2024年广东省万阅大湾区百校联盟中考一模数学试题

这是一份2024年广东省万阅大湾区百校联盟中考一模数学试题，共10页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
（万阅大湾区百校联盟检测）
数学
本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A．B．C．－2024D．2024
2．地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为384000km，用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列图形中，轴对称图形的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．如题4图，□ABCD对角线AC，BD的交点为E，若∠EBC＝30°，∠ECB＝45°，则∠AED＝（ ）
题4图
A．115°B．105°C．100°D．75°
5．（ ）
A．7B．－7C．3D．－3
6．当x＝1时，与bx互为相反数，则b＝（ ）
A．B．C．D．
7．若∠A＝30°，∠B与∠A互余，则（ ）
A．B．C．D．
8．外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．由于换季，某商家决定降低某种衣服价格，现有三种降价方案：①第一次降价5%，第二次降价6%；②第一次降价6%，第二次降价5%；③第一、第二次降价均为5.5%．三种方案中，降价最少的是（ ）
A．方案①B．方案②
C．方案③D．不确定，因衣服原始价格未知
10．题10图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt△ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，，则下列结论一定正确的是（ ）
题10图
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．因式分解：______．
12．二次项系数为2，且两根分别为，的一元二次方程为______．（写成的形式）
13．小明在研究某反比例函数的图象时，先选取了8个x的值，再分别计算出对应的y的值，列表如下：
经同桌小强检查，发现有一个y的值计算出现了错误，那么小明所研究的反比例函数中，k＝______．
14．题14图为一张方格纸，△ABC的顶点位于网格线的交点上．若△ABC的面积为，则该方格纸的面积为______．
题14图
15．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC．若，，则BC的长度为______．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．某班48名同学外出乘船参加研学，一共乘坐10艘船．已知每艘大船坐6人，每艘小船坐4人，正好全部坐满．问：大船、小船各有几艘？
17．（1）解一元一次不等式组
（2）已知一次函数的图象经过点（2，3），（4，－1），求这个函数的解析式．
18．某校开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四类兴趣课程．为了解全校学生的选课意向，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），现将调查结果绘制成如题18图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
题18图
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如题19图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3．
（1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段AB上找点D，使得△ACD∽△ABC；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，求BD的长．
题19图
20．如题20图，一次函数y＝px＋3与反比例函数在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B．过的图象上一点C作x轴的垂线，垂足为D，交一次函数y＝px＋3的图象于点E．已知△AOB与△COD的面积之比为3:5．
（1）求k，p的值；
（2）若BE∥OC，求点C的坐标．
题20图
21．在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如题21图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成．隧道内路面的总宽度为8m，双向行驶车道宽度为6m（路面两侧各预留1m给非机动车），隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m．
题21图
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有0.5m．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．如题22图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，4），D（2，0），E（6，0），⊙D的半径r＝6．直线l与x轴垂直且交x轴于点，为直线l上的动点．连接，线段上的点C满足．
题22图
（1）求证：∠DCE＝90°；
（2）若点M为AC中点，O为坐标原点，连接OM，求OM的最大值．
23．如题23图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线y＝－x－1交于A，B两点（点A在x轴上），与y轴交于点C，且∠ABC＝90°．
题23图
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点D作DF∥AC交AB于点E，交y轴于点F．
①求线段DE的最大值；
②是否存在点D，使得四边形ACDF为等腰梯形？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
机密★启用前
2024年广东省初中学业水平质量监测卷 九年级（一）
（万阅大湾区百校联盟检测）
数学试题参考答案及评分参考
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11． 12． 13．2 14．18 15．3
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．解：设大船有x艘，则小船有（10－x）艘．
∴，解得x＝4．
∴小船有10－4＝6（艘）．
∴大船有4艘，小船有6艘．
17．解：（1）由得，由得，
∴不等式组的解集为；
（2）设所求一次函数的解析式为，
代入（2，3），（4，－1）得解得
∴这个函数的解析式为y＝－2x＋7．
18．解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（人）；
（2）“书画”类的人数为200×25%＝50（人），
“戏曲”类的人数为（人），
补全条形统计图如图1所示：
图1
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为（人）．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．解：（1）如图2，点D为所求；
图2
（2）∵△ACD∽△ABC，∴，即，解得．
∴．
20．解：（1）∵直线y＝px＋3与y轴的交点为B，∴B（0，3），即OB＝3．
∵点A的横坐标为2，∴．
∵，∴．
设，则，解得k＝10．
∵A（2，q）在双曲线上，∴．
把点A（2，5）代入y＝px＋3，得p＝1．
∴k＝10，p＝1；
（2）若BE∥OC，又∵BO∥EC，
∴四边形BOCE为平行四边形，∴OB＝CE．
设，则，
∴，解得．
又∵，∴．
∴点C的坐标为．
21．解：（1）建立如图3所示的平面直角坐标系，则可设抛物线的解析式为．
∵抛物线过点（4，2），∴16a＋6＝2，解得．
∴．
图3
（2）设车辆高度为hm，当车辆一侧在机动车道与非机动车道边界行驶时，
令x＝3，得，即此处隧道顶部距离地面高度为3.75m．
依题目条件有，，则．
∴通过隧道的车辆应限制高度为3.25m．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（1）证明：在△DCE与中，．
∵，DE＝4，，，
∴．∴．
∴．
又∵，∴∠DCE＝90°．
（2）解：∵∠DCE＝90°，∴点C在以DE为直径的圆上．
取F（0，－4），则点F与点A关于原点O对称．
如图4，连接FC．
图4
∵OM为△AFC的中位线，∴．
又∵点C在以DE为直径的圆上，该圆圆心为（4，0），半径为2，
∴FC的最大值为．
∴OM的最大值为．
23．解：（1）易知点A（－1，0），点C（0，－6）．
如图5，设直线AB与y轴交于点G，易知点G（0，－1）．
∴AO＝OG＝1．
又∵∠AOG＝90°，∴∠OGA＝45°．∴∠BGC＝45°．
又∵∠ABC＝90°，∴△BCG是等腰直角三角形．
∴点B在GC的垂直平分线上，即点B的纵坐标为．
又∵点B在直线y＝－x－1上，∴点B的坐标为．
∴抛物线过点，．
∴解得
∴抛物线的解析式为．
（2）直线AC的解析式为y＝－6x－6，设．
由DF∥AC，可设直线DF的解析式为y＝－6x＋n，代入，
可得直线DF的解析式为．
①联立得．
如图5，过点D作DM⊥y轴于点M，过点E作EN⊥DM于点N．
易知∠DEN＝∠DFM＝∠ACO，∠DNE＝∠AOC＝90°，
∴△DEN∽△ACO．∴．
∴．
当时，为最大值．
②由F为直线DF：与y轴的交点，可知点F的坐标为，
∴，．
∵，∴，即，
解得m＝－1或1或．
∵，∴．∴m＝1或．
当m＝1时，DF＝AC，此时四边形ACDF为平行四边形，不符合条件；
当时，，此时四边形ACDF为等腰梯形，符合条件．
∴存在符合条件的点D，其横坐标为．
图5x
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
－1
－2
2
1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
B
C
A
D
C
C
D