江苏省南京市玄武区南京玄武外国语学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判定
4. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（ ）

A. B. C. D.
6. 如图，OM＝2，MN＝6，A为射线ON上动点，以OA为一边作内角∠OAB＝120°的菱形OABC，则BM＋BN的最小值为 （ ）
A. B. 6C. D.
二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分．
7. 函数中，自变量x的取值范围是__________．
8. 一次函数，当时，，则的值是______．
9. 某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是___________．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如表
下列结论：
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．
其中正确的结论是______．
11. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．

12. 如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________．

13. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．
14. 如图，在正方形中，O为对角线中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点F，连接，若，则的长度为_______

15. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________．
三、解答题：本题共12小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 已知，，若成立，求取值范围结果用含的式子表示．
17. （1）计算：．
（2）解不等式组：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
20. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
21. 如图，在▱中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，求证：．
22. 某学校开展“青少年科技创新比赛”活动,“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A,B出发,沿轨道到达C处,在AC上,甲的速度是乙的速度的1.5倍,设t分后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1,d2(单位:米),则d1,d2与t的函数关系如图,试根据图象解决下列问题.
（1）填空：乙的速度v2=________米/分;
（2）写出d1与t的函数表达式;
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰,试探究什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰?
23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
24. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
25. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当时，__________；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
26. 如图，以为直径上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）如果是的中点，且，求的长．
27. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：
若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．

（1）如图，点，，
①在点，，中，弦的“关联点”是______．
②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长；
（2）已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围．
项目
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
乙
丙
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
平均数
中位数
众数
166.75
m
n
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175