2023北京高三一模数学分类汇编-专题03 平面向量、等式与不等式（解析版）

这是一份2023北京高三一模数学分类汇编-专题03 平面向量、等式与不等式（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·北京朝阳·统考一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】，，即，故A正确；
取，则不成立，故B错误；
取，则不成立，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：A.
2．（2023·北京东城·统考一模）已知，则的最小值为（ ）
A．－2B．0C．1D．
【答案】B
【分析】由基本不等式求得最小值．
【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
3．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断A、B，再根据指数函数的性质判断C，根据对数函数的性质判断D；
【详解】解：因为，所以，故A错误；
因为，所以，故B错误；
因为，且在定义域上单调递减，所以，故C错误；
因为，且在定义域上单调递增，所以，故D正确；
故选：D.
4．（2023·北京丰台·统考一模）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】逐一判断，对A取，，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式的性质判断即可；对D取可判断.
【详解】解：A.取，，则不成立；
B.取，，则不成立；
C.∵，∴，正确；
D.取，∵，∴，因此不成立.
故选：C.
5．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的不等式的解集为，则
D．若关于x的不等式的解集为，且，则
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.
【详解】由题意，所以正确;
对于:，当且仅当，即时成立,
所以正确;
对于,由韦达定理，可知，所以错误;
对于,由韦达定理，可知，
则，解得，
所以正确,
故选：.
6．（2023·北京海淀·统考一模）在中，，的平分线交BC于点D．若，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用表示出，从而求得，得出结论．
【详解】设，因为，所以，
又是的平分线，所以，，
，
又，所以，
所以．
故选：B．
7．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】由已知可得且，根据已知投影向量可得，进而有，再由即可得求结果.
【详解】由，故为中点，又O是的外心，
易知：，且，
由在上的投影向量，即，
所以，
由图，.
故选：A.
8．（2023·北京房山·统考一模）在中，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求出点的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可．
【详解】由题意，可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
取的中点，则，
所以，
故选：D.
9．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（ ）
A．5B．10C．13D．26
【答案】C
【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.
【详解】 是BC中点，
，
M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得，
.
故选：C.
10．（2023·北京东城·统考一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过建立合适的直角坐标系，设，得到的轨迹方程，最后得到的表达式，根据函数单调性即可得到其范围.
【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系；
则，，，
设，则，，
则，
即，则，其中，，
则，
则，
故选：D.
11．（2023·北京西城·统考一模）已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】由题意作出图形,如图,则
，
故选：A.
12．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知为平面向量，若，若，则实数（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由，利用向量共线坐标公式即可求解.
【详解】因为向量，且，
所以，解得.
故选：A.
13．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点．若，，，则的最大值为（ ）
A．16B．12C．8D．6
【答案】B
【分析】根据题意得到，，即可得到答案.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
14．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由平面向量，知：
在中，，，
∴，故错误；
在中，，故错误；
在中，，
∴，
∴，故正确；
在中，∵，
∴与不平行，故错误．
综上所述．
故选．
15．（2023·北京·校考模拟预测）向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A．B．4C．2D．
【答案】A
【分析】将，，平移至同一个起点并构建直角坐标系，写出相关向量的坐标，再应用向量数量积的坐标表示求.
【详解】将，，平移至同一个起点位置，如下图点位置，建立直角坐标系，
则，所以.
故选：A.
16．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知点，直线l与圆交于两相异点B，C，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设是线段的中点，将转化为用来表示，结合两点间的距离公式求得正确答案.
【详解】设，设是线段的中点，
则
，
表示点与点两点间的距离的平方，
由于在圆内，所以，所以，
所以，
所以.
故选：A.
17．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．6D．8
【答案】C
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．
【详解】解：∵向量，
，
则m=6，
故选：C.
18．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.
【详解】因为，
所以，即，
即，又，
结合已知条件可知，
故.
故选：C.
19．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】由，
因为，所以，因为不是零向量，
所以，
故选：A.
二、填空题
20．（2023·北京海淀·统考一模）不等式的解集为_________．
【答案】或
【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.
【详解】根据分式不等式解法可知等价于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
21．（2023·北京房山·统考一模）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质，讨论的正负和三种情况，得出结论．
【详解】若，当时，；
当时，；
当时，；
“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为，
故答案为：（答案不唯一）.
22．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）能够说明“若，则”是假命题的一组非零实数，的值依次为___________.
【答案】，(答案不唯一)
【分析】根据反比例函数在各自象限具有单调性知：在各区间取一个数即有，即可确定，的值.
【详解】只要第个数大于，第个数小于即可，即，
故答案为：，.
23．（2023·北京丰台·统考一模）已知正方形的边长为，则________．
【答案】
【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.
【详解】因为正方形的边长为，所以，，，
所以.
故答案为：.
24．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，单位圆上三点A，B，C满足：A点坐标为并且，在上的投影向量为，则__________．
【答案】
【分析】根据题意可画出示意图，易知与的夹角的余弦值，再根据二倍角公式可求得与夹角的余弦值为，根据向量数量积的定义即可得.
【详解】根据题意可知如下图所示：
由题可得，且，设与的夹角为，
所以，
又因为，所以，
由二倍角公式可得；
所以.
故答案为：.
25．（2023·北京石景山·统考一模）向量，，若，则_________.
【答案】
【分析】根据平面向量的坐标平行运算得，利用同角三角函数的商数关系式即可得的值.
【详解】向量，，若，则，所以
则.
故答案为：.
26．（2023·北京朝阳·统考一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：
①若且，则；
②若且，则；
③若，则红方获得战斗演习胜利；
④若，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确.
【详解】对于①，若且，则，
即，所以，
由可得，即①正确；
对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，所以战斗持续时长为，
所以②正确；
对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，
即，可得
同理可得
即，解得
又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；
所以可得③错误，④正确.
故答案为：①②④.
三、双空题
27．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）如图，一幅壁画的最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m，现在从离地高4m的C处观赏它．
①若C处离墙的距离为6m，则______；
②若要视角最大，则离墙的距离为______m．
【答案】；
【分析】(1)利用两角差的正切公式即可求解.
(2)设离墙的距离为，求得关于的表达式，结合基本不等式求得取得最大值时的值.
【详解】
填空1：
过作，交的延长线于，则，
，
,
填空2：
设离墙的距离为，
，
当且仅当时等号成立.
由于，所以当最大时，最大，此时.
故答案为：；.
28．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若．
（1）的取值范围是____________；
（2）当取得最大值时，____________
【答案】；
【分析】建立以A为原点的坐标系，可得P的轨迹方程，由P的轨迹方程可知，即，从而得第一问答案；将代入P的轨迹方程得，设，利用三角函数求得当时，取最大值，代入即可得第二空答案.
【详解】解：建立以A为原点的坐标系，如图所示：
由可得P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设，则有，
所以，
又因为，
所以，
由P的轨迹方程可知，
即，所以，
所以的范围为：；
将代入，得，
所以点在圆上，
设，
则，
所以当时，取最大值，此时，
所以，
所以，
所以.
故答案为：；.