2023北京高三一模数学分类汇编-专题08 函数与导数综合题（解析版）

这是一份2023北京高三一模数学分类汇编-专题08 函数与导数综合题（解析版），共40页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·北京西城·统考一模）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间上的单调性，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，当时，，则在上单调递减；
对于B选项，函数在区间上不单调；
对于C选项，函数在上不单调；
对于D选项，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数.
故选：D.
2．（2023·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.
【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；
对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合；
对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；
对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.
故选：D.
3．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性定义可知是非奇非偶函数，函数是偶函数，可判断AD错误；又只在一个周期内单调递增，所以D错误，易得为奇函数，且在区间上是增函数.
【详解】对于A，根据奇函数定义可知不是奇函数，所以A错误；
对于B，易知图象关于原点对称，是奇函数，但其在区间上不是增函数，即B错误；
对于C，函数是奇函数，且时，是增函数，所以C正确；
对于D，易知为偶函数，故D错误.
故选：C.
4．（2023·北京·校考模拟预测）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】对于A，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；
对于B，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；
对于C，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；
对于D，的定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；
故选：B.
5．（2023·北京丰台·统考一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.
【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以.
故选：A.
6．（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.
【详解】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.
故选：A.
7．（2023·北京西城·统考一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移对参数进行分类讨论即可得出其取值范围.
【详解】画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是.
故选：D.
8．（2023·北京房山·统考一模）已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有；②对任意实数，当时，都有.则函数的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】对任意实数x，都有，故函数为奇函数；
对任意实数，当时，都有，即，即，，故函数单调递减.
对选项A：单调递增，不满足；
对选项B：单调递减，且函数为奇函数，满足；
对选项C：单调递增，不满足；
对选项D：不是奇函数，不满足.
故选：B.
9．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据奇偶数对n讨论，再分离参数a，转化函数最值问题即得解.
【详解】（1）当n为偶数时，恒成立，即转化为恒成立，
而数列是递增数列，故时，，故；
（2）当n为奇数时，恒成立，即，转化为恒成立，
而数列是递增数列，n为奇数时，，故；
综上可得a的范围为.
故选：B.
10．（2023·北京·校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，即可得答案.
【详解】解：由题意可得函数的定义域为，
因为与在均为单调递增函数，
所以在为单调递增函数，
因为，
所以的解集为.
故选：C.
11．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，
所以函数的周期为，
当时，函数在单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
因为在区间上单调递减，
所以有，
故选：B.
12．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前项和为．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由导数结合题设条件得出，两边取对数，结合等比定义以及求和公式求解即可.
【详解】，，
，则两边取对数可得.
即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
故选：A.
13．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）函数，.若存在，使得，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】构造函数，研究的单调性．
【详解】方程变形为：
，
设，则，
在上递减，在上递增，
∴，
∴的值域是，
若存在，使得，
则，，∴的最大值为8．
故选：D．
二、填空题
14．（2023·北京房山·统考一模）设函数给出下列四个结论：①函数的值域是；②，方程恰有3个实数根；③，使得；④若实数，且.则的最大值为.其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②③④
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.
【详解】因为函数，其图象如下图所示：
对于①，由图可知，函数的值域不是，故①不正确；
对于②，由图可知，，方程恰有3个实数根，故②正确；
对于③，当时，使得有成立，即与有交点，这显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数满足，当满足时，
由图可知，即，
，即，
所以，由图可知，，
而在上单调递减，所以，
所以，
则的最大值为，故④正确.
故答案为：②③④.
15．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
【答案】1；
【分析】第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点；
第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围.
【详解】第一空：当时，可知有一个零点；
当时，有一个零点；
当时，可知有一个零点；
综上函数的零点个数为1个.
第二空：
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
当时，不符题意；
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
综上m的取值范围是：
故答案为：1；
16．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，现新定义：若满足，则称为的次不动点，有下面四个结论
①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点．
④不存在正整数m，使得函数在区间上存在不动点，其中，正确结论的序号为__________．
【答案】②③
【分析】举反例偶函数，利用“不动点”、“次不动点”的定义即可判断①；
对于②结合奇函数定义及性质即可判断；
对于③首先利用“不动点”定义得到及利用“次不动点”的定义得，再分离变量，利用函数单调性即可求得a的取值范围；
对于④利用“不动点”得到，分离变量后得到，将问题转化为函数零点问题即可求解.
【详解】对于①:取函数，，既是的不动点，又是的次不动点，故①错误；
对于②:定义在上的奇函数满足，故②正确；
对于③:当时， ，即.
令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解；
当时，即.
令，，在区间上单调递增，在上单调递增，满足有唯一解；综上时函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，故③正确;
对于④:假设函数在区间上存在不动点，则在上有解，即在上有解，令，则，再令，则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上 恒成立，所以在上单调递增，
所以，，
所以实数满足，存在正整数满足条件，故④错误：
故答案为：②③.
17．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论：
①的最小值为0；
②的最大值为3；
③若在上单调递减，则的取值范围为；
④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个；
则全部正确命题的序号为__________.
【答案】①②④
【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出的表达式并判断AB；由在上单调性确定a值判断C；由函数图象具有对称性求出a值判断D作答.
【详解】当时，，函数在上递减，在上递增，；
当时，，
若，函数在上递减，在上递增，，
若，函数在上递减，在上递增，当时，，
若，函数在上递减，在上递增，；
当时，，
若，函数在上递减，在上递增，，
若，函数在上递减，在上递增，当时，，
若，函数在上递减，在上递增，；
当时，，函数在上递减，在上递增，；
当时，，
函数在上递减，在上递增，，
因此，于是，即的最小值为0，最大值为3，①②正确；
显然当时，函数在上也递减，③错误；
当或时，函数的图象关于直线对称，
当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，
当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称，
当时，不存在直线，使得函数的图象关于直线对称，
则当时，对于任意的，成立，此时，④正确，
所以正确命题的序号为①②④.
故答案为：①②④.
三、解答题
18．（2023·北京西城·统考一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：在上单调递增；
(3)判断与的大小关系，并加以证明．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)，证明见解析
【分析】（1）求导得切点处的斜率，即可求解直线方程，
（2）求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性，
（3）构造函数，利用导数确定单调性，结合（2）的结论即可求解.
【详解】（1）,所以，．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由题设，．
所以．
当时，因为，所以．
所以在上单调递增．
（3）．
证明如下：
设．
则．
由（2）知在上单调递增，所以．
所以，即在上单调递增．
所以，即．
19．（2023·北京房山·统考一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间；
(3)求证：当时，关于x的不等式在区间上无解.
【答案】(1)；(2)的单调递增区间为和，单调递减区间为；(3)见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线方程；
（2）根据可求出，并对其进行检验即可求解；
（3）分和两种情况，求出函数在区间上的最大值即可作答.
【详解】（1）由可得，
当时，，，
在点处的切线方程为；
（2）因为在处取得极值，所以，解得，
检验如下：
令，解得或，
若或时，则；若，则.
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
故在处取得极小值，满足题意，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（3）由（1）知，由时，得，因，
当时，当时，，即函数在上单调递减，则，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解；
当时，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
于是得在上的最大值为或，而，，
，即，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解，
所以当时，关于的不等式在区间上无解.
20．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设函数，其中．函数是函数的导函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，函数有且仅有一个零点，且；
(3)若，讨论函数的零点个数（直接写出结论）．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)①当时，有1个零点；②当时，有2个零点.
【分析】（1）运用导数几何意义求切线的斜率，进而求得切线方程.
（2）令，令，研究的单调性及运用零点存在性定理即可证明.
（3）分类讨论与时，运用导数的符号来研究原函数的单调性及图象即可求得结果.
【详解】（1）当时，，
则，，
所以，
所以，即：，
所以在点处的切线方程为.
（2）证明：∵的定义域为，，，
则（），
令（），
则，
又∵，，
∴，
∴在上单调递减，
又∵，，，
∴，，即：，
∴，，
∴在上有唯一零点，且，
即：有且仅有一个零点，且.
（3）①当时，的定义域为，则，
∴由零点存在性定理知，在上单调递增，
又∵，，
∴在上有唯一零点.
②当时，由（2）知，在上单调递减，且有且仅有一个零点，，
∴，即：，
∴，，
∴在上单调递增 ，在上单调递减，
∴，
又∵，，
令（），
则，
∴在上单调递减，
又∵，
∴，即：，
∴由零点存在性定理知，在上有2个零点.
综述：①当时，有1个零点；
②当时，有2个零点.
21．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】(1)当时，求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
(2)对a进行分类讨论，由此求得的单调区间．
【详解】（1）当时，，
所以
又因为，，
所以在处的切线方程为，即
（2）由题意知，的定义域为R
①当时，，则当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当时，由得或，
（i）若，则，所以在R上单调递增，
（ii）若，则，
所以当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
（iii）若，则，
所以当或时，当时，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是和．
22．（2023·北京石景山·统考一模）已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
【答案】(1)（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）见解析；(2)
【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；
（2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，
（ⅰ） ，又，所以切线方程为.
（ⅱ），，因为，所以,
所以，所以
所以在单调递增，所以；
（2），
当时，所以，
,
由（1）知，，
所以在上单调递增.
所以当时，没有极值点，
当时，，
因为与在单调递增.
所以在单调递增.
所以，.
所以使得.
所以当时，，因此在区间上单调递减，
当时，，因此在区间上单调递增.
故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.
23．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知函数．
(1)若在处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
(3)若在区间上恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)当时，无极值点；当时，存在极小值点为，无极大值点；(3)
【分析】（1）根据导数几何意义可得在处的切线斜率为0，即可得；
（2）利用导函数对参数进行分类讨论，判断出函数的单调性即可求得极值点；
（3）将不等式在区间上恒成立转化成函数在恒成立，利用导数求得当时，成立，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题可得，，
又切线与x轴平行，所以，即，解得．
经检验，当时，在处的切线为，满足题意．
所以.
（2）易知函数的定义域为，又，
则当时，恒成立，在上单调递增，无极值点；
当时，令，则，
和随的变化如下表：
此时，存在极小值点为，无极大值点．
（3）设，则，
当时，，则在上单调递增，，结论不成立；
当时，令，则，
若，即，和随的变化如下表:
若在区间上恒成立，则只需.
设，，则，
所以在上单调递增，，
因此在上无解；
若，即，，在上单调递减，
所以恒成立，
综上所述，a的取值范围是．
24．（2023·北京·校考模拟预测）已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.
【详解】（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
25．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，的单调递减区间是和：单调递减区间是；（Ⅱ） ．
【详解】，令，当时，的情况如下：
所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：
所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是．
（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是．
26．（2023·北京朝阳·统考一模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析
【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.
【详解】（1）由题设，
当时，，则在R上递增；
当时，令，则，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
综上，时的递增区间为R，无递减区间；
时的递减区间为，递增区间为.
（2）由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，
（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故，得证.
27．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
28．（2023·北京大兴·统考模拟预测）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，试写出方程根的个数.(只需写出结论)
【答案】（1）；（2）；（3）2
【解析】（1）当时，，，求出，，结合导数的几何意义，可求出曲线在点处的切线方程；
（2），由在区间上单调递增，可知在恒成立，进而可知在恒成立，构造函数，求出在上的最小值，令即可；
（3）构造函数，讨论的单调性，并结合零点存在性定理，可得到的零点个数，即为方程根的个数.
【详解】（1）当时，，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由题意，，
因为在区间上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，则，
所以时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，
所以在上最小值为，
所以.
（3）当时，方程根的个数为2.
证明如下：
当时，，构造函数，
则，显然在上单调递增，
因为，，所以存在唯一零点，设为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，所以在上存在唯一零点
又因为，所以在上存在唯一零点，
故函数有2个零点，即方程根的个数为2.
29．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，记在区间上的最大值为．求，并判断函数的零点个数．
【答案】(1)；(2)，只有一个零点
【分析】(1)根据导数求切线斜率，再利用点斜式即可求解.
(2)先求导函数,再对k分类讨论，即可求得的解析式，再根据解析式，求出零点个数.
【详解】（1）当时，，则，
∴，，
所以切线方程为，即．
（2），，则，
当时，由，则，，所以，单调递减，
∴在上的最大值为，
当时，知时，，单调递增，
时，，函数单调递减，
所以最大值为，
所以
当时，，显然无零点；
当时，，，
所以在时单调递增，
又∵，
，
所以在时只有唯一零点，
综上所述，只有一个零点．
30．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若函数有两个不相等的零点，．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】(1)函数无极大值，有极小值；(2)（i）.（ii）见详解
【分析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值.
(2)（i）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解.
（ii）利用构造对称函数以及导数进行证明.
【详解】（1）因为，所以，因为，
由有：，由有：，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以函数无极大值，有极小值.
（2）（i）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增，
若函数有两个不相等的零点，，则，解得，
所以，因为当时，，所以，
所以在上有1个零点，
当时，，又“指数爆炸”，所以，
所以在上有1个零点，
综上，当时，函数有两个不相等的零点，.
（ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，，
不妨设，构造函数，
因为，所以，
因为，所以，当前仅当时取到等号，
所以，所以在R上单调递减，
又，所以，
即，即，又，
所以，又，所以，
由(1)有：函数在单调递减，所以，
即，结论得证.
31．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数，函数，其中．
(1)讨论函数在上的单调性；
(2)当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点．
【答案】见解析
【分析】（1）讨论、、三种情况，利用导数得出单调性；
（2）构造函数，讨论、两种情况，确定的单调性，从而由的零点个数证明曲线与曲线有且只有一个公共点．
【详解】（1），
当时，，则函数在上单调递增.
当，即时，若时，；
若时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增.
当，即时，，函数在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增.
当，函数在上单调递减，在上单调递增.
当，函数在上单调递减.
（2）设，
题设等价于证明函数有且仅有一个零点，，
设，，则函数在上单调递减，又，
则当时，；当时，；
当时，，则函数在上单调递减，又，
故此时函数有且仅有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，，
则当时，恒成立；
当且时，
，，
则，函数在上存在一个零点，
此时函数有且仅有一个零点；
综上即证.
32．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若方程有解，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)单调递增区间为，单调递减区间为；(3)
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；
（2）利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；
（3）分离参数，转化为函数与直线有公共点问题，求导，利用单调性画函数图象，利用数形结合求解即可.
【详解】（1）由题，，所以，，
所以，又，所以曲线在处的切线方程为：，
即；
（2）令得，所以，令得，所以，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
（3）因为方程有解，即方程有解，
令，，则方程有解，所以，有解，
记，，则函数与直线有公共点，
，令，，
令得，令得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以函数在上单调递增，
记，，令得，
令得，所以函数在上单调递增，
在上单调递减，所以，所以，
作出图象，如图：
由图可知，函数与直线有公共点时，即实数a的范围为.
33．（2023·北京东城·统考一模）已知函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)设直线l为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值；
(3)当时，设，，求证：.
【答案】(1)；(2)1；(3)见解析
【分析】（1）求出函数的导数，令导数大于0，即可求得答案；
（2）求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得函数最值；
（3）根据（2）的结论，判断函数在给定区间上的单调性，即可求得，比较端点处的值的大小关系，即可证明结论.
【详解】（1）当时，，故，
令，则，
即的单调递增区间为.
（2）由，可得，
即直线l的斜率为，
设，则，
因为，故，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
故，即，
即，而，故的最小值为.
（3）由已知，由（2）可知时，为单调增函数，
由，，
则，
又时，为单调减函数，
，
故，
由于，即，故，
故.
34．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若存在，使得，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)当时，的减区间为，无增区间；当 时，的减区间为，增区间为；(3)
【分析】（1）当时，求出函数的导数，求出曲线在点处切线的斜率，然后求解切线的方程即可；
（2）先求出函数的导数，分和两种情况讨论即可得到单调区间；
（3）将题中条件转化为若，使得成立，再结合函数放缩得到若，使得成立，再根据（2）中的单调情况可知为与中的较大者，从而得到当或即可满足题意，进而求解即可．
【详解】（1）当时，，则，
得，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由，则，
当时， 恒成立，此时在R上单调递减；
当时，令，解得，
此时与的变化情况如下：
由上表可知，的减区间为，增区间为，
综上，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为．
（3）将在区间上的最大值记为，最小值记为，
因为存在，使得，
所以，使得成立，即或，
当时，，
若，使得成立，只需，
由（2）可知在区间上单调或先减后增，
故为与中的较大者，
所以只需当或即可满足题意，
即只需或，
解得或 ，
综上所述，的取值范围是．
四、双空题
35．（2023·北京石景山·统考一模）设函数，①若，则的最大值为_________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________.
【答案】① ；②
【分析】①分别分析在两段内的单调性即可求出最大值；
②讨论所在的区间，分别研究函数在每一段的单调性，根据无最大值列出不等式求出结果.
【详解】①若，，
当时，，单调递减，，
当时，，，
所以在单调递增，在单调递减，
则此时，
所以的最大值为2；
②当时，
当时，，单调递减，所以，
当时，在单调递增，所以，
因为无最大值，所以，解得；
当时，
当时，，单调递减，，
当时，在单调递增，在单调递减，
所以，
因为无最大值，所以，此种情况无解，舍去；
当时，
当时，，单调递减，，
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以，
因为无最大值，所以，此种情况无解，舍去；
所以实数的取值范围是
故答案为：① ;②
36．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知函数，则的最小值是__________，若关于x的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数a的取值范围是__________．
【答案】；
【分析】分段函数分别计算两段的最小值，得到函数的最小值；方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，作出函数图像，数形结合解决.
【详解】函数，由可知，时，函数有最小值；
函数，由，得，则，此时函数最小值为.
所以函数的最小值是.
方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，
作出函数的图像，由a为整数，如图所示，只有函数和的图像与函数的图像有四个不同的交点，
所以整数a的取值范围是.
故答案为：；.
37．（2023·北京·汇文中学校考模拟预测）设函数其中.
①若，则______；
②若函数有两个零点，则的取值范围是______.
【答案】；
【解析】①代值计算即可；
②分别画出与y＝2的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．
【详解】解：①当时，
则，
∴；
②分别画出与y＝2的图象，如图所示，
函数有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，
故a的取值范围是.
故答案为：；.
38．（2023·北京丰台·统考一模）设函数若存在最小值，则a的一个取值为_______；a的最大值为________．
【答案】1（≤1的任一实数，答案不唯一）；1
【分析】利用导数讨论函数的单调性，分析取最值的情况，进行求解.
【详解】记函数，则.
令，解得：.
列表得：
对于函数，当时，不能取得最小值，
所以存在最小值，的最小值只能在时，时取得.
当时，在单减，在单增，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单减，在单增.所以
的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单增，且，所以
的最小值为，即存在最小值；
当时，在单减，在单增，且，不能取得最小值.
综上所述：当时函数存在最小值.
故答案为：①1（的任一实数，答案不唯一）；②1.
39．（2023·北京海淀·统考一模）设函数
①当时， _________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________．
【答案】；
【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以，
令，可得
当时，，
所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上的解为或，
当时，，
所以当时，，
当时，方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点，
因为恰有2个零点，所以或，
所以a的取值范围是.
故答案为：；.
x
－
0
＋
极小值
x
－
0
＋
极小值
+
0
0
+
0
0
+
0
0
-
0
+
↘
极小值
↗
+
0
-
0
+
单增
单减
单增