2023年北京高三二模数学分类汇编-专题04 选择填空中档题型：解三角形、向量与直线方程（解析版）

这是一份2023年北京高三二模数学分类汇编-专题04 选择填空中档题型：解三角形、向量与直线方程（解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】
.
故选：D
2．在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】将分别用表示，根据平面向量基本定理即可求解.
【详解】,,
故
，
故，解得.
所以.
故选：A
3．设集合，则（ ）
A．当时，B．对任意实数，
C．当时，D．对任意实数，
【答案】C
【分析】依据选项将点代入验证即可.
【详解】当时，，
将代入A得：成立，故，即A错误；
若时，此时将代入不成立，即B错误；
当时，此时将代入不成立，即C正确；
若时，此时将代入A得成立，即D错误；
故选：C
4．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（ ）
A．个B．2个C．个D．无数个
【答案】C
【分析】考虑三条直线交于一点或与或平行时，满足条件，求出答案.
【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
联立与，解得，
则将代入中，，解得，
当与平行时，满足要求，此时，
当与平行时，满足要求，此时，
综上，满足条件的的值共有3个.
故选：C
5．在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积运算及性质，结合平面向量的线性运算求解即可．
【详解】因为，所以，又因为，
所以，
故选：B
6．已知点在直线上，点，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】B
【分析】根据的轨迹为圆，利用圆的几何性质，转化为圆心到直线的距离得解.
【详解】设，
由可知，
所以，即在圆心为，半径为2的圆上的动点，
圆心到直线的距离，
所以，
故选：B
7．已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，
则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，
此时，满足要求，
故选：B
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
二、填空题
8．已知点，直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是__________．
【答案】(答案不唯一)
【分析】求出过且与不平行的方程即可.
【详解】直线的斜率为，故只需所求直线方程斜率不是即可，
可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为.
故答案为：(答案不唯一).
9．在中，若，，，则____．
【答案】
【分析】先利用商数关系和平方关系求出，再利用正弦定理即可得解.
【详解】由，得，则，
则，所以（负值舍去），
由，在三角形中易得，
因为，所以.
故答案为：.
10．在数列中，，．设向量，已知，给出下列四个结论：①；②，；③，；④，．其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】②③④
【分析】根据已知带入，即可求得，即可判断①；同理可求得，.然后猜想，有，（*）.然后根据数学归纳法证明（*）成立，进而推得，.可猜想，（**）. 然后根据数学归纳法证明（**）成立，即可得出②；带入化简整理可得，根据不等式的性质即可得出③；根据（**）的结论即可得出④正确.
【详解】对于①，由已知可得，，
所以，.
因为，所以有，解得，故①错误；
对于②，，，
所以，.
因为，所以有，解得.
同理可得，.
所以有，，，.
猜想，，有，.（*）
显然，当时，（*）式成立；
假设时，（*）式成立，
即，有，.
因为，，，
所以，.
由已知可得，，
所以，
所以.
又，
所以，
所以.
即，时，式子（*）也成立.
所以，猜想正确.
即，有，.
所以， ，.
猜想，，.（**）
当时，（**）式成立；
假设当时，（**）式成立，即，.
则，，
当且仅当，即时，等号成立.
因为，所以.
所以，当时，（**）式也成立.
所以，，，故②正确；
对于③，因为，所以，所以，
所以，所以.
又，所以.
同理可得，.
所以，，，故③正确；
对于④，由（**）可得，，.
所以，，，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】关键点睛：根据前几项，猜想结论，根据数学归纳法证明结论.
三、双空题
11．如图，在中，是边上一点，，则__________；的面积为___________．
【答案】；
【分析】在中由余弦定理求出，即可求出，再由诱导公式求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】在中由余弦定理，
即，解得，
所以，
所以，
所以.
故答案为：；.
12．已知向量满足，与的夹角为，则______;______
【答案】1； 2
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求解作答.
【详解】因为向量满足，与的夹角为，
所以，
.
故答案为：1；2.