2023年北京高三二模数学分类汇编-专题05 选择填空中档题型：圆锥曲线与圆的方程（解析版）

这是一份2023年北京高三二模数学分类汇编-专题05 选择填空中档题型：圆锥曲线与圆的方程（解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线的准线方程.
【详解】抛物线的准线方程为，因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以两个抛物线的准线也关于轴对称，所以的准线方程是.
故选：D
2．（2023·北京昌平·统考二模）已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】把双曲线方程化成标准形式，求出m即可求出离心率作答.
【详解】双曲线化为：，依题意，，解得，
因此双曲线的实半轴长为1，所以双曲线的离心率为2.
故选：C
3．（2023·北京东城·统考二模）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据点在圆上，求出，考虑的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角.
【详解】由题意得，
当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意，
当的斜率存在时，设切线的方程为，
则，解得，
设的倾斜角为，
故的倾斜角为.
故选：D
4．（2023·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案.
【详解】因为双曲线为，所以它的一条渐近线方程为；
因为渐近线方程为，所以.
故选：C
5．（2023·北京海淀·统考二模）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点与抛物线的位置即可求解.
【详解】在轴上，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线内部，
将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点在抛物线内部，故当点位于点处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点，
故选：D
6．（2023·北京丰台·统考二模）已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆C相切，则（ ）
A．B．C．D．8
【答案】C
【分析】求出圆心和半径，及双曲线的渐近线，由相切关系列出方程，求出答案.
【详解】变形为，故圆心为，半径为1，
的渐近线方程为，
不妨取，由点到直线距离公式可得，解得，负值舍去.
故选：C
7．（2023·北京海淀·统考二模）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】根据题意当动直线经过圆的圆心时，可得到弦长的最大值为该圆的直径，再设线段的中点为，从而得到动直线在圆上做切线运动，当动直线与轴垂直且点的坐标为时，即可得到弦长的最小值，进而即可求解．
【详解】由题意可知圆的圆心在圆上，
则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如图1，
此时弦长取得最大值，且最大值为；
设线段的中点为，
在中，由，且，则，
则动直线在圆上做切线运动，
所以当动直线与轴垂直，且点的坐标为时，如图2，
此时弦长取得最小值，且最小值为，
所以的最大值与最小值之差为2．
故选：D
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：
①几何法：求圆的半径，弦心距，则弦长为；
②代数法：运用根与系数的关系及弦长公式．
8．（2023·北京房山·统考二模）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线渐近线的斜率求得直线的斜率的取值范围.
【详解】双曲线的渐近线方程为，斜率为，
依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上，
所以直线的斜率的取值范围是.
故选：A
二、填空题
9．（2023·北京昌平·统考二模）已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由题意可知为圆直径，设， 利用向量运算可得，由此即可求出答案.
【详解】因为，所以为圆直径，
设，则，
所以,
故，
所以当 时，，，
故
故答案为：.
10．（2023·北京海淀·统考二模）已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为___________．
【答案】
【分析】由已知可设C的标准方程为，由已知，解出双曲线的渐近线方程为，结合已知，即可得出答案.
【详解】由已知可得，双曲线的焦点位于轴上， 设C的标准方程为.
因为双曲线C经过点，所以，
则双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，C的标准方程为.
故答案为：.
11．（2023·北京丰台·统考二模）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为__________米．
【答案】80
【分析】建立平面直角坐标系，待定系数法求出抛物线方程，得到答案.
【详解】以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为，
由题意得，将其代入抛物线方程得，
解得，故安全抛物线的焦点到其准线方程为80米.
故答案为：80.
三、双空题
12．（2023·北京西城·统考二模）已知两点．点满足，则的面积是____；的一个取值为____．
【答案】；（答案不唯一）
【分析】根据条件求出点的轨迹方程，联立方程后求点的坐标，即可求解面积和角的取值.
【详解】由点可知，，所以点在圆，
且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为，
联立，解得：或，
则的面积；
当时，，，，
当时，，，，
则其中的一个取值是.
故答案为：；（答案不唯一）.
13．（2023·北京昌平·统考二模）已知抛物线的焦点为，点在上，且在第一象限，则点的坐标为__________；若，点到直线的距离为__________.
【答案】；
【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标，再由抛物线定义求出M的纵坐标，代入抛物线得横坐标即可得解.
【详解】由可知焦点，准线方程为，
，
，即，
代入抛物线方程可得，，
又在第一象限，所以，
故点到直线的距离为.
故答案为：；.
14．（2023·北京朝阳·二模）已知圆A：，抛物线C：，则圆心A到抛物线C的准线的距离为________；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若，则________.
【答案】；
【分析】由题设有且半径，抛物线准线为，即可得A到抛物线C准线的距离，根据对称性令和在两侧，易知为中点，设直线联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求.
【详解】由题设且半径，抛物线准线为，则A到抛物线C准线的距离为，
又，故A在抛物线内部，若抛物线上任意点，
则其到A的距离，
所以圆A在抛物线内部，如上图示：由对称性，不妨令和在两侧，由易知：为中点，
若直线为，联立抛物线得，
所以，则，，
而，即，
经检验，此时，故，
所以.
故答案为：4，.