2023年北京高三二模数学分类汇编-专题03 选择填空中档题型：排列组合、二项式定理与数列（解析版）

这是一份2023年北京高三二模数学分类汇编-专题03 选择填空中档题型：排列组合、二项式定理与数列（解析版），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023·北京朝阳·二模）已知数列的前n项和是，则（ ）
A．9B．16C．31D．33
【答案】B
【分析】设数列的前n项和为，根据即可求解.
【详解】设数列的前n项和为，则，
则.
故选：B
2．（2023·北京丰台·统考二模）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．5C．7D．8
【答案】B
【分析】根据计算可得.
【详解】因为，所以.
故选：B
3．（2023·北京东城·统考二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.
【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种，
所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种，
故选：C
4．（2023·北京房山·统考二模）已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件列方程组来求得.
【详解】设等比数列的公比为，
则，，，
两式相除得，解得（负根舍去），
所以.
故选：C
5．（2023·北京东城·统考二模）已知数列中，，，为其前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知得到，判定该数列为等比数列，进而利用求和公式计算.
【详解】由得，又∵，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，
故选：B
6．（2023·北京海淀·统考二模）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】设公差为，根据等差数列的通项公式求出，即可得到的通项公式，再令，即可求出的最大值.
【详解】设公差为，因为，，
所以，解得，
所以，令，解得，
所以当或时取得最大值，且.
故选：B
7．（2023·北京海淀·统考二模）若的展开式中常数项为32，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】利用二项展开式的通项，根据常数项为32，求.
【详解】的展开式通项为.
故常数项为，得.
故选：A
8．（2023·北京西城·统考二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式定理即可估算近似值.
【详解】由题意可知
故选：C
9．（2023·北京昌平·统考二模）已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】由通项公式可由推出首项与公比同号，取可判断AB，由可得，取可判断C，由分类讨论可知同号，可判断D.
【详解】由数列是等比数列，
若，同号，
由知，当时，，故A，B错误；
若，则可知
当时，该等比数列为常数列，则，故C错误；
当时，，
时，，当时，
所以由且同号，可知，故D正确.
故选：D
二、填空题
10．（2023·北京丰台·统考二模）在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）
【答案】24
【分析】写出展开式的通项公式，求出的系数.
【详解】的展开式通项公式为，
令，得，故的系数为24.
故答案为：24.
11．（2023·北京房山·统考二模）若，则______．
【答案】1
【分析】利用赋值法即可求解系数和.
【详解】在中，
令得：，
故答案为：1.
三、双空题
12．（2023·北京西城·统考二模）设等比数列的前项和为，，，则____；使成立的的最小值为____．
【答案】；7
【分析】根据等比数列基本量的计算以及求和公式即可求解.
【详解】由，得：，
所以，故，
故得：，
由于为整数，故的最小值为7，
故答案为：；7.
13．（2023·北京朝阳·二模）已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则________，展开式中的系数为________.
【答案】；
【分析】由二项式系数和求n，再应用二项式定理写出含的项，即可得结果.
【详解】由题意，则，故原二项式为，
所以其展开式通项为，
当，则，故所求系数为.
故答案为：；.