视为近似相等.据此解决以下问题：
（1）有个不同的球，其中个有数字标号.每次等概率随机抽取个球中的一个球.抽完后放回.记抽取次球后个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为，现在给定常数，则满足的的最小值为多少？请用UninBund估计其近似的最小值，结果不用取整.这里相当大且远大于；
（2）然而实际情况中，UninBund精度往往不够，因此需要用容斥原理求出精确值.已知概率容斥原理：记随机事件，则
.试问在（1）的情况下，用容斥原理求出的精确的的最小值是多少（结果不用取整）？相当大且远大于.
（1）（2）问参考数据：当相当大时，取.
绝密★启用前
杭州学军中学2024届高中毕业生适应性测试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.【解析】，对应点为，由题意，解得。故选：B.
2.【解析】，在方向上的投影向量为，所以，所以.
5.【解析】由题意，圆的方程为，联立，
消去可得：，即，可得或，即点的横坐标满足方程，故点的横坐标可以满足的方程。故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
10.【解析】对于选项A ：，令 则；对于选项B令；对于选项D： 令则。对于选项 C：，即 令 则；此时斜率为 ，与最小二乘法不符．故选：ABD
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.
13.，
14.
【解析】当，设，，则为开口
向上的二次函数，①当，有唯一解，此时，，此时有三个解，且均不为3，符合题意；②当，无解，故区间上恰有4个零点，则，解得，符合题意；③当，的对称轴，且，（i）当，，此时有两个解：2和5，，此时有三个解，且与的解2，5不重合，不合题意，（ii）当，且，此时有两个解，且均属于，，若有2个解，故，解得，则，舍去；（iii）若有3个解，故，解得，若此时有2个解，则必须有1个重根，下面检验重根情况：，则，的3个解为，且，，，故重根可能为，，.令，，解得。当重合，若，则（），得，满足题意；若，则，即，无解；若，，即，无解；当重合，若，则，解得（舍去）；若，则，解得，符合题意；若，则，即，无解，舍去；（iv）当，，此时有1个解，设为m，则，，故，解得，又，综合得，同理（iii）的分析，，，此时有三个解，且与的解不重合，符合题意，综上所述：或或。故答案为：
三、解答题：本题共5小题，共77分。
如图建立平面直角坐标系,,，的单位法向量为,。由，解得，。
设平面法向量为，，。由得，令得到，又由（1）得，则。
，代入、坐标得到
设则 。由，，累乘求得 ，则
错位相减得
可得到
由于，，又因为
所以，
。由于易得上单调递减，上单调递增。设，。，，所以单调递减。又因为，当时,,。时, ，单调递减 ; 时, ，单调递增。所以
若，。
因此当时有零点, 时无零点。
时，

设，,则又因为，所以，所以距离
，设

，。要使得系数为0，，舍去。
若, ，
解得

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
A
A
C
A
C
题号
9
10
11
答案
ACD
ABD
ABD