北京市第一六一中学 2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 9 的平方根是（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：9 平方根是，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义，熟记平方根的定义，注意正数有2个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，是解题的关键．
2. 如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直定义求出，进而得出，再利用即可求出结果．
【详解】解：，
，
，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了垂直的定义，平角的定义，根据平角得到是解题的关键．
3. 若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的三个性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故选项A、B、C变形错误，选项D变形正确；
故选：D．
4. 如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．关键是掌握平行线的判定定理．
【详解】解：，
，故选项A不合题意；
，
，不能判定，故选项B符合题意；
，
，故选项C不合题意；
∵，
，故选项D不合题意．
故选：B．
5. 下列命题中，真命题的是（ ）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④内错角相等，两直线平行．
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了命题真假判断，平行公理及其推论，平行线的判定与性质；根据平行公理的推论可判定①；根据平行公理可判定②；根据平行线的性质与判定可判断③与④．
【详解】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这是平行公理的推论，故①是真命题；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故②是假命题；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故③是假命题；内错角相等，两直线平行，这是平行线的判定定理，是真命题，故真命题是①④．
故选：C．
6. 若点在第三象限，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点的象限的判断，根据点A所处的象限可得到a的符号，由a的符号即可判定点B所在的象限．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
∴，
∴在第一象限；
故选：A．
7. 如图①，一张四边形纸片．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和；由平行线的性质可分别得的度数，由折叠的性质可得的度数，由三角形内角和即可求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴；
由折叠性质得：，
∴，
故答案为：C．
8. 已知a，b为非零有理数，下面四个不等式组中，解集有可能为的不等式组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式组解集；根据，可化为，由此即可作出判断．注意逆向思维．
【详解】解：∵不等式组的解集有可能为，即
∴，
与四个选项中的不等式组比较知，B选项的不等式组符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 比较大小：____3（填入“”或“”号）．
【答案】
【解析】
【分析】根据无理数的估算方法进行求解即可
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，用“夹逼法”是解答此题的关键．
10. 如图，，分别交直线、于点、，，若，则__________度．
【答案】65
【解析】
详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为65
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
11. 已知，则的值是 ___________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
根据非负数的性质求出、的值，然后代入代数式进行计算即可．
【详解】∵0，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，
答案：3．
12. 在，，，，这五个实数中，无理数是_______________．
【答案】，π
【解析】
【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数，有限小数与分数是有理数，含π的一类数、开方开不尽的数是无理数；根据无理数的概念判断即可．
【详解】解：∵，
∴有理数有，，，无理数为，π；
故答案为：，π；
13. 已知点到轴、轴的距离分别为2和6，且点在轴的左侧，则点坐标为____________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点的坐标；根据点到轴距离为2，则可确定点P的纵坐标，到轴的距离为6，且点在轴的左侧，则可确定点P的横坐标，从而可确定点P的坐标．
【详解】解：∵点到轴距离为2，
∴点P的纵坐标为2或；
∵到轴的距离为6，且点在轴的左侧，
∴点P的横坐标为，
∴点坐标为或；
故答案为：或．
14. 如图，是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到，如果，，，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】28
【解析】
【分析】因为四边形ABEH是一个梯形，因为两个直角三角形是完全重合的，所以阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，又因为AB=DE=8，据此求出EH=8-2=6，再利用梯形的面积公式计算即可解答．
【详解】解：（8-2+8）×4÷2=28，
答：图中阴影部分面积为28．
故答案为：28．
【点睛】本题考查了平移的性质，解答此题的关键是明确阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，据此即可解答．
15. 关于的不等式组有且只有3个整数解，则k的取值范围是__________．
【答案】﹣3＜k≤﹣2
【解析】
【分析】解两个不等式得出其解集，再根据不等式组整数解的情况列出关于k的不等式，解之即可．
【详解】解：
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜k+4，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，
则1＜k+4≤2，
解得﹣3＜k≤﹣2，
故答案为：﹣3＜k≤﹣2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的不等式．
16. 对，，定义一种新运算，规定：，其中，为非负数．若，设，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式性质的应用；根据题意得到关于a、b、c的方程组，得到用a的代数式表示的b、c；由b非负求得a的范围，把H用a的代数式表示，利用不等式的性质即可求出H的取值范围．关键是确定a的范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：；
∵，为非负数，
∴，
即，
∴；
∴
，
∵，
∴，
即；
故答案为：．
三、解答题（本大题共68分，第17-18题，每题6分，第19题12分，第20-24题，每题6分，第25-26题，每题7分）
17. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】根据算术平方根，立方根，有理数的乘方，绝对值化简，即可求解，
本题考查了，算术平方根，立方根，有理数的乘方，绝对值化简，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：

．
18. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
由②得，
将代入①，得，解得，
将代入，得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
19. （1）解不等式，并写出它的所有正整数解；
（2）解不等式组：．
【答案】（1），1，2，3；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了求不等式与不等式的解集及不等式的正整数解；
（1）去分母、移项、合并同类项，求出不等式的解集，再根据解集求出正整数解即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：去分母，得．
移项，得．
合并，得．
解得．
∴原不等式的解集为．
∴原不等式的正整数解为1，2，3．
（2）解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．
20. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b，估算出的范围即可求出c；
（2）将a、b、c的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答．
【小问1详解】
∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵c是的整数部分，
∴．
【小问2详解】
将，，代入得：，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握这三者的概念是关键．
21. 完成下面推理填空：
如图，E、F分别在AB和上，，与互余，于G．
求证：．
证明：
（ ）
（已知）
____________（ ）
．
与互余
____________
（_________________________）
【答案】垂直定义；；；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，互余；读懂每步推理，利用平行线的判定与性质、垂直的意义即可完成．
【详解】证明：
(垂直定义）
（已知）
（同位角相等，两直线平行）
与互余
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：垂直定义；；；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行．
22. 如图，在平面直角坐标系中，，，．将三角形向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，可以得到三角形，其中点、、分别与点A、B、C对应．
（1）画出平移后的三角形；
（2）计算的面积是______；
（3）已知点P在y轴上，以、、P为顶点的三角形面积为2，直接写出P点的坐标为______．
【答案】（1）图见详解
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质，即可画出平移后的三角形；；
（2）用割补法求的面积，将补成矩形，再减去多出的三个三角形的面积即可；
（3）根据的三角形面积为2，边上的高为1，求出的长，即可得出答案．
【小问1详解】
如图所示，三角形为所求作的三角形，
【小问2详解】
；
故答案是；
【小问3详解】
∵，
∴，
∴，
∵，点P在y轴上，
∴或，
故答案是或．
【点睛】本题主要考查了平移作图，用割补法求三角形的面积，平面直角坐标系中点的坐标等知识，属于基础题，熟练掌握平移的性质，三角形面积的求法是解题的关键．
23. 如图，已知，．
（1）请你判断DA与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若DA平分，于点E，，求的度数．
【答案】（1），证明见解析
（2）55°
【解析】
【分析】（1）利用平行线的判定和性质得出，然后再由同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）根据平行直线的性质和角平分线的性质得到，再证明，即可得到．
【小问1详解】
解：，理由：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行直线、角平分线、垂线的性质，解题的关键是熟练掌握平行直线、角平分线、垂线的相关知识．
24. 学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）实际购买时，正逢商场进行促销，所有体育用品都按原价的八折优惠出售．已知该年级决定购进这两种球，恰好花费960元．若两种球都要，请问有几种购买方案，请加以说明．
【答案】（1）篮球的单价是80元，足球的单价是70元；
（2）购买篮球8个、足球8个或者篮球1个、足球16个，说明详见解析．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程与二元一次方程组的应用；
（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据两个等量关系：购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元；列出方程组，解之即可；
（2）设购买篮球个，足球个，根据等量关系：八折优惠后两种球恰好花费960元，列出二元一次方程，求出其正整数解即可．
【小问1详解】
解：设篮球的单价是元，足球的单价是元，
依题意，得：，
解得：，
答：篮球的单价是80元，足球的单价是70元；
【小问2详解】
解：设购买篮球个，足球个，
依题意，得：，
，
、均为正整数，
或，
答：购买篮球8个、足球8个或者篮球1个、足球16个．
25. 如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．

（1）求证：；
（2）点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设．
①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；或，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，进而得到，即可推出；
（2）①依据平行线的性质可得，再根据平分，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可解答；
②分两种情况解答：当点G在点F的右侧时，由（2）①可得结果；当点G在点F的左侧时，同理进行解答即可．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，
，
；
小问2详解】
解：①

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
解得；
故答案为：50；
②α和β之间的数量关系为或，理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）①得，
当点G在点F的左侧时，如图2，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，即，
综上所述，α和β之间的数量关系为或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系进行运算是解题关键．
26. 对于平面直角坐标系xOy中的点和图形G，给出如下定义：将图形G向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到图形，称图形为图形G关于点M的“伴随图形”．

（1）如图1．点．
①若点，点为点E关于点M的“伴随图形”，则点的坐标为______；
②若点，点为点T关于点M的“伴随图形”，且点在第一象限，求t的取值范围；
（2）如图2，，，，，图形H是正方形关于点M的“伴随图形”．当图形H只在第一或第四象限，且与正方形有公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①②
（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据定义进行平移即可得到答案；②根据定义进行平移可得，再根据点在第一象限即可得到关于t的不等式组，解得即可；
（2）根据图形H只在第一或第四象限，画出大体位置即可确定平移的单位长度，即可确定的取值范围．
【小问1详解】
①点，
将点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
故答案为：；
②点为点T关于点M的“伴随图形”，
，
点在第一象限，
，
；
【小问2详解】
如图所示，当正方形平移到时，刚进入第一象限且与正方形有公共点，此时，；当正方形平移到时，图形H在第一象限且恰好有一个交点，此时，，
，，
；

当正方形平移到时，刚进入第四象限且与正方形有公共点，此时，；当正方形平移到时，图形H在第四象限且恰好有一个交点，此时，，
，，
，

综上，的取值范围为或．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点坐标特征，平移的特征以及不等式的应用，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
四、选做题（每小题5分，共10分）
27. 阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作
例如，，，．
那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）______，______；
（2）如果，那么x的取值范围是______；
（3）如果，求x的值；
（4）如果，其中，且，直接写出x的值．
【答案】（1）4，；
（2）；
（3）2； （4）或．
【解析】
【分析】（1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（2）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根据为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得x的值．
【小问1详解】
，．
故答案为：4，．
【小问2详解】
∵，
∴x的取值范围是．
故答案为：．
【小问3详解】
∵，
∴．
解得：
∵是整数．
∴．
故答案为：2．
【小问4详解】
∵，其中，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，2．
当时，，；
当时，，；
∴或．
【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况．
28. 如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，α．

（1）若α，求的值；
（2）如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若α，，则的值是______．
【答案】（1）；
（2）；
（3）4．
【解析】
【分析】（1）过点作，易得，利用平行线的性质可求解；
（2）过点作，过点作，延长交于点，由角平分线的定义可设，，由三角形的外角性质可求，进而求解；
（3）设直线与交于点，与交于点，根据平行线的性质即三角形外角的性质及，可得，结合，，，可得，即可得关于的方程，计算可求解值．
【小问1详解】
解：过点作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：过点作，过点作，延长交于点，

∵平分，平分，
∴设，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，，，
∴
，
故的值为；
【小问3详解】
解：如图，设直线与交于点，与交于点，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，在内，．
∴，
，

∵，
∴同（）得，
∴，
∴，
即−，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，外角性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
考
生
须
知
1．本试卷共4页，共两部分，四道大题，28道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟．
2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3．答题卡上选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹钢笔或签字笔作答．
4．考试结束后，将答题卡交回．