2024年高考考前最后一课之押题预测—数学

这是一份2024年高考考前最后一课之押题预测—数学，共223页。试卷主要包含了集合3，常用逻辑用语4，复数6，平面向量7，三角函数10，解斜三角12，数列13，立体几何18等内容，欢迎下载使用。

基础巩固篇
☛1.集合3
☛2.常用逻辑用语4
☛3.复数6
☛4.平面向量7
☛5.三角函数10
☛6.解斜三角12
☛7.数列13
☛8.立体几何18
☛9.直线和圆18
☛10.椭圆、双曲线、抛物线20
☛11.计数原理23
☛12.统计25
☛13.概率28
☛14.初等函数30
☛15.函数与导数32
☛16.参考答案85
多选题专攻篇
☛1.函数与导数34
☛2.三角函数与解三角形37
☛3.空间向量与立体几何40
☛4.平面解析几何43
☛5.统计概率46
命题猜想篇
☛1.简单几何体的表面积和体积49
☛2.抽象函数56
☛3.数列创新问题61
考前技巧篇
☛1.2024年高考数学考前冲剌备忘录70
☛2.高考数学核心考点解题方法与策略76
☛3.高考数学临场解题策略 81
☛4.多选题的特点及解题策略84
☛5.高考数学阅卷和答题卡的注意事项 89
☛6.高考数学解答题结题模型93
考前考后心理篇
☛1.考前考生需要做哪些准备97
☛2.高考前一天需要做哪些准备99
☛3.考后需要注意哪些事项？100
终极押题篇
☛2024年新高考数学冲刺押题1卷（22题型）102
☛2024年新高考数学冲刺押题2卷（19题型）108
☛2024年新高考数学冲刺押题1卷（解析）113
☛2024年新高考数学冲刺押题2卷（解析）128
基础巩固篇
1、集合★★★★★
新高考考情：
此考点在每年的考试中均占据重要地位，第一题的掌握尤为关键。从考查内容来看，主要涉及交并补运算，常与解不等式等知识点相结合。虽然新定义的运算也可能出现，但其难度通常不高。综合历年经验，预计命题小组对集合部分的考题进行大幅度调整的可能性较小。因此，考生应重点掌握交并补运算的基础知识，并熟悉其与其他知识点的交汇点，以确保在考试中能够稳定得分。此外，排除法（特殊法）也是解决此类问题优选方法。
常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x还是y。
2024高考预测：
1．已知集合,则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
4．已知集合，，则集合等于（ ）
A．；B．；C．；D．．
5．设全集，集合，，则
A．B．C．D．
6．若集合,则能使成立的所有组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
7．已知集合和，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知集合，，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．若全集 ，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2、常用逻辑用语★★
新高考考情：
显然，近年来这板块考察的比较少，分析发现地方考卷考得比较多，全国卷考得少，新高考才出现了一次，很显然这一考点不是一个热门考点，但我觉得依然需要大家引起足够得重视，尤其是“充要条件”和“全称与特称”。2024年要注意“全称量词与特称量词”。
“充要条件”的判断要先区分清楚条件和结论，充分性“条件⇒结论”，必要性“结论⇒条件”。要注意“三角与充要条件”结合的考题
2024高考预测：
1．设a，，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设命题p：，(x－1)(x+2)>0，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，或
4．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“”的否定形式是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
5．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
6．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
8．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3、复数★★★★★
新高考考情：
每年一题，稳得不得了，我觉得这也是送分题之一，但九省联考，不再是以选择题的方式来考，而是放在了填空题的位置。说明考试题型由可能会变，但我认为不管怎么变，这仍然是一道送分题，大家要细心，确保拿下。考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计算时可以先设z=a+bi。
重要提示：不管考察的是什么问题，一定要先把复数转化为标准模式z=a+bi！
2024高考预测：
1．设，则（ ）
A．iB．C．1D．
2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．若复数，则（ ）
A．B．C．D．
4．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A．B．2C．D．4
5．已知为复数单位，，则的模为（ ）
A．B．1C．2D．4
6．设复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
7．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．D．
8．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
9．（多选）已知复数，下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则为实数
10．（多选）已知复数均不为0，则（ ）
A．B．
C．D．
4、平面向量★★★★★
新高考考情：
向量每年一题或两题，单选题4题，多选题2题，填空题2题，解答题1题，覆盖了所有的题型。考察的比较基础,难度不大,很少与其它知识交汇,重点考查向量的基本运算。数量积问题有坐标按照坐标算，没有坐标按照模运算；可以建系的建系（直角三角形、等腰、等边、矩形、正方形、直角梯形等）、投影向量问题考的可能性不大.
几何运算注意利用三角形法则和平行四边形法则转化（注意用好作图法）；单位向量要看清，模为1；向量夹角为锐角，数量积大于0且向量不能同向（夹角为0）；向量夹角为钝角，数量积小于0且不能反向（夹角为π）；两个向量不共线才可以作为基底；多个向量和差带模先平方后开方.
2024高考预测：
1．已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（ ）
A．B．C．D．
3．对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（ ）
A．垂直B．反向平行C．同向平行D．无法确定
4．如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若（），（），则关于的说法正确的是（ ）
A．当时，取到最大值B．当或1时，取到最小值
C．，使得D．，为定值
5．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，向量与向量的夹角为锐角
C．存在，使得
D．若，则
8．已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若A，B，C三点共线，则
C．若向量与垂直，则的最小值为1
D．向量与的夹角正切值的最大值为
9．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为 ；②设，则 ．
10．已知平面向量，，设，，，则与的夹角为 ，当时，
5、三角函数★★★★★
新高考考情：
几乎每年至少一小题．题目难度不大，主要考察公式熟练运用、平移、图像性质（重点+难点）、化简求值（热点+几乎年年考）、基本属于“送分题”．小心平移伸缩问题．最担心ω和φ问题（这是热点也是难点，注意用好数形结合）.
三角函数的定义式:会巧妙利用定义求解 sin、cs、tan,特别要注意正负;熟练诱导公式、两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式,符号问题太重要;牢记 sin、cs、tan 的图像性质;注意利用整体思想解决问题。出现等的时候记着用诱导公式,其他角的形式用两角和与差公式展开或合并;用降幂公式的较多;巧妙选择倍角公式进行凑角和转化;巧妙选择两角和与差公式进行凑角和转化。
2024高考预测：
1．已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（ ）

B．
C．D．
5．已知为第一象限角.，则（ ）
A．B．C．D．
6．若函数，的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
9．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则 ．
10．在中，，，则外接圆半径为 .
6、解斜三角★★★★★
新高考考情：
之前6道大题时，新高考每年解斜三角都会有一道题。但今年新高考大题如果真的调整为5道解答题得话，解三角出大题的概率必然会降低，但这又是一个很重要的考点，因此出小题几率将会增大。余弦定理、正弦定理、面积公式要熟记；对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化，如果是化成角的话，下一步按三角→两角→一角进行；如果转化成边，就努力往余弦定理靠。如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路。三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇。
2024高考预测：
1．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=
A．5B．C．2D．1
4．在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（ ）
A．B．5C．D．
5．中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．在中，，，，则（ ）
A．B．4C．D．
7．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
8．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A．B．C．D．
9．在中，，，M为BC的中点，，则 .
10．在中，，，则外接圆半径为 .
7、数列★★★★★
新高考考情：
新高考对数列的考察，这几年基本上是以一大一小的形式出现。今年新高考题量改为19题之后，数列有没有可能削弱。我有一种大胆的猜想，2024年高考第19题压抽题，有可能考察与数列有关内容，当然这不影响小题的考察。如果大题有数列，那小题很可能会是一道多选题，和其他内容组合而成。
等差等比用通项公式和前n项公式，等比问题学会作比值化简；累加法、累乘法、构造法求通项，裂项相消、错位相减、分组求和求前n项和要掌握类型特点。
特别注意Sn和an的关系, ,两个方向都可以转化;分组求和、裂项相消法和错位相减法要看清通项的形式;等基本量的求解很重要,多解问题要多次验证进行取舍。
2024高考预测：
1．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③
C．①④D．①②③
3．已知等比数列，对任意，，是数列的前项和，若存在一个常数，使得，；下列结论中正确的是（ ）
A．是递减数列B．是递增数列
C．D．一定存在，当时，
4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640B．1560C．820D．780
5．已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（ ）
A．－64B．－8C．D．
6．已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在及正整数，使得
D．若为等比数列，则
7．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为 ，若这些数构成一个数列，记为数列，则 ．
8．88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音A（左起第49个键）的频率为，钢琴上最低音的频率为，则左起第61个键的音的频率为 ．
9．对于数列，由作通项得到的数列，称为数列的差分数列，已知数列为数列的差分数列，且是以1为首项以2为公差的等差数列，则 ．
10．如图，已知在扇形OAB中，半径，，圆内切于扇形OAB（圆和OA、OB、弧AB均相切），作圆与圆、OA、OB相切，再作圆与圆、OA、OB相切，以此类推．设圆、圆……的面积依次为，……，那么 ．
8、立体几何★★★★★
新高考考情：
新课标卷的小题主要集中在几何体的表面积和体积问题上，这一点是明确且不容忽视的。对于考生而言，必须对此给予特别的关注。深入理解并熟练掌握空间几何体的结构特征是解答这类问题的关键，这包括能够准确计算长度、表面积和体积等。在实践中，常采用的方法包括分割法、补体法、还台为锥法以及等积变换法等，这些方法在处理不规则几何体体积计算时尤为有效。
此外，球与几何体的切接问题也是高考中的重要考点，通常作为客观题中的难点出现。这类问题主要考察几何体的外接球，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力。在选择题和填空题中，图形通常不会直接给出，这就要求考生不仅要具备解题所需的数学技能，还需要有读题画图的能力。
总的来说，对于空间几何体的表面积和体积问题，考生需要深入理解其结构特征，掌握相关计算方法，并具备空间想象能力和精确的计算技巧，才能顺利应对各种考查。
2024高考预测：
1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
2．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4D．5
4．三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
5．已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ）
A．B．C．D．
7．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（ ）
A．2B．C．4D．
8．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．
则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为 ．
9．四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为 .
10．已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是 ，圆锥的表面积与球的表面积的比值是 ．
9、直线和圆★★★★★
新高考考情：
直线的考察基本上没有单独成题，而是作为一个条件或者一个选项出现在某一道题当中。我们熟悉掌握基本知识即可。直线与圆的位置关系这几年出现的次数显著增加，值得我们重视。直线与圆相交的弦长问题要结合点线距离和勾股定理（垂径定理）。
2024高考预测：
1．已知圆的半径为3，圆的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（ ）
A．0B．4C．8D．12
2．若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为（ ）
A．2B．2或C．D．或
3．已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（ ）
A．8B．9C．10D．100
4．已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．求圆的切点弦方程可利用“同构”思想．如“已知圆，过作圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线方程”，部分解答如下：设，，由，化简可得，又因为，所以，同理可得，…．则直线的方程为 ．
8．圆，，过作圆的切线，，过作斜率为1的直线与圆交于点（在内），线段上有一点使，则的坐标为 ．
9．已知曲线与曲线，长度为1的线段AB的两端点A、B分别在曲线、上沿顺时针方向运动，若点A从点开始运动，点B到达点时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为 .
10．已知点，定义为的“镜像距离”.若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
10、椭圆、双曲线、抛物线★★★★★
新高考考情：
圆锥曲线，每年一大两小，椭圆、双曲线、抛物线都考了个遍！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系。数形结合很重要。椭圆的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法
、焦点三角形面积；
双曲线的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法
、焦点到渐近线距离b、渐近线斜率、相似三角形、
焦点三角形面积；
折线和差最值要考虑用定义进行转化；求离心率问题得到a,c的二次方程后可以等式两边同时除化简为e的二次方程.
抛物线的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法、相似三角形、重心结论（）、焦点弦的三种求法（最常用后边两种，要注意开口方向）、焦半径比值（A点在第一象限）；开口向上或向下的抛物线中切线问题可求导，求斜率； 以为直径的圆与抛物线的准线相切；
过点作垂直于准线，过点作垂直于准线，以为直径的圆与抛物线的弦相切；以为直径的圆与轴相切；
2024高考预测：
1．已知抛物线：为抛物线的焦点，为抛物线上的动点（不含原点），的半径为，若与外切，则（ ）
A．与直线相切B．与直线相切
C．与直线相切D．与直线相切
2．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
下列结论正确的是（ ）
若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是；
双曲线与椭圆的焦点相同．
M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则或1．
直线与椭圆C：交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为．
4．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
5．已知为椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，若，则（ ）
A．0B．C．D．
6．已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（ ）
A．且B．
C．为定值 D．的最小值为2
7．勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，若椭圆的一个焦点把长轴分成长度分别为的两段，且恰好为一组勾股数，则的一个标准方程为 . (写出满足条件的一个即可)
8．十九世纪初，我国数学家董祐诚在研究椭圆求周长时曾说：“椭圆求周旧无其术，秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之．”也就是说可以通过斜截圆柱法得到椭圆．若用一个与圆柱底面成60°的平面截该圆柱，则截得的椭圆的离心率为 ．
9．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线的焦点为F，直线，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得，则满足条件的所有的值为 ．
10．设是面积为1的等腰直角三角形，是斜边的中点，点在所在的平面内，记与的面积分别为，，且．当，且时， ；记，则实数的取值范围为 ．
11、计数原理★★★★★
新高考考情：
通过对上表分析，我们发现这几年，这以内容考察得很散，几乎所有的基本知识点都考了个遍，没有发现侧重哪点，往年的二项式定理出现较多，而新高考这几年只出现了一次。排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），注意掌握好基本题型，处理好分配问题，排列问题，以及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多。赋值法不要忘记。
2024高考预测：
1．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40B．24C．20D．12
2．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）
A．120种B．180种C．240种D．300种
3．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50B．36C．26D．14
4．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（ ）
A．100个B．125个C．225个D．250个
5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48B．32C．24D．16
6．已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
7．在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若，则二项展开式中系数最大的项是．
B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C．若，则二项展开式中的常数项是．
D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
8．有7名运动员（5男2女）参加三个集训营集训，其中集训营安排5人，集训营与集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ）
A．18B．22C．30D．36
9．为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（ ）
A．96B．120C．144D．240
10．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48B．54C．60D．72
12、统计★★★★
新高考考情：
近年来，统计小题在考试中频繁出现，今年再次出现此类题目的概率极高。考察的内容涵盖了多个方面，如频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、中位数、众数、百位数、方差、标准差、散点图、回归分析、独立性检验等。此外，还包括正相关、负相关、完全相关、相关系数、样本中心点以及频率分布直方图和频数分布表中的平均数和中位数等概念。虽然考察的内容较多，但考试难度并不大，主要考察学生对相关考点的基本理解。因此，希望同学们能够充分掌握这些基本概念，以免在考试时因不熟悉基本概念而失分。
2024高考预测：
1．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
A．B．C．8D．
2．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．变量y与x是负相关关系
C．该回归直线必过点
D．x增加1个单位，y一定增加2个单位
3．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A．B．C．D．
4．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A．14B．16C．18D．20
5．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）
A．93B．93.5C．94D．94.5
6．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差
B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则
7．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
8．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）

A．B．
C．D．
9．下图为2012年─2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）
A．2012年─2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增
B．2012年─2021年工业企业利润总额逐年递增
C．2012年─2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速
D．2012年─2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值
10．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A．B．C．D．
13、概率小题★★★
新高考考情：
这几年概率题出现的频率很高，几乎每年都有一题．主要考古典概型（与排列组合相结合）和条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式，难度不算大，相信大家能拿得下来。
概率题近年来在数学考试中频繁出现，凸显了概率论的重要性及对学生逻辑思维和问题解决能力的重视。概率题主要涉及古典概型、条件概率、相互独立事件的概率和全概率公式等。古典概型要求确定样本空间和满足条件的事件数，进而计算概率。条件概率涉及在某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率。相互独立事件的概率是指多个事件互不影响，计算时可将各事件概率相乘。全概率公式用于计算某事件在所有可能原因下的总概率，体现概率的加法原理。难度不算大，相信同学们一定能拿得下来.
2024 高考预测：
1．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件
3．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．D．
5．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．，互斥B．C．D．
6．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A．两两不互斥B．
C．与B是相互独立事件D．
7．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
函数的概念与基本初等函数★★★★★
新高考考情：
主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得同学们“恐惧”的了吧？零点问题数形结合很重要，抽象函数要重视。
牢记周期性和对称性的结论；注意单调性和奇偶性的关系；学会用特殊点巧解；隐藏性质：奇函数在原点处有定义时，；常见奇偶函数的特殊形式（总结过的）；比较大小单调性和中间变量相结合，构造函数是底线。图像选择四部曲：定义域奇偶性特殊点单调性（求导数），特殊点最关键。
1．已知为奇函数，且时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若为奇函数，则的值为（ ）
A．-1B．0C．1D．-1或1
3．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的图象大数为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的单调递增区间是
A．B．
C．D．
7．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
8．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
15、函数与导数★★★★
新高考考情：
这几年的新高考试卷中，导数出现在小题已经是一种常态，而且一出就是两题或者更多，有单独成题，也有出现在多选题中的一个选项。考察的面很广，初等函数求导、简单复合函数的求导、切线方程、单调性、极值点、零点等都有考察。其中重点考察了切线方程，利用导数研究函数的单调性。
2024高考预测：
1．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
3．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
5．设，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选）已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
10．（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．为递减数列D．
多选题专攻篇
多选题专题训练1--函数与导数
1．设是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，则（ ）
A．为偶函数
B．在上单调递减
C．在区间上有4046个零点
D．
2．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
3．已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增
D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为
4．已知函数，下列命题正确的是（ ）
A．若是函数的极值点，则
B．若是函数的极值点，则在上的最小值为
C．若在上单调递减，则
D．若在上恒成立，则
5．e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．已知函数，对于任意的实数，，下列结论一定成立的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7．已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
9．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
10．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
考卷
题号
详细知识点
2020
1
交集的概念及运算；
20211
1
交集的概念及运算；
20212
2
交集的概念及运算；补集的概念及运算；
20221
1
交集的概念及运算；
20222
1
交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式；
20231
1
交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式；
20232
2
根据集合的包含关系求参数；
考卷
题号
详细知识点
20231
7
充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；
求等差数列前n项和；
考卷
题号
详细知识点
2020
2
复数代数形式的乘法运算；
20211
2
复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算；
20212
1
在各象限内点对应复数的特征；复数的除法运算；
20221
2
共轭复数的概念及计算；
20222
2
复数代数形式的乘法运算；
20231
2
复数的除法运算；共轭复数的概念及计算；
20232
1
在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算；
考卷
题号
详细知识点
2020`
3
向量加法的法则；向量减法的法则；
20211
10
数量积的坐标表示；坐标计算向量的模；
20212
15
数量积的运算律；
20221
3
用基底表示向量；
20222
4
平面向量线性运算的坐标表示；向量夹角的坐标表示；
10
数量积的坐标表示；
20231
3
平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数；
20232
13
数量积的运算律；
17
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律；
考卷
题号
详细知识点
2020
11
由图象确定正（余）弦型函数解析式；
16
三角函数在生活中的应用；
20211
4
求sinx型三角函数的单调性；
6
正、余弦齐次式的计算；二倍角的正弦公式；给值求值型问题；
10
逆用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；
20221
6
由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；
20222
6
用和、差角的余弦公式化简、求值；
9
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；
求sinx型三角函数的单调性；
20231
6
给值求值型问题；余弦定理解三角形；
8
用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；给值求值型问题；
15
余弦函数图象的应用；
20232
7
半角公式；二倍角的余弦公式；
16
特殊角的三角函数值；由图象确定正（余）弦型函数解析式；
考卷
题号
详细知识点
2020
17
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；
202011
19
正弦定理边角互化的应用；几何图形中的计算；
20212
18
正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；
20221
18
正弦定理边角互化的应用；
20222
18
正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；
20231
17
用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；
20232
17
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；
考卷
题号
详细知识点
2020
15
求等差数列前n项和；
18
写出等比数列的通项公式；求等比数列前n项和；
20211
16
错位相减法求和；数与式中的归纳推理；
17
由递推数列研究数列的有关性质；利用定义求等差数列通项公式；求等差数列前n项和；
20212
12
求等比数列前n项和；数列新定义；
17
等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；解不含参数的一元二次不等式；
20221
17
裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用an与sn关系求通项或项；利用等差数列通项公式求数列中的项；
20222
3
等差数列通项公式的基本量计算；
17
等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有解）问题；
22
利用导数研究不等式恒成立问题；裂项相消法求和；含参分类讨论求函数的单调区间；
20231
7
充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和；
20
等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算；
20232
8
等比数列前n项和的基本量计算；等比数列片段和性质及应用；
18
利用定义求等差数列通项公式；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；分组（并项）法求和；
考卷
题号
详细知识点
2020
13
锥体体积的有关计算；
20211
3
圆锥中截面的有关计算；
20212
4
球的表面积的有关计算；
5
棱台的结构特征和分类；台体体积的有关计算；
10
求异面直线所成的角；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；
20221
4
台体体积的有关计算；
8
锥体体积的有关计算；球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；
9
求异面直线所成的角；求线面角；
20222
7
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；
11
锥体体积的有关计算；证明线面垂直；
20231
12
正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题；
14
台体体积的有关计算
20232
9
圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；
二面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度或距离；
14
正棱台及其有关计算；锥体体积的有关计算；台体体积的有关计算；
考卷
题号
涉及知识点
2020
10
二元二次方程表示的曲线与圆的关系
20211
11
切线长；直线与圆的位置关系求距离的最值；
20212
3
已知点到直线距离求参数；
11
点与圆的位置关系求参数；判断直线与圆的位置关系；
16
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；直线的点斜式方程及辨析；
20221
14
判断圆与圆的位置关系；圆的公切线方程；
20222
3
已知斜率求参数；
10
已知两点求斜率；
15
求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题；由直线与圆的位置关系求参数；
16
根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率；
考卷
题号
涉及知识点
2020
10
判断方程是否表示椭圆；双曲线定义的理解；
14
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；
20211
5
椭圆定义及辨析；
14
根据抛物线方程求焦点或准线；根据抛物线上的点求标准方程；
20212
3
根据抛物线方程求焦点或准线；
13
由双曲线的离心率求参数的取值范围；根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程；
20221
11
根据抛物线方程求焦点或准线；判断直线与抛物线的位置关系；
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；
16
椭圆中焦点三角形的周长问题；根据离心率求椭圆的标准方程；
20222
10
抛物线定义的理解；求直线与抛物线的交点坐标；
16
根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率；
20231
5
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；由椭圆的离心率求参数的取值范围；
16
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；
20232
5
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；椭圆中三角形（四边形）的面积；
求椭圆中的参数及范围；
10
抛物线定义的理解；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程；求直线与抛物线的交点坐标；与抛物线焦点弦有关的几何性质；
年份
题号
详细知识点
2020
6
分组分配问题；
20211
8
独立事件的判断；
20221
5
实际问题中的组合计数问题；
20222
5
元素（位置）有限制的排列问题；相邻问题的排列问题；
13
两个二项式乘积展开式的系数问题；
20231
13
分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题；
20232
3
分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；
年份
题号
详细知识点
2020
9
根据折线统计图解决实际问题；
20211
9
众数、平均数、中位数的比较；计算几个数据的极差、方差、标准差；
20212
9
计算几个数的众数、中位数、平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；
20221
5
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；
13
两个二项式乘积展开式的系数问题；
20231
9
计算几个数的中位数、平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；
13
分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题；
20232
3
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；分步乘法计数原理及简单应用；
实际问题中的组合计数问题；
x
2
4
6
8
y
5
8.2
13
m
年份
题量
题号
难度
详细知识点
20221
3
5
0.85
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；
20
0.65
独立性检验解决实际问题；计算条件概率；
20222
3
13
0.94
指定区间的概率；
19
0.65
利用对立事件的概率公式求概率；计算条件概率；
20231
3
21
0.65
求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率；
20232
3
12
0.65
利用互斥事件的概率公式求概率；独立重复试验的概率问题；
年份
题号
详细知识点
2020
7
对数型复合函数的单调性；
8
函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式；
20211
13
由奇偶性求参数；
20212
7
比较对数式的大小；
8
函数奇偶性的应用；函数的周期性的定义与求解；
14
函数奇偶性的定义与判断；基本初等函数的导数公式；
20221
7
比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小；
12
抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；
20222
8
函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值；
9
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；
利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性；
20231
4
根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；
已知二次函数单调区间求参数值或范围；
10
对数的运算性质的应用；对数函数模型的应用（2）；由对数函数的单调性解不等式；
11
函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；
15
根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用；
20232
4
函数奇偶性的应用；由奇偶性求参数；
6
由函数的单调区间求参数；
11
根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数；
年份
题号
详细知识点
20211
7
求过一点的切线方程；利用导数研究函数图象及性质；
15
由导数求函数的最值（不含参）；
20221
7
比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小；
8
由导数求函数的最值（不含参）；
10
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值点；
12
函数与导函数图象之间的关系；
15
求过一点的切线方程；求某点处的导数值；
20222
9
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
14
求过一点的切线方程；
20231
4
根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；
已知二次函数单调区间求参数值或范围；
11
函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；
20232
11
根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数；
6
由函数的单调区间求参数；
年份
题号
难度系数
详细知识点
2020-2
12
0.65
基本（均值）不等式的应用
2022-1
10
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值点；
2022-1
12
0.40
抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；
函数与导函数图象之间的关系；
2022-2
9
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；
利用正弦函数的对称性求参数；
求sinx型三角函数的单调性；
2023-1
10
0.65
对数的运算性质的应用；对数函数模型的应用（2）；
由对数函数的单调性解不等式；
2023-1
11
0.65
函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；
2023-2
11
0.65
根据二次函数零点的分布求参数的范围；
根据极值求参数；
多选题专题训练2--三角函数与解三角形
1．已知函数是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则（ ）
A．B．
C．直线是函数的对称轴D．
2．已知函数，则（ ）
A．B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．在上单调递增
3．已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A．若，则是的整数倍
B．函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移单位得到
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
4．已知，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
C．若在区间上的最大值是，则的最小值为
D．若，则
5．已知函数，则以下说法中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．为奇函数
D．若在区间上单调，则的最大值为
6．（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数的周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到
7．关于函数，下列选项正确的有（ ）
A．为偶函数
B．在区间上单调递增
C．的最小值为2
D．在区间上有两个零点
8．已知函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．的最小值为
D．在区间上单调递增
9．已知是的导函数（ ）
A．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到的
B．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到的
C．的对称中心坐标是
D．是的一条切线方程.
10．若函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．B．在上单调递减
C．在内有5个零点D．在上的值域为知识模块
题号
难度系数
详细知识点
2020
11
0.65
由图象确定正（余）弦型函数解析式；
20211
10
0.85
逆用和、差角的余弦公式化简、求值；
二倍角的余弦公式；数量积的坐标表示；
坐标计算向量的模；
20222
9
0.85
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；
利用正弦函数的对称性求参数；
求sinx型三角函数的单调性；
多选题专题训练3--空间向量与立体几何
1．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
2．已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
3．如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
三棱锥的体积为
直线PA与直线BC所成角的余弦值为
直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D．三棱锥外接球的半径为
4．已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（ ）
A．若，，且，则ABCD是平行四边形
B．若M是AB中点，N是CD中点，则
C．若，，，则CD在上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等
5．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
7．如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（ ）
A．当时，存在点P满足
B．当时，存在唯一的点P满足
C．当时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为
D．当时，满足的点P轨迹长度为
8．下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．三棱锥中，平面平面ABC，，，则（ ）
A．
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．点A到平面SBC的距离为
D．二面角的正切值为
10．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
多选题专题训练4--平面解析几何
1．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
2．已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切D．圆与圆C相交
3．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为0
C．的最大值为D．的最大值为
4．已知曲线.（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
5．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
7．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
8．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
9．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
10．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．时，
B．时，的最小值为9
C．时，
D．时，的最小值为8
年份
题号
难度系数
详细知识点
20211
12
0.15
求空间向量的数量积；空间向量的坐标表示；
20212
10
0.85
求异面直线所成的角；证明线面垂直；
线面垂直证明线线垂直；
20221
9
0.85
求异面直线所成的角；求线面角；
20222
11
0.65
锥体体积的有关计算；证明线面垂直；
20231
12
0.40
正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题；
20232
9
0.65
圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；二面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度或距离；
知识模块
题量
题号
难度系数
详细知识点
2020
3
10
0.65
二元二次方程表示的曲线与圆的关系；
判断方程是否表示椭圆；
双曲线定义的理解；
20211
11
0.65
切线长；
直线与圆的位置关系求距离的最值；
20212
11
0.85
点与圆的位置关系求参数；
判断直线与圆的位置关系；
20221
4
11
0.65
根据抛物线方程求焦点或准线；
判断直线与抛物线的位置关系；
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；
20222
10
0.65
数量积的坐标表示；
已知两点求斜率；
抛物线定义的理解；
求直线与抛物线的交点坐标；
20232
10
0.65
抛物线定义的理解；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程；求直线与抛物线的交点坐标；与抛物线焦点弦有关的几何性质；
多选题专题训练5--统计板块
1．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
2．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大D．时，随着的增大而减小
3．在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：
定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有（ ）
A．乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校
B．两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率
C．若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%
D．甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率
4．下列命题中，正确的命题的序号为（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大
5．某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.07
B．这100名学生中体重低于60kg的人数为60
C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62
D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.5
6．已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则D．若，则A与B相互独立
7．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B．该零件是次品的概率为0.03
C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
8．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：
假设经验回归方程为，则（ ）
A．
B．当时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的40%分位数为0.8
D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变
10．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
年份
题号
难度系数
详细知识点
2020
9
0.85
根据折线统计图解决实际问题；
20211
9
0.94
平均数、中位数、极差、标准差；
20212
9
0.85
中位数、平均数、极差、标准差；
20231
9
0.65
计算几个数的中位数；
计算几个数的平均数；
计算几个数据的极差、方差、标准差；
20232
12
0.65
利用互斥事件的概率公式求概率；
独立事件的乘法公式；
独立重复试验的概率问题；
甲校理科生
甲校文科生
乙校理科生
乙校文科生
达标率
60%
70%
65%
75%
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
命题猜想篇
1.简单几何体的表面积和体积
新课标卷中的小题基本上都是关于几何体的表面积体积问题，从不避讳，不怕重复，需要考生特别注意。空间几何体表面积和体积的考查实质要明确空间几何体的结构特征，并能进一步度量和计算长度、表面积、体积等。为此，考前特意为大家准备了这一微专题，希望能唤起大家对相应问题的解决方法。
解答空间几何体表面积与体积问题的基本方法
(1)空间几何体表面积的求法
①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
①直接利用公式进行求解．
②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
考向1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
Ⅰ、棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和
Ⅱ、棱柱表面积：；其中侧面为平行四边形，底面为多边形
Ⅲ、棱锥表面积：，其中侧面为三角形，底面为多边形
Ⅳ、棱台的表面积：，其中侧面为梯形，底面为多边形，
1.正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（ ）
A．是正六面体
B．正方体的边长为2
C．与正方体的表面积之比是
D．平面与相交所得截面的面积是
【答案】A
【解析】对于A，如图，是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；
对于B，设正方体的边长为a，是正八面体，且是底面是对角线长为的正方形，上下两个四棱锥的高都为，则的体积为，所以，所以B正确；
对于C，正方体的表面积是，的各个侧面的棱长都为等边三角形，所以的表面积是，所以，所以C正确；
对于D，如图平面与相交所得截面，分别是的中点，
且相等，，四边形是菱形，，其面积为，所以D正确．
故选：BCD.
2．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积与底面面积之和的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．以上都不是
【答案】A
【解析】
由题，正三棱台侧棱，
正三棱台侧面为等腰梯形，侧面高，
，，
故选：A
考向2 棱柱、棱锥、棱台的体积
Ⅰ、柱体的体积公式：V棱柱=Sh．
Ⅱ、锥体的体积公式：．
Ⅲ、台体的体积公式．
3．如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则
【答案】
【解析】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分，
设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，，
故,
故答案为：.
4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（ ）（，棱台体积公式，其中，分别为棱台的上下底的面积，是棱台的高）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
考向3 圆柱、圆锥、圆台的表面积
Ⅰ、圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．
②圆柱的表面积：．
Ⅱ、圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．
②圆锥的表面积：S圆锥表．
Ⅲ、圆台的表面积
①圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=．
②圆台的表面积：．
5．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，所以圆锥的侧面积为.
故选：A.
6．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4D．5
【答案】D
【解析】大圆柱表面积为
小圆柱侧面积为，上下底面积为
所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大.
故选：D
7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以.
故选：C.
考向4 圆柱、圆锥、圆台的体积
Ⅰ、圆柱的体积公式
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．
Ⅱ、圆锥的体积公式
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．
Ⅲ、圆台的体积公式
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．
8．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，
设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点，
连接，如图，
因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，所以，，
所以，,所以，
所以圆台体积.
故选：D.
9．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为，两段圆弧所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，
则其面积为，解得，
所以扇环的两个圆弧长分别为和，
设圆台上下底面的半径分别为，高为，所以，解得，
，解得，作出圆台的轴截面，如图所示：

图中，，过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，则上底面面积，，
由圆台的体积计算公式可得：.
故选：A.
10．已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示：
因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，，
易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且，
因为，则，又，且，
由，即，解得；
由面，面，则；
则，
又正方形的面积为，正方形的面积为，
故正四棱台的体积.
故选：B.
2.每年必考的抽象函数
抽象函数问题是考查学生数学抽象素养的有效载体，这几年，新高考数学试卷中每年都出现了抽象函数问题，题目常涉及到函数的基本性质(奇偶性、周期性、对称性、单调性等)、函数图像、不等式、复合函数、导函数等基本内容，同时还蕴含着数形结合、函数与方程、化归等数学思想.由于抽象函数仅仅给出函数某种性质或满足某种关系，学生在解决此类问题时，常常感到束手无策、不知所措.因此，在考前我们有必要把这种抽象函数概括总结清楚。
一、 近几年抽象函数考情分析
二、常见函数运算法则可构造特殊函数模型
模型1：一次函数模型
若f(x+y)=f(x)+f(y)+b,则可构造f(x)=kx−b.
当f(x+y)=f(x)+f(y)时，可构造f(x)=kx.
模型2：二次函数模型
若f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy−c,则可构造f(x)=ax2+bx+c.
模型3：指数函数模型
若f(x+y)=f(x)f(y)或,则可构造f(x)=ax(a>0且a≠1）.
模型4：对数函数模型
若f(xy)=f(x)+f(y)xy≠0或则可构造f(x)=lgax(a>0且a≠1）.
模型5：余弦函数模型
若f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y),则可构造f(x)=csωx.
模型6：正切函数模型
若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y),则可构造f(x)=tanωx.
可以看出，如果能够根据抽象函数的运算性质找到函数模型，把抽象函数问题具体化，就能够很容易地破解此类问题.
解题分析
1．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的基本性质相互转化
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
2.已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
3.已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
[方法二]：构造特殊函数
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
四、考前训练
1.（多选）已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a)，则下述正确的是( )
A. f(0)=0B. f(1)=1
C. f(x)是奇函数D. 若f(2)=2，则f(−12)=12
【答案】ACD
【解析】对a，b取特殊值代入已知表达式即可求解
令a=b=0，则f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确;
令a=b=1，则f(1)=1f(1)+1f(1)=2f(1)，则f(1)=0，故B错误;
令a=b=−1，则f(1)=−f(−1)−f(−1)=−2f(−1)，所以f(−1)=0，
又令a=−1，b=x，则f(−x)=−f(x)+xf(−1)=−f(x)+0=−f(x)，
所以f(x)是奇函数，故C正确;
令a=2，b=−12，则f(−1)=f[2×(−12)]=2f(−12)−12f(2)=2f(−12)−1=0，
所以f(−12)=12，故D正确;
2.（多选）已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在区间(0,+∞)内单调递减，f(−3)=0，则( )
A. f(3)=0B. f(x)在R上单调递减
C. f(0)=0D. f(x)≥0的解集为(−∞,−3]∪[0,3]
【答案】ACD
【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(3)=−f(−3)=0，f(0)=0，A，C项正确；f(x)的图像大致如下图所示，
由图得，B项错误，D项正确．
3.已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)−f(2)，若y=f(x+1)的图象关于直线x=−1对称，且对任意的，x1,x2∈[0,2]，当x1≠x2时，都有fx1−fx2x2−x1<0，则下列结论正确的是( )
A. 1f(−3)<1f(4)<1f112B. 1f(−3)<1f112<1f(4)
C. 1f112<1f(−3)<1f(4)D. 1f(4)<1f112<1f(−3)
【答案】C
【解析】因为f(x)是定义在实数集R上的函数，且y=f(x+1)的图象关于直线x=−1对称，
则函数y=f(x)的图象关于x=0对称，所以函数y=f(x)是偶函数，
又对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)−f(2)，
令x=−2，则f(2)=f(−2)−f(2)=f(2)−f(2)=0，
所以对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)，
即得函数y=f(x)是以4为周期的偶函数，
所以f(−3)=f(−3+4)=f(1)，f(4)=f(0)，f(112)=f(112−4)=f(32)，
因为对任意的x1，x2∈[0,2]，当x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x2−x1<0，f(x1)−f(x2)x1−x2>0，
则当x∈[0,2]时，y=f(x)为增函数，
因为0<1<32<2，所以f(0)即得f(4)3.新定义创新问题
题型特点
2024年九省联考的压轴题目展现了命题的创新性，全面检验了学生的数学学习能力和应用能力，对考生的数学素养提出了较高要求。此次联考对各参与省份的高考命题工作具有显著的指导意义，凸显了创新在高考中的重要地位与亮点。高考命题的创新主要体现在四个方面：试题题型的创新设计、试题内容的创新呈现、命题理念的更新以及问题解答方法的创新探索。经多重分析，我认为今年数列类出创新题的可能性比较大，这类创新题目通常安排在压轴题的位置，难度较高，对考生的区分度也十分明显。数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
突破策略
创新能力的培养对于考生而言是一个长期且持续的过程，无法在短期内一蹴而就。因此，在日常的训练中，我们必须有意识地加强对特定题型的练习。为了助力考生更好地应对创新能力解答题，我们特别挑选了三类题目：新定义型、知识交汇型和创新型。这些题目旨在帮助不同水平的考生进行有针对性的练习，从而实现在这类解答题上的突破。
典例分析
1．记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．
(1)若，用表示；
(2)证明：；
(3)若，，，证明：．
【解析】（1）因为
，
且，
所以，由可得，
所以.
（2）因为，
所以
又因为
所以，
所以.
（3）对于，
因为，
所以，
所以，
所以，
，
所以，
.
2．已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.
【解析】（1）由题意得，
且对于，使得的正整数对有1个，
由于或，
故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3.
（2）当时，存在m的6增数列，
即，且对于，使得的正整数对有6个，
所以数列的各项中必有不同的项，所以且.
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以.
若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，
此时数列为，满足要求的正整数对分别为，
符合m的6增数列，
所以当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7.
（3）若数列中的每一项都相等，则，
若，所以数列中存在大于1的项，
若首项，将拆分成个1后k变大，
所以此时k不是最大值，所以.
当时，若，交换，的顺序后k变为，
所以此时k不是最大值，所以.
若，所以，
所以将改为，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大，
所以此时k不是最大值，所以.
若数列中存在相邻的两项，，设此时中有x项为2，
将改为2，并在数列首位前添加个1后，k的值至少变为，
所以此时k不是最大值，
所以数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式.
设其中有x项为1，有y项为2，
因为存在100的k增数列，所以，
所以，
所以，当且仅当，时，k取最大值为1250.
3．已知实数，定义数列如下：如果，，则．
(1)求和（用表示）；
(2)令，证明：；
(3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．
【解析】（1）因为，所以；
因为，所以；
（2）由数列定义得：；所以．
而，
所以；
（3）当，由（2）可知，无上界，故对任意，存在，使得．
设是满足的最小正整数．下面证明．
①若是偶数，设，
则，于是．
因为，所以．
②若是奇数，设，
则．
所以．
综上所述，对于任意正整数，存在正整数，使得．
4．若有穷数列（是正整数），满足（，且，就称该数列为“数列”.
(1)已知数列是项数为7的数列，且成等比数列，，试写出的每一项；
(2)已知是项数为的数列，且构成首项为100，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
(3)对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求这些数列的前2024项和.
【解析】（1）设的公比为，
则，解得，
当时，数列为；
当时，数列为；
综上，数列为或.
（2）解法一：因为构成首项为100，公差为的等差数列，
所以
，
又，所以当或时，取得最大值.
解法二：当该数列恰为或时取得最大值，
此时或，
所以当或25时，.
（3）依题意，所有可能的“数列”是：
①；
②；
③
④
对于①，当时，；
当时，
；
对于②，当时，；
当时，
；
对于③，当时，
；
当时，
；
对于④，当时，
；
当时，
；
5．定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.
【解析】（1）由题意知，集合中含有3个元素（），且每个元素中含有三个分量，因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0.
所以，，，
又，
所以2的完美3维向量集为.
（2）依题意，完美4维向量集B含有4个元素（），且每个元素中含有四个分量，，
（i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
（ii）当时，，不满足条件③，舍去；
（iii）当时，，
因为，故与至多有一个在B中，
同理：与至多有一个在B中，与至多有一个在B中，
故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去；
（iv）当时，，不满足条件③，舍去；
（v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
综上所述，不存在完美4维向量集.
（3）依题意，的完美维向量集含有个元素（），且每个元素中含有个分量，
因为，所以每个元素中有个分量为1，其余分量为0，
所以（*），
由（2）知，，故，
假设存在，使得，不妨设.
（i）当时，如下图，
由条件③知，或（），
此时，与（*）矛盾，不合题意.
（ii）当时，如下图，
记（），
不妨设，，，
下面研究，，，，的前个分量中所有含1的个数.
一方面，考虑，，，，中任意两个向量的数量积为1，
故，，，（）中至多有1个1，
故，，，，的前个分量中，
所有含1的个数至多有个1（**）.
另一方面，考虑（），
故，，，，的前个分量中，含有个1，与（**）矛盾，不合题意.
故对任意且，，由（*）可得.
6．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
(1)①若，求；
②证明：.
(2)记的面积为，证明：；
(3)问：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？
【解析】（1）①解：因为，
则.
②证明：设，
则
，
与互换，与互换，与互换，
可得，
故.
（2）证明：因为
.
故，
故要证，
只需证，
即证.
由（1），
故，
又，
则成立，
故.
（3）由（2），
得
，
故，
故的几何意义表示：
以为底面､为高的三棱锥体积的6倍.
考前技巧篇
1.2024年高考数学考前冲剌备忘录
为了帮助同学们回忆和巩固基础知识，老师通过对近几年高考考点的梳理，提出以下99问，希望对同学们根据问题，回顾相关基础知识，以防遗漏。
集合的表示方法有三种：列举法、描述法和图示法.你能正确地表示集合吗?
集合的元素具有确定性、无序性和互异性.求解集合问题时，你会抓住集合的元素进行分析吗?
对于含有n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为.
数轴、坐标系和韦恩图是进行集合运算的有力工具.求解集合问题时，你能正确地运用这些工具吗?
充分条件、必要条件和充要条件的概念你记住了吗？你会正确地进行判断吗？会从集合的角度来理解它们吗?
什么是全称量词命题?什么是存在量词命题?你会正确地对这两类命题进行否定吗?
不等式有哪些基本性质?你能正确地应用不等式的意义和基本性质进行大小比较吗？
— 元二次函数的图象、元二次方程的根和一元二次不等式的解集之间存在着怎样的关系?
基本不等式指的是哪几个不等式?它们有哪些应用?应用时要注意什么问题?
利用重要不等式求函数的最值时，你会全面考虑“一正，二定，三相等”的条件是否具备吗?
不等式恒成立问题有哪几种处理方法?
求解关于二元函数的条件最值问题的某本思想是什么？你能运用不等式的知识解决这类问题吗?
两个函数是同一函数的条件是什么?
研究函数问题必须遵循定义域优先的原则.
关于函数的奇偶性，有如下结论：
(1)若是奇函数，且有意义，则;
(2) 若是偶函数，则 .
函数的单调性在解题中有广泛的应用，如比较大小、求函数的值域和最值、求参数的取值范围等.
函数周期性的定义是什么?运用这一定义能解决哪些相关问题?
关于函数图象的对称性有哪些重要结论?
求二次函数在给定区间上的值域或最值的方法是什么?要注意哪些问题?
你还记得分段函数吗？分段函数有哪些问题？你会解吗？
在运用对数的运算法则进行对数式的恒等变形时，若底数不同怎么办?
指数式与对数式之间存在着怎样的关系?
在求解有关底数中含有参数的指数函数或对数函数问题时，你会根据底数的不同范围进行分类讨论吗?
指数式、对数式比较大小的基本方法有哪些？你能熟悉运用吗？
幂函数 在第一象限内的图象有何特征?
什么是函数的零点?函数的零点有什么性质?你能正确地运用函数零点的性质解决有关方程的根的分布问题吗?
用二分法求方程的近似解的基本思想是什么?你会用二分法求方程的近似解吗?
你熟悉三角函数的定义吗？你能根据已知sin、tan、cs中的一个，快速求出另外两个吗？
你能熟练地运用诱导公式、 同角三角函数基本关系式求解三角函数的相关问题吗?
求解有关三角函数的值域和最值问题时，你能正确地运用正、余弦函数的相界性吗?
你能迅速地画出正弦、余弦和正切函数的草图吗?你能由这些图象分别得到函数,和(其中)的图象吗?
你能正确地写出函数(其中)的单调区间，对称中心的坐标，对称轴方程及其取得最值时的x值的集合吗?
你会根据函数 (其中)的图像确定参数的值吗？
函数,为奇函数、偶函数的条件分别是什么?你能将形如的函数式化为一个角的三角函数形式吗?记得老师为什么一直强调前cs后sin吗？
形 如 ,和(其中)的函数的最小正周期分别是什么？有关周期函数的重要结论有哪些？求三角函数最小正周期的常用方法是什么?
你对三角恒等变换中的基本规则还知道多少?解决三角函数的相关问题时，你会抓住角的特征灵活地运用变角法处理吗?
和差公式可以正用，逆用、变用，求解三角函数的相关问题时，你会正确运用吗?
你发现没有，诱导公式、二倍角公式实际上都是和差公式的特殊情况？三角公式那么多，其实找到本质根本不需要记那么多。
已知三角函数值求角时，你记得判定角的范围吗?
正弦定理、余弦定理的内容是什么?你能灵活地运用它们解斜三角形吗?什么情况下需要对解的个数进行讨论?
关于三角形中的三角函数，有哪些重要结论?研究三角形中的三角函数问题时，怎样应用正、余弦定理进行边角关系的互化？
你还记得如何用作图法向量的线性运算问题吗？
单位向量，平行向量，相等向量，相反向量以及直线的方向向量等概念你清楚吗?直线的方向向量和直线的斜率有什么关系?你会求与已知向量共线的单位向量吗?
两向量的夹角是怎样定义的?它的取值范围是什么？怎样求两向量的夹角？两向量的夹角为钝角的充要条件是什么?
向量共线的充要条件是什么?向量垂直的充要条件是什么？你会用向量法证明垂直、平行和共线以及判断三角形的形状吗?
关于平面向量，有许多重要结论，例如：(1) ;( 2 ) 向 量中三终点A,B,C 共 线存在实数，使得且…… 这些结论在解题中十分有用，你还知道多少？你会运用这些结论吗?
数列的前 n项和, 与通项之间具有怎样的关系?运用这一关系求数列的通项时要注意什么?
判断一个数列是等差数列或等比数列的依据是什么?判断时要特别注意什么问题?
求等差数列的前n 项和的最大值的常用方法有哪些?你能灵活运用吗？
运用等比数列的 前n 项和公式求和时要注意什么?
等差数列和等比数列有许多重要性质，你还记得了多少？会用吗?
特殊数列求和有哪些方法?具有怎样的特征的数列可用错位相减法求其前n 项的和?
复数为实数，虚数，纯虚数的充要条件分别是什么?
两个复数相等的充要条件是什么？它在解决复数问题时可以发挥怎样的作用？
复数的模与共轭复数有哪些性质？你会运用这些性质解决复数的相关问题吗?
在进行复数的运算时，你会运用虚数单位的幂的周期性吗?
复数及其运算的几何意义是什么?你会运用它们来解决复数的相关问题吗?
导数是怎样定义的?它的几何意义和物理意义分别是什么?
怎样利用导数求曲线的切线?解题时要注意什么问题?
处取得极值的什么条件?极值和最值有什么联系和区别?怎样运用导数求函数的极值和最值?
怎样利用导数研究函数的单调性?已知函数的单调性确定参数的取值范围时，要注意些什么?
平均数、众数、中位数、百位数的概念你还分清吗？
什么是抽样方法?常用的抽样方法有哪些?你能根据实际情况进行合理选择吗?
期望，方差和标准差的概念，公式和性质你还清楚吗?你能正确地进行计算吗?
频率与频数之间有什么关系？你会画频率分布直方图吗？你能根据样本的频率分布直方图对总体作出估计吗？
样本的期望值、方差和标准差分别反映了样本数据的什么特征?你能根据样本的期望值、方差和标准差对总体的情况进行估计吗?
什么是随机事件的概率？它的取值区间是什么？概率和频率的联系与区别你清楚吗?
什么是古典概型？古其概型的主要特征是什么？你会求古典概型中事件的概率吗?
什么是几何概型?几何概型与古典概型之间有什么联系和区别？求解几何概型问题的基本步骤是什么？
什么是互斥事件？你会求互斥事件的概率吗？
什么是对立事件?你会灵活地运用对立事件的概率公式求解些复杂的概率问题吗？
什么是条件概率？你知道怎么利用全概率公式、贝叶斯公式吗？
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念你熟悉吗？什么时候用？分组分配问题那么重要，你搞清楚了吗？
排列、组合的定义是什么？排列数、组合数的运算公式还记得吗？
二项式定理是什么？还记得二项式展开式中项系数的特别的求法吗？还记得利用赋值法求二项式展开式的系数之和问题吗？
棱柱、棱锥，棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念你还清楚吗?
你能画出常见的多面体或旋转体的侧面展开图吗?你能由几何体的侧面展开图想象出与之对应的几何体的直观图吗?
柱、锥、台、球的表面积和体积公式你还记得多少?你能熟练地运用它们进行相应的计算吗?台体表面积和体积你记得了吗？这个可能是热点哦。
平面有哪些基本性质?这些基本性质有哪些应用?
空间中两条直线有哪几种位置关系?你能正确地进行判断吗?
立体几何中，平行关系可以进行以下转化：直线//直线⇔直线//平面⇔平面//平面之间的转化，这些转化各自的依据是什么?
立体几何中，垂直关系可以进行以下转化：直线直线⇔直线平面⇔平面平面之间的转化，这些转化各自的依据是什么?
空间的三种角(异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角及其平面角)的概念你清楚吗?它们的取值范围分别是什么”你熟悉用哪种方法来求呢？
空间中的距离（点到面，线到面，面到面的距离），你会求吗？有哪些方法？
立体几何中，解答题的解题过程通常分为：“作”、“证”、 “算”、“答”四个部分，你是否经常忽略“证”这一重要环节?
什么是直线的斜率?直线的斜率与倾斜角有什么关系”你会求直线的斜率吗?
在用点斜式，斜截式求直线的方程时，你是否注意到直线的斜率不存在的情形？
对于不重合的两条直线,它们互相平行的充要条件是什么?垂直呢?
点到直线的距离和两条平行直线间的距离你会求吗?
方程表示圆的充要条件是什么”你会求圆的方程吗?
点和圆的位置关系怎么判断？当点在圆上、圆外时，怎么求过该点的切线的方程?当点在圆外时，切线长及切点弦所在直线的方程如何求？
直线和圆有哪几种位置关系?如何判定?当直线和圆相交时，怎样求弦长?
圆锥曲线的定义，你熟记了吗?
求椭圆、双曲线，抛物线的标准方程时，要先定位，再定量。
离心率的大小与圆锥曲线的形状有何关系?椭圆和双曲线的离心率的取值范围分别是什么?
双曲线的渐近线方程是什么?如何求？焦点到渐近线的距离是多少？
椭圆和双曲线的通径公式、焦半径公式、焦三角面积公式，还记得多少？
抛物焦点弦的性质那么多，你记得了几个？
直线与圆锥曲线的位置关系问题，你记得基本的研究方法吗？
2.高考数学核心考点解题方法与策略
一、历年高考数学试卷的启发
1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；
2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性；
3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。
二、解题策略选择
1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题和填空题的后一题是比较男的题目，22和23是二选一的题目，相对比较容易，解答题的20和21题是难题（一般是入口容易，拿高分难，所以也不能完全放弃，应该是争取多拿分）。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，有的难题却可能是自己的容易题。所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1-2分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答。
2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择项也是已知条件，利用选择项之间的关系可能使你的答案更准确。要十分重视第一印象. 心理学表明，考生在接触试题时大脑皮层处于高度兴奋状态，对新事物的反应灵敏，容易迅速做出决定. 经验表明，第一感觉的正确率在80％以上. 因此，不要轻易改动第一次做出的选择. 在检查的时候，同学们不要按照第一次答题的角度去考虑，应该从另外一个角度去思考，没有充分、足够的理由不要推翻第一次的选择. 切记不要“小题大做”。
注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答题卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。
（1）直接法
直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．
由于填空题和选择题相比，缺少选择项的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果.
直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义、性质（若，则或）、通项公式（或）、前n项和公式（等差数列、，等比数列）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态.
（2）排除法
排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论。具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除。比如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这个数的范围选项，即：如果有两个选项A（）、B（），你就可以选取1这个数看是否符合题意，如果1符合题意，你就排除B，如果1不符合题意，你就排除A，这样就能快速找到正确选项，当然，选取数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对熟悉的知识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论证，看是否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项。
而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法。那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！
（3）特例法
特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果。
特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择。特别是对于一些比较棘手的高考选择题或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题。
常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论。比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件。
特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但使用时一定要注意：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解答本类选择、填空题的最佳策略。
近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！
（4）估算法
估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径。
对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法。
当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用。
而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论.
（5）数形结合法
数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。
在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：
①在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
②借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
③处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
④有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
⑤线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。（一定要严格按我的方法做）
⑥数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
⑦解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
⑧立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。
著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法。
三、解题思想方法
1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；
2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；
3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；
4.选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；
5.求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；
6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；
7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系公式法；使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别式；
8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；
9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；
10. 求三角函数的周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；
11.数列的题目与和有关，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；
12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数，而三角形面积的计算注意系数；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；
13.导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；
14.概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；
15.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，若式子为勾股定理型的，可使用三角换元来完成；
16.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范围或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；
17.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先考虑使用定义；
18.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；
19.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式即可，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
四、每分必争
1.答题时间共120分钟，而你要答分数为150分的考卷，算一算就知道，每分钟应该解答1分多的题目，所以每1分钟的时间都是重要的。试卷发到手中首先完成必要的检查（是否有印刷不清楚的地方）与填涂，之后剩下的时间就马上看试卷中可能使用到的公式，做到心中有数。用心计算简单的题目，必要时动一动笔也不是不行（你是写名字或是写一个字母没有人去区分）。
2.在分数上也是每分必争。你得到89分与得到90分，虽然只差1分，但是有本质的不同，一个是不合格一个是合格。高考中，你得509分与得510分，虽然只差1分，但是它决定你是否可以上一本线，关系到你的一生。所以，在答卷的时候要精益求精。
对选择题的每一个选项进行评估，看与你选的相似的那个是不是更准确？
多选题不要当“单选题”做，至少选两个选项。
填空题的范围书写是不是集合形式，是不是少或多了一个端点？是不是有一个解应该舍去而没舍？
解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式完成的，应用题是不是设、列、画（线性归化）、解、答？根据已知条件你还能联想到什么？把它写在考卷上，也许它就是你需要的关键的1分，为什么不去做呢？
3.答题的时间紧张是所有同学的感觉，想让它变成宽松的方法只有一个，那就是学会放弃，准确地判断把该放弃的放弃，就为你多得1分提供了前提。
4.冷静一下，表面是耽误了时间，其实是为自己赢得了机会，可能创造出奇迹。在头脑混乱的时候，不妨停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你就会得到灵感。
5.题目分析受挫，很可能是一个重要的已知条件被你忽略，所以重新读题，仔细读题才能有所发现，不能停留在某一固定的思维层面不变。联想你做过的类似的题目的解题方法，把不熟悉的转化为你熟悉的也许就是成功。
6.高考只是人生的重要考试之一，其实人生是由每一分钟组成的。把握好人生的每一分钟才能真正把握人生。高考就是平常的模拟考试罢了，其实真正的高考是在你生活的每一分钟里。
3.高考数学临场解题策略
高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考数学的重要内容之一，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。
一、调整大脑思绪，提前进入数学情境
考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，
通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而稳定情绪、增强信心，减轻压力、轻装上阵，使思维单一化、数学化，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
二、“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场
集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。
三、沉着应战，确保旗开得胜，以振奋精神
良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
四、“六先六后”，因人因卷制宜
在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金时间了。这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。
1.先易后难。即先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际情况，果断跳过“啃”不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
2.先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较透彻、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中、高档题目的目的。
3.先同后异。即先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。
4.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在解答大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础。
5.先点后面。近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。
6.先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。
五、一“慢”一“快”，相得益彰
有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。
六、确保运算准确，立足一次成功
数学高考需要在120分钟时间内完成22道题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也毫无意义。
七、讲求规范书写，力争既对又全
考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对，对且全，全而规范。会而不对，令人惋惜;对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”。“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。
八、面对难题，讲究策略，争取得分
会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法：
1.缺步解答。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，
即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。还有像完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分。而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。
2.跳步解答。当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径;如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底;另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。
九、考前寄语
①难易分明，决不耗时；
②慎于审题，决不懊悔；
③必求规范，决不失分；
④细心运算，决不犯错；
⑤提防陷阱，决不上当；
⑥愿慢求对，决不快错；
⑦遇新不慌，决不急躁；
⑧奋力拼杀，决不落伍.
4.新高考数学多项选择题的解题策略与技巧
新高考改革取消文理科，对统考科目设新要求。2020年山东、海南采用新课程标准，依据《新课标考试纲要》命制试题。2022 年，广西也开始实行新高考改革，2024年是新高考改革的第一年高考，试题中多出多选题题型，考查容量大、知识面宽，解题思路广，数学思想丰富。本文通过对近年高考多项选择题进行研究，把握多选题命题特点，对多项选择题的解题方法进行了反思，掌握解答技巧。
一、多选题的考查性质和特点
多选题作为新高考改革中的一种重要题型，充分体现了对“四基”“四能”及核心素养的考查。这种题型主要侧重于学生的基础知识和基本技能的测试，通过合适的试题情境和相应的题目背景，能够实现对同一情境下多个结论的判断和选择。多选题并不是简单地将知识点拼凑在一起进行考查，而是更加注重考查学生在知识储备和技能掌握方面的综合运用能力。其主要特点表现为：题目设计灵活多样，能够有效地测试学生的思维能力、分析能力、判断能力和综合运用知识的能力；同时，多选题还能够引导学生更加注重知识之间的联系和贯通，从而提高学生的综合素质和未来发展潜力。
（1）无需解题过程
多选题与单选题类似，都要求学生从提供的选项中选择正确答案。不同之处在于，多选题需要学生选择多个正确答案，而不是仅选择一个。同样，多选题也不需要学生具体书写解题过程，只要选择出正确的答案，就能得到相应的分数。
（2）分值灵活
新高考的选择题由8个单选题和4个多选题组成，每题5分，共计60分。在多选题中，考生需全选对才能获得5分的满分，若只选对部分答案，只获得2分的得分，而如果考生有选错或未选的选项，该题将被判为0分。今年九省联考多选题的付分方式也有所改变，多选题为3题，每题6分，共计18分；考生全选对获得6分的满分，如果正确选项是两个的话，选一个正确的3分，全对，得6分；如果正确选项是3个的话，选一个正确的2分，选两个且正确的4分。
（3）考查知识内容多样化
新高考中的多选题涉及多个知识点，需要考生具备较为全面的数学素养。在解答多选题时，学生需要排除并验证每个选项的正确性，这不仅增加了对知识点的考查，同时对考生的能力也提出了更高的要求，从而提高了试题的难度。
（4）考查策略需选择
多选题允许学生利用已选答案作为已知条件进行推断，从而减少对每个选项的重复计算。这种解题思路的多样性和灵活性可以节省学生的时间，提高解题效率。
（5）考查创新思维
多选题鼓励学生运用创新思维和创造性解决问题的能力，题目可以是新的，也可以是旧的，但是解决问题的方法和思路需要有创新性。多个选项的数学问题可以涵盖多种不同的数学思想方法，这对学生的思维方式与能力提升均有显著的助益。
（6）能更好地区分学生的能力层次
多选题不仅测试学生对数学知识的掌握程度，同时亦对其综合素质进行考察，这些素质包括时间管控、心理素质以及应变能力等。多选题采用的多级得分模式对提高低水平学生的得分具有积极作用，同时也有助于区分出高水平的考生。因此，这种方法能够更为精准地评估不同能力层次的考生，从而有助于选拔优秀人才。
二、数学多选题的基本类型
数学多项选择题的设计方案，根据其选择支的差异化特性，可以大致划分以下六种基本类型：
1. 条件缺失型：此类题目是一种常见的数学问题类型，其特点是在生成干扰选项时会故意省略某些易于遗漏的条件。这种题型旨在测试学生的细心程度和考虑问题的全面性。在解决这类问题时，学生需要仔细审题，并尽可能将所有已知条件和限定条件都考虑到。否则，如果忽略了某个重要条件，就可能会得出错误的答案。因此，在面对条件缺失型题目时，学生需要保持高度警觉，并对每个条件进行认真分析和推理。
2. 实际背景忽视型：这种类型题目是一种非常具有挑战性的题目类型，它通过仔细地模拟学生在计算过程中可能出现的错误和失误，构造出具有较强迷惑性的干扰选项。这种类型的题目在提升试题的针对性和区分度方面具有显著的效果，因为它能够有效地测试学生对于基本计算技能的掌握程度，同时也能检测学生对于题目背后实际应用背景的理解程度。在模拟这种题目时，需要注意细节和精度，确保干扰选项的构造符合实际情况，并具有一定的迷惑性。这样才能使题目更加具有挑战性和区分度，从而有效地测试学生的实际水平。
3. 概念混淆型：此题型是一种常见的数学测试题型，旨在考查学生对于数学相关概念、性质的理解和掌握程度。这种类型的题目通常会设计一些干扰选项，以混淆学生的判断，让学生在进行选择时容易产生困惑和犹豫。在设计概念混淆型题目时，出题者通常会选择一些学生容易混淆的概念或者性质作为考点，例如相似三角形和全等三角形、函数和方程等等。
4. 题意误解型：这种题目是一种常见的干扰选项，通常是由于考生在考试过程中读题不严谨、审题不细致，导致对题目要求和意图产生误解，从而得出了错误的结论而设计的。这种干扰选项通常会利用考生对题目中某些关键词汇或细节的理解不足，或者利用考生对题目背景和知识点的掌握不全面等漏洞进行设计。
5. 推理错误型：这种类型题目是一种常见的逻辑推理题目，其特点在于题目中给出了不完整或不合逻辑的推理过程，而干扰选项则通常是由这个不正确的推理过程所产生的不正确结果。在解决这类题目时，需要考生认真阅读题目，理解推理过程，并从中找出推理错误，从而排除干扰选项，找到正确答案。常见的推理错误包括：偷换概念、前提不足、因果倒置、非黑即白等。
6. 思维定势型：这种类型题目是一种较为常见的题目类型，通常会以某种形式隐藏在看似熟悉的条件和相似的形式中。这些题目通常会利用人们习惯性的思维方式，通过巧妙地伪装和误导性的信息，来引发错误的类比和联想。在这种类型题目中，干扰选项往往是设计来诱使答题者陷入思维定势，从而忽略题目中的关键细节或隐含条件。对于这种题目，关键是要保持清醒的头脑，仔细阅读题目并审慎分析，以便突破思维定势的束缚，找到正确的答案。
三、多选题解题方法与技巧
多选题通常要求考生从四个选项中选择两个或以上正确答案，但所有选项都正确的极少出现。这类题目考查知识面广，要求考生对数学基础有深刻理解并全面掌握。考生面对多选题需熟悉并掌握几种解题策略，因为从四个选项中选一个答案转变为选多个答案，更具挑战性。
2.1求解对照法（直接法）
这种方法为同学们所熟知，解题时，首先要完整读取题目信息，既需阅读题干，亦需阅读四个选项。对关键的字眼应予以仔细辨识，以免出现误解或遗漏，从而造成不必要的失分。在理解题目条件的基础上，应迅速联想到相关的概念、公式、定理以及常见的思想方法。同时，还需找出题目中的隐含条件，深入理解题目的真实含义。由于高考的题量较大，若所有选择题均采用直接求解对照法（即直接法）进行解答，时间上将无法充分保障，甚至有些题目在短时间内可能无法得以妥善解决。因此，我们需要掌握并运用其他的方法进行解题。
2.2特值检验法
根据题干或选项的要求，为变量赋予特定值，是帮助选择正确答案的有力手段。此外，这种方法亦可用来识别错误答案。特别是针对多选题，答案往往含有多个正确选项，此时考生可通过预先设定特殊值，将其代入选项中进行检验。若某些选项与预设值不符，则可直接排除，从而缩小了答题的范围，有效节约了解题时间。
2.3逆推代入法
将选项中给出的答案，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，用时注意，考虑全面，避免遗漏。如求取值范围的问题可用这种方法，不但能节省繁杂的计算过程，而且可争取到更多的考试时间。
2.4排除法
排除法指的是可以通过排除错误选项，节省推导和计算时间.在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定是正确选项（至少存在两个正确选项）。经过对近年高考试题进行深入分析和研究，我们发现一个较为显著的模式：在四道多选题中，至少有两道的正确选项数量仅为两个。
2.5逻辑分析法
逻辑解析法：该方法通过剖析四个选项之间的逻辑联系，以否定错误选项，从而挑选出正确选项。举个例子，在多选题中，如存在两对内容互相对立的选项，我们应从两对对立选项中各自挑选一个选项作为正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD两组选项互相对立。此时，我们应从AB和CD两组中各选择一个答案。另外，如果存在两对内容相近或相似的选项，且这两对选项内容对立，那么其中一对相近或相似的选项应该是正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD的内容相近且对立。如果判断A项正确，则AB两组都正确；如果判断C项正确，则CD两组都正确。
2.6宁缺毋滥法
也称为“逃避策略”，源于中国古代兵法的三十六计“走为上”，是在有充分把握时的首选策略。有把握的选项应当被毫不犹豫地选择；而对于没有把握的选项，应坚决地放弃。猜对的概率最高仅为50%，若不幸猜错，本题将被判定为0分。在面对多项选择题时，应明确强烈的审慎原则，首先选出2个最有信心的选项，只有在确信还有其他正确选项时，才能继续筛选。否则，拒绝选择，以防止错误答案的出现。这样，才能保障基本得分。因此，在处理选项时，我们应坚持宁缺毋滥，这与单项选择题的处理方式存在显著差异。
总之，新高考中数学多项选择题的引入与设置，为数学知识的教学与考查提供了更多的平台，同时也为不同水平的学生提供了更多得分的机会，更加准确地评估和区分了学生不同层次的数学基础和能力水平。此外，不同类型的数学多项选择题和相应的解题策略也相继出现，这些策略在应用时并不是孤立的，而是相互交织和融合的。因此，学生在解题时需要综合考虑，并巧妙地运用这些策略。教师在教学过程中应着重巩固基础，注重概念讲解，平日教学中要灌输学生数形结合、分类讨论等解题方法。
5.高考数学阅卷和答题卡确注意事项
扫描
1.如果不使用规定的2B铅笔，可能识别被误判为“空选”，造成失分。
2.答题要规范，否则若无法辨认，容易误判或不给分。

3.作图未使用规定铅笔，或下笔太轻，会造成扫描看不清楚，请慎重。
4.语言表述需简明扼要，勿超出答题区域。
二、阅卷
1.主观题和客观题
一般客观题为选择题，由电脑自动阅卷完成；主观题为填空题、解答题，划分区域后，由人工网上阅卷完成。改卷中存在争议的部分，往往都是主观题部分。
2.正评和仲裁
每次考试，一般每道题由两位老师独立评分，即为正评。评卷前会在系统内设定一个允许误差，一般是2分，若两位老师评分不超过允许误差，则得分按均值计算；若评分超过允许误差，则试卷提交到第三位老师进行仲裁，作为最终结果。
3.评卷误差的产生
评卷误差的产生，主要有两个原因：一是解题过程的规范性，二是书写的规范性。
由于解题过程的不规范，其实是方法掌握得不够全面，各题迥异不具代表性，这里主要展示一些书写规范性的问题。
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①潦草的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。
②解答题未化简到最终结果可能会多扣分;
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③填空题以下情况全扣;
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④千万别和阅卷老师开玩笑，情节严重者，本题即使有部分正确依然0分处理。
建议同学们要注意平时作业和考试中的书写，一定要非常规范，养成良好的习惯，这样在高考中就会很自然地书写规范，考出自己满意的成绩！
三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面，具体包括以下6点：
1.卷面清洁，这是最基本的要求；
2.书写工整，字迹清晰；
3.在规定的答题区域答题，否则做无用功；
4.表述是要根据分值思考要点，尽量细分，用分号或①②③④等符号清楚表述；
5.语言要简洁，答中要害；
6.语言表述要规范，尽量用专业术语。
如果卷面做到了以上6点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的高考评分原则下，将无形中增加了多得分的砝码。
四、以下是网上阅卷中发现的考生答题不规范的典型情况：
1.字迹潦草
问题一：字迹潦草、字迹过淡的情况不少。高考阅卷是在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没有平时纸质阅卷那么清晰易认，加上高考阅卷时间短、任务重，因此字迹不清楚的试卷是不受阅卷老师欢迎的。
【应对】书写差的学生应加强书法练习，不仅每个字要力争书写工整、大方，而且整个卷面要做到干净、清洁；答题卡答题范围设置是假定用三号字书写两倍正确答案字数的大小，考生无需担心字写大了书写空间不够；考试时统一要求学生使用配套的0.5mm考试专用水芯笔，避免笔迹过淡或过浓导致扫描不清晰。
2.题号填涂与作答不符
问题二：试卷中有选考题，要求考生除了答出所选题目的答案外，还要在答题卡中将相应的选择题号涂黑，而部分考生出现答题内容与所涂题号不一致的情况，这样做，该题0分。例如，考生涂的是9题题号，答的却是10题的内容，只能得零分。
【应对】答选考题时，一定要头脑清醒，选定要答的题目一定要涂
对题号，否则白费了工夫，还不得分。
3.超出规定区域答题
问题三：部分学生还没想好便匆忙答题，以至于格式没安排好，超
出了该题预留的答题位置。在网上阅卷中，超出规定区域的答案无效。
【应对】答大题时，想好了再动笔，先答什么，后答什么，要有条理，不能写了半天还没入主题，重要的东西没地方写了，再东找点地方，西找点地方写，结果不得分。
4.答案分块
问题四：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。“分块”现象容易导致阅卷老师漏阅得分点，造成赋分过少的现象。
【应对】高考试题中的非选择题一般是一个要点2分。因此，书写答案前先确定需要书写的要点个数，规划好答案的整体布局，在书写前对答案打好草稿，然后从左上角往右下角书写，这样就不会出现图示的“分块”现象；备考过程中加强对高考非选择题答案的揣摩，分析答案要点有几个，答案依据在哪，为什么只答这几个要点等。做到答题时条理分明，避免书写之后又补充答案的现象。
5.答案不分层次
问题五：不少考生答一道大题时，没有层次，一口气写了一大段，让阅卷老师很难查找知识点。
【应对】对于一道需要答出很多采分点的大题，考生作答时要尽可能做到有层次，这样能让阅卷老师感觉到该考生思路是清晰的，便于得高分。
6.作图不规范
问题六：部分学生在答题卡上作图不清晰，要不过淡，要不就东一条线、西一条线，擦又没擦干净，显得很脏，这让阅卷老师很难辨识清楚。
【应对】作图题要本着清晰、干净的原则，该用尺子的地方一定要用尺子，线条要重些，但又不能让其看起来显得很脏。
7.出现删除符号
问题七：部分考生匆忙答题，答错了一段，便用删除符号大面积删掉。
【应对】很多学生感觉答题出现错误时，往往使用删除符号划掉部分字词，这是一个极其错误的思维定势。
高考阅卷有一个“采点得分”原则，即只看对的答案。只要不是同一句话中前后矛盾，那么即使是错误的答案也不会影响考生应得分数。因此，在不允许“打补丁”的前提下，已经书写的答案就不要使用删除符号。
解决方案：1.如果答案中已经用数字标注①、②、③等，则无需进行修改。2.如果没有使用数字标注的习惯，则在认为要删除的答案前后标上句号，使其与别的答案存在并列关系。
数学阅卷中给考生在考试中发挥提几点意见：
1.发挥最大潜能，让考分达到最大值，忽略其他一切与考试无关的东西。
2.立体几何第1问一般较为简单，用一般知识即可解决，不必用空间向量求解，但第2问一般都要建坐标系用向量求解。
3.由于每道大题答题框面积有限，故答题只能写必要关键步骤，有些课本上没有的常规结论直接使用。
4.如果将前面的过程写得过细，必然会导致后面拥挤，关键的内容没有写上。
5.大家知道，大题不能留空白，“会而不对”的题将涉及的知识套上去，必要时用“瑕疵”法求解。
6.大胆使用归纳、类比，赋值法。
7.熟知高考数学解答题的评分标准：解答题评分的大思想“踩点给分”，先由评卷全体老师把该题可能有的解法都解出来，每种解法，细化步骤，讨论哪一步给多少分，直到评卷组长通过为止。
6.解答题解题模型
概率条统计
考前心理篇
1.考前考生需要做哪些准备
一年一度的高考即将来临，又是千千万万学子寒窗苦读12年，怀揣大学梦，共挤独木桥的夏季，在离高考只剩下半个月的时间，高三的学生们该如何做好高考前的准备呢？这里不仅有文化课的准备，还有心态的准备，需要做到劳逸结合，保持好心态，保持好身体，高考才能正常发挥。现在就为正在努力备考的学生们分享一下高考前的准备工作。
知识准备
1.不做题海战术。距离高考时间越来越近，这时不能够再把时间花在题海战术上，可能有些同学说，如果不保持每天的做题量，锻炼自己的做题速度跟准确度，很难保证在考场上有正常的发挥。其实，我们应该把更多的时间分配到各科的基础复习当中，然后在每天复习完之后，适当选择一些题目出来练习，建议按照规定的时间完成每一道题目，也能达到考场中的那种紧张感。
2.注重课本基础知识点的复习。这时已经不是做难题做偏题的时候，在这么短的时间，想要有一个突破性的提高，基本已经很难，同学们应该把更多的精力放在课本基础知识点的掌握与复习当中，高考面向的是所有学生，试题大部分偏向于基础，而少部分的难题作为中高层学生的拉分机会。当然，题目难，得分也难；题目易，失分也容易，考场更需要胆大心细，做到易题不丢分，难题争得分。
3.分析自己的优势弱势环节。复习时，要客观理清自己的优势科目、弱势科目。如果理科是弱势，那么这时再强化做题基本已经来不及了，反而应该多看看课本上的基础性原理跟公式的应用，保证基础题目能够得分，而且是尽量拿满分，减少失误；如果弱势在于文科，那么在接下来的时间里面，还有机会进行一小段的提高，比如可以多花一些时间背诵名人警句，多看看优秀作文，多背背英语单词，听一听听力，培养自己的语感，一直持续到高考该科目的结束，相信会有一个不错的效果。
4.翻阅错题本。在复习时，将以前做过的试卷或者收集起来的错题本拿出来，多看看里面经常会犯错，而且容易忽略的基础性错误，避免在高考时又在同样的地方摔倒，尽量做到会做的题目，就拿满分，不会做的题目，分析一下哪些步骤会做，争取拿分，特别是理科题，不要因为是难题就完全放弃，而是在考试的时候，看哪些步骤会，就写上去，题目是按步骤给分，多争取一个步骤，就多争取一分，就相当于为上理想大学多向前迈进了一步。
5.适当做题，掌握技巧。在临近高考前，会发现越来越多的模拟题，特别是各个地方传来的所谓高考热点，这时候自己要有所针对性地做一些相应的模拟题，但切记过多，一个星期在规定的时间内完整做完2到3套模拟题即可，关键在于保持自己的作战心态，从做题中给自己一个宏观上的分析，可以找出自己在做题过程中所遇到的问题，避免在考场上的重现，提高自己的应试能力，做到知己知彼。
心理调整
1.给自己积极的心理暗示。每天早上起床，面对着镜子微笑，提升自信心，保持良好的心态，就算跟同学打招呼，也露出自信的微笑，一定要相信自己，只要努力付出了，就无怨无悔。高考只是学习之旅的一个驿站，考得好与不好只是暂时的一个经历而已，重要的是在这12年的学习中，培养的思考能力与学习能力，以后的人生之路还很长很长。
2.不跟学习成绩好的攀比。五指伸出有长短，每个人都有每个人的优缺点，有长处也有短处，而且每个人的学习方法不同、天赋不同、后天成长也不同，根本就不存在可比性，每天只要跟自己比就好，是否今天又发现了自己存在丢分的环节，是否又发现了自己可以在哪些环节上进行加分，只有不断地剖析挖掘自己，自然而然就能够更加客观地看待这次高考。
3.放松心情，别给自己太大压力。高考几乎是每个人都会经历的一次考试，当然心态看个人，主要靠自己调整，越是临近高考，越是要跟学长、老师或者家人进行心理上的沟通，把心中的烦闷跟他们讲，把遇到的心理压力释放出来。作为过来人，他们会给出当年高考是怎么一步步走过来的，这样有了一个借鉴性的经验，自然心情就会舒畅很多，切忌什么事情都往自己身上推，对自己过不去，就是对自己的未来过不去，多多沟通交流，才能不断解惑释压。
4.劳逸结合。在临近高考，学生切忌整天除了睡觉的时间，其余都花在课本上面。每天给自己定好一个复习计划，看完书就到外面走走、散散步、跑跑步、聊聊天或者打打球，让大脑休息一下，持续地看书做题，有时会让大脑处于一个紊乱状态，可能有一些题目其实并不难，但却总是解不出。不知道同学们自己有没有发现，当过了一两天之后，这些所谓的难题再拿出来做，会有一种豁然开朗的感觉，这就是需要劳逸结合的目的所在。而且通过适当的运动，还可以增强体质，保持一个健康的体魄，避免高考时身体不适，导致发挥失常，那才是前功尽弃，得不偿失。
2.高考前一天需要做哪些准备
高考对于考生和考生家长都是一次很重要的考试，考试中如果发生一点差错，就可能会对考生造成影响，那在考前应该做好哪些准备工作，让我们有备无患呢？
1.考场踩点。在高考前，考生最好能够去考场踩点，以便在高考当天迅速找到考场，避免因考场找不到而造成的心理焦虑，我们去踩点时要注意考场在哪栋楼、哪一层、哪个教室，座位大约在哪，洗手间在教学楼的哪个位置，从我们的住处到考场需要多长时间，要使用什么交通工具，等等。
2.准备好考试用品。最重要的准考证、身份证，文具(包括签字笔、2B铅笔、橡皮、三角板、直尺、圆规等)，手表，着装，水和雨具。这些可以统一放在一个文件袋中，方便寻找。
3.调整作息时间。为了在高考时，能够有更好的发挥，在考前一天，复习的强度不宜过大，休息好大脑才能在考试时充分发挥。
4.记清考试规则。在考前一定要记住高考的规则，不要带考试禁止的东西进入考场，考号、姓名要写在规定处，不要带草稿纸等出考场。考号姓名以及答题卡涂写方式可以在平常的模拟考试中演练。
5.调整心态，积极面对高考。有一个良好的心态，对于高考无比重要，很多考生会因为高考的巨大压力寝食难安，在考前，考生可以通过自我暗示、与人沟通、转移注意力等方式调整自己，让自己带着最佳心态进入考场！
3.考后需要注意哪些事项？
高考之后，有许多事项需要考生们注意。以下是一些建议：
1.放松和调整：高考结束之后，大家往往会感受到一种前所未有的解脱，这是完全可以理解的。在此阶段，适当调整作息、放松身心，有助于从高度紧张的高考状态中逐步恢复。然而，亦需警惕过度放纵，始终保持健康的生活方式。
2. 志愿填报：高考结束之后，紧接着的紧要事务即为志愿填报。学生需依据自身兴趣与职业发展规划，挑选适宜的专业与院校。在进行志愿填报时，务必全面了解各校及专业之特色，以免草率决策。
3. 保护个人信息：高考结束后，学生的个人信息可能会被一些不法分子利用。因此，建议学生保护好自己的个人信息，如姓名、身份证号、准考证号等，避免泄露给陌生人。
4. 规划未来：高考仅为人生旅程中的一站，考生需深思熟虑未来规划，涵盖欲攻读的专业、拟从事的职业以及期望的生活方式等。可与家人、师长、友人等沟通交流，汲取他们的建议和意见，从而作出独立决策。
5. 保持联系：高考结束后，你可能会与一些同学分开，但这并不意味着你们要失去联系。你可以通过社交媒体、电话、邮件等方式保持联系，分享彼此的生活和学习经历。
6. 培养兴趣爱好：高考之后，你有更多的时间和精力去培养自己的兴趣爱好。这不仅可以让你更加充实和快乐，还可以帮助你发展自己的才能和技能。
7. 注意身心健康：在高考之后，你可能会有一些压力和焦虑，这是正常的。你需要注意自己的身心健康，保持积极的心态和情绪。你可以通过运动、阅读、旅游等方式来缓解压力，保持身心健康。
总之，高考之后是一个新的开始，你需要为自己制定一个合理的计划，为未来的学习和生活做好准备。同时，也要注意自己的身心健康，保持积极的心态和情绪。
或许这才是高考的实质：尽管它无法预定你的未来，但它却见证了你青春年华中最美好的时光。
【终极押题篇】
确认过眼神，这就是你想要做的题！
2024年新高考数学终极押题卷（22题型）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
第I卷（选择题)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
2．已知复数(,i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数,则a的取值集合为
A．B．C．D．
3．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场. 则上述三名选手之间比赛的场数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8.母线，点B在上，且，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70B．75C．80D．85
6．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（ ）
A．3小时B．4小时C．5小时D．6小时
7．如图，在△中，，，，是边上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题正确的有（ ）
A．若方程表示圆，则的取值范围是
B．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C．已知点在圆C：上，的最大值为1
D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．满足的的取值范围为（）
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴
D．函数与的图象关于直线对称
11．已知实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为6D．
12．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则 .
14．已知，表示小于的最大整数，，令，则中元素之和为 .
15．夏季为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，游客人数基本相同；
②游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约200人；
③2月份的游客约为60人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
则用一个正弦型三角函数描述一年中游客人数与月份之间的关系为 ；需准备不少于210人的食物的月份数为 .
16．已知正方体的棱长为2，以A为球心，为半径的球面与平面的交线长为 .
四、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在中，分别为内角所对的边，且满足．
(1)求角的大小；
(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，并以此为依据求的面积．（注：只需写出一个选定方案即可）
条件①：；条件②：；条件③：．
18．（12分）为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购辆．
（1）求经过个月，两省新购校车的总数；
（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求的最小值．
19．（12分）共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．
附：回归直线 的斜率 ，
相关系数 ，
独立性检验中的 ，其中 ．
临界值表：
(1)设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为 ，且年龄x的方差为 ，评分y的方差为 ．求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当 时，认为相关性强，否则认为相关性弱）．
(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将 列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）已知函数，.
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)当时，，求的取值范围.
22．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：为定值．
确认过眼神，这就是你想要做的题！
2024年新高考数学终极押题卷（19题型）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若（其中为虚数单位），则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程，预测当气温为时，用电量度数为
A．68B．67C．65D．64
8．已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
10．已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）
A．B．
C．的面积的最大值为D．的最小值为
11．已知函数是定义在R上的奇函数，函数是定义在R上的偶函数，且满足，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．是周期为3的周期函数
C．D．
三、填空题
12．是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则 .
13．已知向量，，且．则的值为 .
14．由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有 种.
四、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点.
(1)求二面角的余弦值；
(2)若点满足，求直线与直线所成角的正弦值.
16．某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望．
附：
17．已知函数，其中．
（1）若，求函数的极值
（2）是否存在实数，使得函数在内单调？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
18．设为曲线上两点，与的横坐标之和为
（1）若与的纵坐标之和为求直线的方程.
（2）证明：线段的垂直平分线过定点.
19．在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）.
(1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此时的信息熵.
2024年新高考数学终极押题卷（22题型）解析版
一、单选题
1．已知集合，集合，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，结合各选项知B正确．
2．已知复数(,i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数,则a的取值集合为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意有,即,
或,又,
或或.
3．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场. 则上述三名选手之间比赛的场数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】设一共有个选手，故总场次，其中为上述名选手之间比赛的场数，则，经验证，当时，.
4．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8.母线，点B在上，且，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图,球的球心为O，半径为R，则，，，
所以，即，解得，
取的中点N，，，则，
所以，，
过点B的平面被该球O截，若截面面积最小，则垂直于截面，此时截面圆半径为，所以截面面积的最小值为.
5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70B．75C．80D．85
【答案】B
【解析】由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，故最多会有人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
6．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（ ）
A．3小时B．4小时C．5小时D．6小时
【答案】C
【解析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，
则，两边同时取对数得，，
所以，所以大约需要小时.
7．如图，在△中，，，，是边上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由 可得，
8．设函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为R，且，
所以是偶函数，易知在上是增函数，
所以不等式即为，
则，解得，所以不等式的解集为
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A．若方程表示圆，则的取值范围是
B．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C．已知点在圆C：上，的最大值为1
D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为
【答案】BD
【解析】若方程表示圆，则，即，
解得或，故选项A不正确；
设圆心，则圆心到直线的距离为，
解得，即圆心为，所以圆的标准方程是，故选项B正确；
由可得，表示圆上的点与原点 连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故选项C不正确，
将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，由得，可得圆心，，
圆心到直线的距离
所以弦长为，所以公共弦长为，故选项D正确
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．满足的的取值范围为（）
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴
D．函数与的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】由图可得，，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以
，故A正确；
由可得，
所以，解得，，故B正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的是函数的图象，直线不是其对称轴，故C错误；
因为，
所以函数与的图象关于直线对称，故D正确
11．已知实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为6D．
【答案】AD
【解析】对于A，因为，，所以，得，
当且仅当时，取等号，所以的最大值为，所以A正确，
对于B，因为，，所以，，所以，
所以，
所以当时，有最小值，所以B错误，
对于C，因为，，所以
，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，所以C错误，
对于D，因为，所以，
由选项B知，所以，所以，
所以，所以，所以，所以D正确
12．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由已知，，
即．
则关于x的方程有正实根，
所以．
因为，则，所以．
设，
则二次函数的关于直线对称，且，
．
若是的一个较小零点，则，即；
若是的一个较大零点，则，即.
三、填空题
13．抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则 .
【答案】6
【解析】由题意得，设线段的中点为，
则，
设直线的斜率为，
则线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
又，作差得
整理得，所以，∴．
14．已知，表示小于的最大整数，，令，则中元素之和为 .
【答案】
【解析】因为，，，所以集合，
则中元素之和为
15．夏季为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，游客人数基本相同；
②游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约200人；
③2月份的游客约为60人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
则用一个正弦型三角函数描述一年中游客人数与月份之间的关系为 ；需准备不少于210人的食物的月份数为 .
【答案】 5
【解析】设该函数为，
根据条件①，可知这个函数的周期是12；
由②可知，最小，最大，且，故该函数的振幅为100；
由③可知，在上单调递增，且，所以，
根据上述分析，可得，解得，且，解得，
又由当时，最小，当时，最大，
可得，且，
又因为，所以，
所以游客人数与月份之间的关系式为，
由条件可知，
化简得，可得,
解得，
因为，且，所以，
即只有五个月份要准备不少于210人的食物.
16．已知正方体的棱长为2，以A为球心，为半径的球面与平面的交线长为 .
【答案】
【解析】由题意知.
如图，在平面内任取一点P，使，则，
故以A为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心，以2为半径的圆，
故该交线长为.
故答案为：
四、解答题
17．在中，分别为内角所对的边，且满足．
(1)求角的大小；
(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，并以此为依据求的面积．（注：只需写出一个选定方案即可）
条件①：；条件②：；条件③：．
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】（1）因为，
则，
故，
由于，所以.
（2）若选①②，
三个已知条件是，没有一个是具体的边长，无法确定．
若选②③，三个已知条件是，由正弦定理得，
此时存在且唯一，，
所以；
若选①③，三个已知条件是，
由余弦定理得，即，
解得（负值舍去），则，
此时存在且唯一，所以.
18．为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购辆．
（1）求经过个月，两省新购校车的总数；
（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求的最小值．
【答案】（1） ；（2） 278．
【解析】（1）设，分别为甲省、乙省在第个月新购校车的数量．
依题意，知是首项为10，公比为等比数列，是首项为40，公差为的等差数列，
所以的前项和，
的前项和，
所以经过个月，两省新购校车的总数为
．
所以；
（2）若计划在3个月内完成新购目标，则．
所以，
解得．又，故所求的最小值为278．
19．共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．
附：回归直线 的斜率 ，
相关系数 ，
独立性检验中的 ，其中 ．
临界值表：
(1)设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为 ，且年龄x的方差为 ，评分y的方差为 ．求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当 时，认为相关性强，否则认为相关性弱）．
(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将 列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关．
【答案】(1)0.9，对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强
(2)列联表见解析，有的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关
【解析】（1）解：因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以相关系数，
因为，所以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关很强；
（2）解：根据题意可得列联表如下：
因为，
所以有的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关.
20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；
(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【解析】（1）证明：因为，点是的中点，所以.
因为平面平面，所以平面平面，
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面，
所以平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由题意可得两两垂直，
设，如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，

因为点是的中点，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令可得，所以平面的一个法向量.
，设，
即，所以.
又，
所以，
化简得，解得或（舍去）.
所以，
设直线与平面所成的角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知函数，.
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)当时，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：当时，，
则，令，
则在上单调递减，且，且，
，使.
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
，，，
，
在上单调递减.
（2）当时，，即（记为*）在上恒成立，
令，，
，
要使（*）式在上恒成立，则必须，.
下面证明当时，在上恒成立.
，，
.
令，则，
故当时，单调递减；
当时，单调递增；
∴，
，
当时，在上单调递增，
，即（*）式在上恒成立，
另外一方面，当时，，
∴存在，使得当时，，在上单调递减，
∴当时，，与题设矛盾，不成立.
∴的取值范围为.
22．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：为定值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）由椭圆上一点满足，
可得，即，且，所以，
故椭圆的方程为；
（Ⅱ）因为，关于轴对称，所以可设，，，，则，，
可得直线的方程为，
令，可得的横坐标为，
同理可得的横坐标为，
所以，
因为，，
所以，，
可得为定值．
2024年新高考数学终极押题卷（19题型）解析版
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若（其中为虚数单位），则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由，则，解得.
2．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，是非奇非偶函数，A选项错误.
是非奇非偶函数，C选项错误.
的定义域是，在定义域上没有单调性，D选项错误.
令，的定义域为，
，所以是奇函数，即是奇函数，
由于在上都是增函数，所以在上递增，符合题意，B选项正确.
3．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数向右平移个单位长度，
.
4．椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为椭圆，，，所以，
即.
故选：C
5．已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知，，
令得或，
由题意是极小值点，则，
若，则时，，单调递减，时，，单调递增，
则是函数的极小值点，
若，则时，，单调递减，时，，单调递增，
则是函数的极大值点，不合题意，
综上，，即.
6．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米，
所以半球的表面积为（平方米），
圆柱的侧面积为（平方米），
圆台的侧面积为（平方米），
故该组合体的表面积为（平方米）．
7．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程，预测当气温为时，用电量度数为
A．68B．67C．65D．64
【答案】A
【解析】根据平均值公式由表格数据可得为，又在回归方程上且，解得，当时，，即预测当气温为时，用电量度数为 ，故选A.
8．已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
【答案】D
【解析】若，，则或，故A选项错误；
若，，，则或与相交，故B选项错误．
若，，则或，故C选项错误；
若，，，，则，正确，
证明如下：，，，，
又，且，，则，故D选项正确；
二、多选题
9．若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，或，
则，故D正确.
10．已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）
A．B．
C．的面积的最大值为D．的最小值为
【答案】BC
【解析】是的重心，延长交于点，则是中点，
，A错；
由得，所以，
又，即
所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，，
，C正确；
由得，
所以，
，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错．

11．已知函数是定义在R上的奇函数，函数是定义在R上的偶函数，且满足，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．是周期为3的周期函数
C．D．
【答案】ACD
【解析】A选项，因为为偶函数，所以关于直线对称，所以，
所以，所以，
所以，即的图象关于点对称，A正确；
B选项，又是定义在R上的奇函数，所以，
即，所以，
所以是周期为6的周期函数．
在中，当时，得；
当时，得．
又由，得，，
所以，所以，
则，，因为，所以B错误；
CD选项，在中，令，得，所以，
在中，令，得，所以，
所以，
所以，C，D正确.
故选．
【点睛】设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
三、填空题
12．是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则 .
【答案】9
【解析】是双曲线上一点，所以，所以，
由双曲线定义可知，
所以或者，又，所以，
故答案为：9.
13．已知向量，，且．则的值为 .
【答案】
【解析】因为，，且，
所以，即，即，
因为，所以，所以，又，
所以.
14．由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有 种.
【答案】480
【解析】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种，
4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种，
由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种，
四、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点.
(1)求二面角的余弦值；
(2)若点满足，求直线与直线所成角的正弦值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）在直三棱柱中，平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
由题意，、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
（2）解：易知、、、
点满足，则，
则，且，
所以，，
则，
因此，直线与直线所成角的正弦值为.
16．某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望．
附：
【答案】(1)列联表见解析；与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望为.
【解析】（1）依题意，列联表如下：
零假设:该校学生喜欢篮球与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.
（2）依题意，的可能值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
17．已知函数，其中．
（1）若，求函数的极值
（2）是否存在实数，使得函数在内单调？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）函数的定义域为，
当，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，是函数的极小值点，函数的极小值为（1）
（2）若函数在内单调递增，
则在恒成立．
即在恒成立．
因为
所以使得函数在内单调递增的不存在，
若函数在内单调递减
则在恒成立．
即在恒成立．
因为在恒成立．
所以时，函数在内单调递减．
18．设为曲线上两点，与的横坐标之和为
（1）若与的纵坐标之和为求直线的方程.
（2）证明：线段的垂直平分线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：设则
于是直线的斜率
根据题意有中点的坐标为
所以直线的方程为即
（2）证明：当直线的斜率存在时，设
由可得，
所以即，
所以
因为所以则
所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为.
即所以过定点(4，0).
当直线的斜率不存在时也满足.
19．在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）.
(1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此时的信息熵.
【答案】(1)，，最大值为.
(2).
【解析】（1）当时，,，
令，，
则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
（2）因为，（），
所以（），
故，
而，
于是，
整理得
令，
则，
两式相减得
因此，
所以.
参考答案
1、集合★★★★★
1．【答案】C
【解析】解:因为或,
所以,又有,所以.
2．【答案】B
【解析】因为，，则，
故集合的元素个数为.
3．【答案】C
【解析】解不等式，得，因此，
所以集合的子集个数为.
4．【答案】D
【解析】当时，；当时，；
当时，，故，故，
5．【答案】A
【解析】∵，，由此可知，，，，
6．【答案】C
【解析】当时,即,时成立;
当时,满足,解得;综上所述:.
7．【答案】D
【解析】，,
A、B选项错误；，，故C错误，D正确.
8．【答案】C
【解析】由，，解得，
所以，集合，
因为，所以，解得．
9．【答案】C
【解析】，，，
则，A错误，，B错误，C正确，或，D错误.
10．【答案】A
【解析】由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.
2、常用逻辑用语★★
1．【答案】A
【解析】因为，所以当时，，所以即，
当时，取，得不到，所以是充分不必要条件，
2．【答案】C
【解析】函数为增函数,则 ,此时,故函数在上单调递增;当在上单调递增时, ,,所以,故为增函数.
3．【答案】D
【解析】为，，等价于，或.
4．【答案】B
【解析】对A，若中，时也成立，故A错；
对B，当时，，故，
若，则，故B对；
对C，存在量词命题的否定是，故C错；
对D，若均为负数，则无意义，故D错.
5．【答案】C
【解析】由已知得圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以，即，所以所求直线方程为．
“”是“直线与圆相切”的充要条件，
6．【答案】B
【解析】化简不等式，可知 推不出；
由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，
7．【答案】D
【解析】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，
所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合
8．【答案】C
【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，解得，所以实数x的取值范围为.
9．【答案】B
【解析】由已知可得，由可得，解得，
所以由与的夹角为钝角可得解得，且.
因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；
当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立.
综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
10．【答案】A
【解析】∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，∴且，
即“”是“”的充分不必要条件．
3、复数★★★★★
1．【答案】A
【解析】,
2．【答案】D
【解析】的共轭复数为
对应点为，在第四象限.
3．【答案】A
【解析】复数，则，，所以.
4．【答案】C
【解析】对应的点为，其中关于的对称点为，
故，故.
5．【答案】A
【解析】由可得，所以，
所以，则.
6．【答案】C
【解析】由解得，所以.
7．【答案】A
【解析】，则，有.
8．【答案】A
【解析】
因为复数的实部与虚部相等，所以，解得
故实数a的值为.
9．【答案】AC
【解析】对于A，设，
则
，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，设，，，，故C正确；
对于D，设，，，
当或时，，故D错误.
10．【答案】BCD
【解析】设、；
对A：设，则，
，故A错误；
对B： ，又，即有，故B正确；
对C：，则，
，，则，
即有，故C正确；
对D：
，
，
故，故D正确.
4、平面向量★★★★★
1．【答案】A
【解析】
解法1：

解法2：因为，所以A为线段BC的中点，如图，过C做CE//BO，且交OA的延长线于点E，则,由图可知所以， 。
2．【答案】D
【解析】等比数列公比为q，而，则，解得，
，，则，
对于A，，因，则A不是；
对于B，，因，则B不是；
对于C，，因，则C不是；
对于D，，因，则D是.
3．【答案】B
【解析】根据题意可得，
所以，
所以与的位置关系为反向平行.
4．【答案】D
【解析】因为，，
所以，
所以，
因为为边长为的等边三角形，
所以，
所以，
所以，为定值，D正确；A，B，C错误.
5．【答案】C
【解析】
设，则，，
设，，则，，
因为，所以，解得，
所以，即.
6．【答案】A
【解析】由题意，所以，
即，所以，所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，
所以当取最大值时，.
7．【答案】AD
【解析】当时，，所以，故A项正确；
，当时，，但当时，向量与向量同向，夹角为，故B项错误；若，则，故C项错误；
若，则，即，解得，故D项正确．
8．【答案】AD
【解析】在平面直角坐标系中，令，
由，，得，，则，
对于A，，因此，A正确；
对于B，由三点共线，得，即，
于是，解得，即，B错误；
对于C，，由向量与垂直，得，
而，则，
当且仅当时取等号，C错误；
对于D，令向量与的夹角为，，当时，，，
当时，不妨令，，则，，显然，
，
当且仅当时取等号，D正确.

9．【答案】
【解析】如图：
连接，由题意知，且分别为的中点，.所以，
,得.
，，化简得，
所以
10．【答案】
【解析】由，，，可得，
因为，所以，所以向量与共线且反向，可得，
又由，，可得，
所以.
5、三角函数★★★★★
1．【答案】D
【解析】因为为锐角，所以且，所以得，
由诱导公式得，.
所以.
2．【答案】A
【解析】因为，，
所以，
画出的图象，
要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则，解得.
3．【答案】B
【解析】因为,
所以，
所以点在线段上靠近点的三等分处，
如图所示，过点作交于点，过点作交于点，

则，
所以，，
所以，，
所以.
4．【答案】C
【解析】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为，
由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下：
，
令，即，解得，
又，可得，，
，故C正确；
，，
，故D错误；
又，解得，故B错误；
，解得，故A错误.
5．【答案】D
【解析】因为为第一象限角，，则，，
，即，解得，，
所以.
6．【答案】D
【解析】根据题意可知若，则可得；
显然当时，可得，
由的值域为，利用三角函数图像性质可得，
解得，即的取值范围是.
7．【答案】D
【解析】因为，，
所以平方得，，，
即，，
两式相加可得，
即，故，
.
8．【答案】A
【解析】由题意，所以，
即，所以，所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，
所以当取最大值时，.
9．【答案】
【解析】，
由于是偶函数，所以,故，
所以，
10．【答案】
【解析】因为，故,
故，故为锐角，故，
故外接圆的半径为，
6、解斜三角★★★★★
1．【答案】A
【解析】因为，令，，，
则.
2．【答案】D
【解析】由余弦定理得：，即，
解得：（舍）或，.
3．【答案】B
【解析】由面积公式得：，解得，所以或，当时，
由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.
考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.
4．【答案】A
【解析】由于,，故有，解得，
又，则,
5.【答案】C
【解析】因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，
所以，故，充分性成立，
同理当时，，，
由正弦定理可得，
由大边对大角可得，必要性成立，
“”是“”的充要条件.
6．【答案】C
【解析】，，，所以，解得，，
因为，所以，.
7．【答案】B
【解析】因为，所以由正弦定理可得，
，所以，所以是直角三角形.
8．【答案】C
【解析】由题可知所以
由余弦定理所以
9．【答案】
【解析】在中，取的中点，连接，由为的中点，得，
在中，由余弦定理得，
则，即，而，所以.
10．【答案】
【解析】因为，故,
故，故为锐角，故，
故外接圆的半径为
7、数列★★★★★
1．【答案】C
【解析】由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，所以前5项和为：.
2．【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，故，解得：，
由于，故是递减数列，①正确；
，令，解得：，且，
故使成立的的最大值是9，②正确；
，当时，，当时，，
故当时，取得最大值，③正确；
，④错误.
3．【答案】D
【解析】对于A,若 符合，此时，故存在,对，，但此时是递增数列，故A错误，
对于B，若 ，符合，此时，故存在,对，，但此时是递减数列，，故BC错误，
对于D，存在，当时，，则 ,当时，，这与，使得，矛盾，故存在，当时，，故D正确
4．【答案】C
【解析】设第层放小球的个数为，由题意，，……，数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以．
故，
故．
5．【答案】B
【解析】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择1和4，
设等比数列的公比为，
当时，，所以，所以，所以；
当时，，所以，所以，所以；
综上，的最小值为－8.
6．【答案】C
【解析】对于A，若，则，
所以 ，故A正确；
对于B，若，则，所以，
两式相除得，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
又因为数列各项均为正数，所以，即，
故不存在及正整数，使得，故C错误；
对于D，若为等比数列，设其公比为，
则，所以，则，故D正确.
7．【答案】
【解析】记第个图形的点数为，由题意知，，
，，…，，
累加得，
即，所以．又，
所以．
8．【答案】880
【解析】设等比数列的公比为，则，所以，
则左起第61个键的音的频率为．
9．【答案】65
【解析】由题意得，
累加得，即，
则．
10．【答案】
【解析】如图，设圆与OA分别切于点，则，
圆的半径为，
因为，所以，
在中，，则，即，解得，
在中，，则，
即，解得，
同理可得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
因为，所以面积，……构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
则，
8、立体几何★★★★★
1．【答案】C
【解析】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角，
因为为正三角形，所以与所成的角为，所以异面直线与所成的角为.
故选：C.
2．【答案】A
【解析】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.
3．【答案】D
【解析】大圆柱表面积为
小圆柱侧面积为，上下底面积为
所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大.
4．【答案】D
【解析】因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在中，，，则，
因为平面，平面，所以，
在中，不妨设，则由得，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，所以该三棱锥体积的最大值为.
5．【答案】B
【解析】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
6．【答案】B
【解析】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.
正方体表面积为，所以，所以，；
如图，正四面体，为的中点，为的中心，则是底面上的高.则，，所以，
所以，
所以，正四面体的表面积为，所以.
又为的中心，所以.
又根据正四面体的性质，可知，所以，
所以，；
球的表面积为，所以，所以，.
因为，
所以，，所以，.
7．【答案】D
【解析】设圆台的母线长为，因为该圆台侧面积为，
则由圆台侧面积公式可得，所以，
设截去的圆锥的母线长为，由三角形相似可得，
则，解得，所以原圆锥的母线长，
8．【答案】
【解析】设棱长为2，则所以原正方体的体积为，
所以二十四等边体为，
所以二十四等边体与原正方体的体积之比为．
9．【答案】
【解析】如下图所示，

易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；
由题意可知球心为中点，
故球O的直径，解得
由分别是的中点可得，可得平面；
所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
在三棱锥中，易知平面，且，
所以，
而，由等体积法得，
所以，故截面面积为．
10．【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，
由题可知：，所以球的半径
所以圆锥的体积为，
球的体积，所以；
圆锥的表面积，球的表面积，所以，
9、直线和圆★★★★★
1．【答案】C
【解析】因为两圆相交，所以两圆的圆心距即，仅有C满足，
2．【答案】B
【解析】因为直线的倾斜角为，
所以圆的圆心在两切线所成角的角平分线上．
设圆心，则圆的方程为，
将点的坐标代入，得，
整理得，解得或；
所以圆的直径为2或．
3．【答案】C
【解析】设这100个圆的半径从小到大依次为，则由题知，
每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，
有，则是首项为1公差为1的等差数列，，
所以，得.
4．【答案】B
【解析】由可得，
令，由万能公式可得，
，所以直线的方程为①，
由题意可知过原点与直线垂直的直线方程为②，
可得，即表示点的轨迹为圆心为半径为3的圆，
于是线段长度的取值范围为，因为，所以线段PQ长度的取值范围为，
5．【答案】D
【解析】设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，
，化简后得，相减得，将，代入后化简可得.
6．【答案】A
【解析】解：设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为，
圆心为，半径为．
又由，可得．
则由解得所以直线l过定点，
因为，所以点在圆C的内部．
作直线，垂足为D，设，因为，
所以，所以，
所以，
所以当，即时，．
此时，又，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
7．【答案】
【解析】由于，，故，均满足方程，由两点确定唯一的直线，故直线的方程为，
8．【答案】
【解析】因为，，是过点的圆的切线，
所以的方程为，即，
又过作斜率为1的直线，所以直线的方程为，
设直线与线段交于点，
联立直线和直线的方程得，解得，即点的坐标为，
当点在左，点在右，如图所示，可知，
当时，则，
作的平分线，交于于第三象限一点，则直线过点，则
因为点坐标为，所以直线的方程为，
直线的方程与方程联立，，得出点坐标为，
直线的方程与方程联立，，解得，
因为在内，所以点坐标为，
所以，
设直线的斜率为，
因为，
所以，即，
解得，
联立直线与直线的方程得：，
解得，代入得，则点的坐标为，
同理可得点当点在左，点在右，得出点的坐标为，
9．【答案】
【解析】设、分别为A、B点的起点，、分别为A、B点运动的终点，则图中阴影部分即为线段AB扫过的面积.如图所示，
则，，设，，
∵曲线方程：，
曲线方程：，
，即：，
，即：，
记为圆的面积，为圆的面积，为与、围成的面积，为与、围成的面积，为上半圆环的面积，为线段AB扫过的面积.
则，
因为，，，所以，所以，所以，
所以，
又因为，，，所以，所以，
所以，
所以.
10．【答案】/
【解析】由函数可得，即；
所以的反函数为；
由点在曲线上可知点在其反函数上，
所以相当于上的点到曲线上点的距离，
即，
利用反函数性质可得与关于对称，
所以可得当与垂直时，取得最小值为2，
因此两点到的距离都为1，
过点的切线平行于直线，斜率为1，即，
可得，即；
点到的距离，解得；
当时，与相交，不合题意；
因此.
10、椭圆、双曲线、抛物线★★★★★
1．【答案】A
【解析】设动点，，与外切于点，则，
由抛物线焦半径公式得，，的半径为，即，
所以，即的半径为，
所以点到轴的距离为，则与直线相切，
2．【答案】C
【解析】由题意可知，，整理得，
则，故，
因为，所以，所以，即．
3.【答案】D
【解析】A若方程表示椭圆，则，解得或，故A错误；
B双曲线化成标准方程为，焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，不相同，故B错误；
C双曲线中，
因为M是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，
所以由双曲线的定义得，若，则或1，
而双曲线上的点到焦点距离的最小值为，所以舍去，所以，故C错误；
D设，因为A是椭圆上任一点，所以，所以，
又因为直线与椭圆C：交于P，Q两点，所以设，，所以，
因为直线AP与直线AQ的斜率之积为，
所以，
所以，所以，又，所以，故D正确；
4．【答案】A
【解析】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，所以直线的斜率的最大值为.
5．【答案】B
【解析】由，则，

由图知：当位置变化时，或，故，
所以，而直线、斜率存在且不为0，
故，
，
所以，即或，
当，化简得.
当时，，显然，无解.
所以.
6．【答案】D
【解析】已知双曲线方程为：，，是双曲线上关于原点对称的两点，点也在双曲线上，则．
推导：由得，，
则，，所以
解析：，，，，则
选项A，双曲线，所以渐近线方程为，直线与双曲线交于P，Q两点，所以，由已知，，所以该选项正确；
选项B，，所以该选项正确；
选项C，，∴，∴，所以该选项正确；
选项D，因为，所以，故该选项错误；
7．【答案】或或或(答案不唯一，写出一个即可)
【解析】含10的勾股数有，不妨令，则有或，
解得或当时，;
当时，.
故椭圆的标准方程为或或或.
故答案为：或或或(答案不唯一，写出一个即可)
8．【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为r，则椭圆短轴长为，
长轴长为，即，则，
所以椭圆离心率为
9．【答案】或
【解析】设，易知抛物线焦点为，
为直线上的动点，设，
,
由
，
，即代入，
，
（1）当时，，
由得，此时方程只有一个解，满足题意，
（2）当时，，
解得，代入可得
求得，可得
的值为或
10．【答案】
【解析】以为原点，为轴正方向建立直角坐标系，设，则，，
所以，则，
当，时，，即，
所以，即，可得（负值舍），则，
故，
若，结合双曲线定义知：在以为焦点的双曲线上，但不含顶点，
该双曲线为，即，
双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线有交点，
即双曲线的渐近线和曲线有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于，
所以，故，
所以实数的取值范围为.
11、计数原理★★★★★
1．【答案】B
【解析】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
2．【答案】C
【解析】将5位同学分为2，1，1，1的分组，再分配到4所学校，共有种方法.
3．【答案】A
【解析】（1）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
（2）按照分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，故共有种，
4．【答案】C
【解析】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：
最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，
最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种，
不同“回文数”的个数是个，
由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.
5．【答案】C
【解析】1与4相邻，共有种排法，两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
6．【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，
则，其中，
所以，所以；
7．【答案】D
【解析】A选项：令，解得，所以，所以A正确；
B选项：，整理可得，当时，不等式恒成立；当时，解得，所以，故B正确；
C选项：令，解得，所以常数项为，故C正确；
D选项：令，解得，所以可取，共11项，故D错.
8．【答案】B
【解析】由题意可知，完成这件事情分3类，第1类：2个女生分别去，5个男生有1个去了，有种；
第2类：2个女生分别去，5个男生有1个去了，有种；
第3类：2个女生分别去，5个男生去了，有种；
根据分类加法计数原理，不同的安排方案种数为种.
9．【答案】D
【解析】由题意可知，将甲乙捆绑在一起，当成一个元素，则是5个不同的教练分配到4个不同的中学指导体育教学，
由于每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，
则分4组的情况有种方法数，再将4组人分配到4所学校有种方法数，
则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为.
10．【答案】C
【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
12、统计★★★★
1．【答案】B
【解析】依题意这组数据一共有个数，中位数为，则从小到大排列的前面有个数，后面也有个数，
又唯一的众数为，则有两个，其余数字均只出现一次，则最大数字为，
又极差为，所以最小数字为，
所以这组数据为、、、、，
所以平均数为.
2．【答案】C
【解析】依题意，，
由，解得，A错误；
回归方程中，，则变量y与x是正相关关系，B错误；
由于样本中心点为，因此该回归直线必过点，C正确；
由回归方程知，x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误.
3．【答案】B
【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：
.
4．【答案】B
【解析】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
则其中位数为16.
5．【答案】B
【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因为，所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即.
6．【答案】C
【解析】对于A项，总体方差与样本容量有关，故A项错误；
对于B项，相关性越强，越接近于1；故B项错误；
对于C项，若，则，所以，故C项正确；
对于D项，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为，乙组：第30百分位数为，第50百分位数为，
所以，解得：，故.故D项错误.
7．【答案】C
【解析】由，可得第25百分位数分别为和，则；
由，可得第90百分位数分别为和，
则，解得；
故.
8．【答案】D
【解析】由题意得，解得，
因为，，则，
则样本数据的75%分位数位于，则，解得，
因为样本数据中位于成绩之间最多，则众数为，
9．【答案】C
【解析】对于A，2018年电子信息制造业企业利润总额增速为负数，从2017到2018利润总额下降，故A不正确；
对于B，2015年工业企业利润总额增速为负数，从2014到2015利润总额下降，2019年工业企业利润总额增速为负数，从2018到2019利润总额下降，故B不正确；
对于C，2012年─2017年电子信息制造业企业利润总额增速均为正数，所以利润总额均较上一年实现增长，且其增速均大于当年工业企业利润总额增速，故C正确；
对于D，2012年─2021年工业企业利润总额增速的均值为，2012年─2021年电子信息制造业企业利润总额增速的均值为，，故D不正确.
10．【答案】D
【解析】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、，
甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得，
乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得，
混合后，新数据的平均数为，
方差为
.
13、概率小题★★★
1．【答案】A
【解析】当时，这6个点数的中位数为3，当时，这6个点数的中位数为4，当时，这6个点数的中位数为4.5，故由古典概型概率公式可得：.
2．【答案】B
【解析】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,
事件3可表示为：,事件4可表示为：,
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
3．【答案】B
【解析】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：种；
每个地区至少安排1名专家的安排方法有：种；
由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：.
4．【答案】D
【解析】由题可得，,
所以.
5．【答案】C
【解析】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，，
，故B，D均正确；
因为，故C错误.
6．【答案】B
【解析】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，
所以，，两两互斥，所以A不正确；
对于B，由题意可得，
所以，所以B正确；
对于C，因为，，，
所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误；
对于D，由C选项可知D是错误的.
7．【答案】A
【解析】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，，，，
，
，
.
8．【答案】D
【解析】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
9．【答案】B
【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，
再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为或
当5人被分为时，情况数为;
当5人被分为时，情况数为；所以共有.
由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则
共计种，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，
所以甲不在小区的概率为
10．【答案】C
【解析】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，
共有 中分法；
对于A，甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，
再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有种分法，
故甲学校没有女大学生的概率为，A错误；
对于B，甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，
共有种分法，
故甲学校至少有两名女大学生的概率为，B错误；
对于C，每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为或，
当男生人数为时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，
此时共有种分法；
当男生人数为时，将4名女生按人数分为3组，
人数的2组分到男生人数为的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，
此时共有种分法；
故每所学校都有男大学生的分法有种，
则每所学校都有男大学生的概率为，C正确；
对于D，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有种分法，
乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有种，
故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为，D错误，
函数的概念与基本初等函数★★★★
1．【答案】D
【解析】为奇函数，且时，，.
2．【答案】A
【解析】 ，故.
3．【答案】D
【解析】由，得，解得，所以函数的定义域为.
4．【答案】C
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
5．【答案】C
【解析】由题意可知，函数的定义域为.
又，
所以，函数为奇函数.
当时，，
则.
设，则在上恒成立，
所以，在上单调递增.
又，，
所以，根据零点存在定理可得，，有，
且当时，有，显然，
所以在上单调递增；
当时，有，显然，
所以在上单调递减.
因为，所以C项满足题意.
6．【答案】D
【解析】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=，则y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；x∈(4,+∞)时,t=为增函数；
y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)
7．【答案】C
【解析】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是减函数，
∴，解得，∴a的取值范围是．
8．【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
9．【答案】A
【解析】
依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，
转化为函数与图象由四个交点，
由函数函数可知，
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
当时，函数为单调递减函数，；
当时，函数为单调递增函数，；
结合图象，可知实数的取值范围为.
10．【答案】A
【解析】令，得，即，
令，得，得，所以函数为偶函数，
令，得，
令，得，
，或，
若，解得与已知矛盾，
，即，解得，，
令，得，
，，，
，所以函数的周期为4.
.
15、函数与导数★★★★★
1．【答案】A
【解析】由，得，
因为函数的图象在处的切线与直线垂直，
所以，则．
2．【答案】D
【解析】对求导得，由得，则，即，
所以，当且仅当时取等号．
3．【答案】C
【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.设切点为，，
所以，切线斜率为，由题知得或（舍），
所以，，此时点到直线距离.
4．【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
5．【答案】D
【解析】因为，，，
所以只要比较的大小即可，令，则，所以在 上递增，
所以，所以，所以，即，
令，则，
因为在上为减函数，且，
所以当时，，所以在上为减函数，
因为，，
要比较与的大小，只要比较与的大小，
令，则，
所以在上递增，所以，
所以当时，，所以，
所以，所以，
所以当时，，
所以在上递增，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以
6．【答案】B
【解析】对于任意，，，的范围恒定，
只需考虑的情况，设对应的切点为，，，
设对应的切点为，，，
，，，
只需考虑，，其中的情况，
则，
，其中，
；
又，，
，；
令，则，
在上单调递增，，
设，
，又，，
；
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
即，在上单调递减，，
，；
综上所述：.
7．【答案】B
【解析】令，
因为是定义在R上的偶函数，所以，
则，
所以函数也是偶函数，，
因为当时，，所以当时，，
所以函数在上递增，不等式即为不等式，
由，得，所以，所以，解得或，
所以的解集是.
8．【答案】C
【解析】因为，，，所以构造函数，
因为，由有：，
由有：，所以在上单调递减，
因为，，,
因为，所以，故A，B，D错误.
9．【答案】ABC
【解析】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，
对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，
10．【答案】AC
【解析】的极值点为在上的变号零点.
即为函数与函数图像在交点的横坐标.
又注意到时，，时，，
，时，.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.
A选项，注意到时，，，.
结合图像可知当，.
当，.故A正确；
B选项，由图像可知，则，故B错误；
C选项，表示两点与间距离，由图像可知，
随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列.故C正确；
D选项，由A选项分析可知，，
又结合图像可知，当时，，即此时，
得在上单调递增，
则，故D错误.
多选题专题训练1--函数与导数
1．AB
【解析】因为的图象关于直线对称，
所以将的图象向右平移个单位得的图象关于轴对称，
再将的横坐标扩大为原来的2倍得的图象关于轴对称，即为偶函数，A正确；
由题意可得当时令，则在恒成立，
所以单调递减，
又，所以当时，单调递增，当时，，单调递减，
因为是奇函数，所以在上单调递减，B正确；
由A可得关于对称，结合是奇函数可得，
所以，即是以为周期的周期函数，
因为，结合 单调性和关于对称可得在区间上有2个零点，
又因为是定义在上的奇函数，，所以在区间上有6个零点，
所以在区间上有3035个零点，C错误；
因为，，，，
所以，D错误；
故选：AB
2．BCD
【解析】对于A：，定义域为，，
则为奇函数，故A错误；
对于B：，定义域为，
，
则为奇函数，故B正确；
对于C：，，都为奇函数，
则为奇函数，
在区间上的最大值与最小值互为相反数，
必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
对于D：，则在上为减函数，
，则在上为减函数，
则在上为减函数，
若即，
则必有，解得，
即的解集为，故D正确；
故选：BCD
3．BC
【解析】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A错；
对于B选项，因为且函数为偶函数，
所以，可得，所以，，
所以，对任意的，，B对；
对于C选项，因为，
若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对；
对于D选项，当时，，，
所以，，D错.
故选：BC.
4．ABC
【解析】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，
对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，
对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，
故选：ABC
5．BC
【解析】原式变形为，
构造函数，则，
∵，
当时，，则，即；
当时，，则，即；
故在上单调递减，在上单调递增，
对于A：取，则
∵在上单调递增，故，
即满足题意，但，A错误；
对于B：若，则有：
当，即时，则，即；
当，即时，由在时单调递增，且，
故，则；
综上所述：， B正确；
对于C：若，则有：
当，即时，显然成立；
当，即时，令，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，所以，即，
由可得，即
又∵由在时单调递增，且，
∴，即；
综上所述：，C正确；
对于D：取，，则，
∵在上单调递减，故，
∴故，满足题意，但，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
（2）商型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
6．ABD
【解析】，
令在上单调递增，
在上单调递减，故，
所以在上单调递增，且.
对于A项，若，显然B正确；
对于B项，有，
令，令，
在R上单调递增，而，
故在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，故A正确；
对于D项，若，
即，故D正确；
设，若，则满足，
但，故C错误.
故选：ABD
7．CD
【解析】设，则在R上单调递增，
因为，则，
设，则，即，
所以，
设，，
当，当，
则在单调递减，在单调递增，
，即，
所以，即，
故的取值可以是3和4.
故选：CD.
8．ABD
【解析】对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质.
9．BC
【解析】对A：当时，，而，A错误；
对B：对于集合，使，即，必有，
所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确；
对C：对于集合，使，则，
而是“封闭”函数，则，即都有，
对于集合，使，则，，
而，，...，，
所以，
即，故，一定是“封闭”函数，C正确；
对D，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需判断出其逆否命题的正误即可，
使，则，
若，则，
由解得，因为，所以，
即使，则，
满足是“封闭”函数，
故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到都有，有恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.
10．BCD
【解析】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；
对于B，，在上，函数单调递减，
，，∴在单调递增，故B正确；
对于C，若在单调递减，由，得，
∴，在单调递增，故C正确；
对于D，在上单调递减，
在上恒成立，
令，，令，
，
∴在上单调递减，，
∴，∴在上单调递减，，
∴，
在上单调递增，
在上恒成立，
∴，
令，，
∴在上单调递增，，
∴，
综上：，故D正确.
故选：BCD.
多选题专题训练2--三角函数与解三角形
1．BC
【解析】对于A，因为函数的最小正周期为，所以，所以，故A项错误；
对于B，因为是的一个极值点，所以，所以，因为，所以，故B项正确；
对于C，，当时，，故C项正确；
对于D，，故D项错误.
故选：BC
2．ABC
【解析】选项A正确；
所以函数的最小正周期为选项B正确；
根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应的单调递减区间），函数单调递减，选项C正确；
根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应的单调递增区间），函数不单调，选项D错误；
故选：ABC.
3．CD
【解析】对于A选项，若，
则或，
可得或，A错；
对于B选项，因为，
所以，函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的，再向左平移个单位得到，B错；
对于C选项，因为，
所以，函数的图象关于点对称，C对；
对于D选项，当时，，
所以，函数在上单调递增，D对.
故选：CD.
4．BD
【解析】，
所以的最小正周期为，故A错误；
把的图象向左平移个单位长度，所得函数为，是偶函数，
所以图象关于y轴对称，故B正确；
当时，，
当，即时，最大值为，
所以m的最小值为，故C错误；
令，解得，
当时，的一个对称中心为，
故时，有，故D正确.
故选：BD.
5．BD
【解析】
，
的最小正周期为，故A错误；
因为，所以的值域为，故B正确；
，
令，定义域为，
，故C错误；
由，得，
即在上单调递增，
令，得在上单调递增；
时，都有；
由，得，
即在上单调递减，
而，所以若在区间上单调，
则必有，所以的最大值为，故D正确.
故选：BD
6．AC
【解析】观察图象可得函数，，的最小值为，故
设函数的最小正周期为，由图象知，
则，故，故A正确；
由可得，又，
所以，
所以，
因为，故B错误；
由，可得，，
所以的单调递减区间为，
取知，函数在上单调递减，
，故C正确；
的图像向左平移个单位后得到，故D错误．
故选：AC．
7．ABD
【解析】由，得，，得，，
所以的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为偶函数，故A正确；
当时，，，
因为，所以，，，所以，
所以在区间上单调递增，故B正确；
因为，故C不正确；
当时，，，
令，得，无解；
当时，函数无意义，
当时，，，
令，得，得，无解，
当时，函数无意义，
当时，，，
令，得，得，得，
当时，函数无意义，
当，，，
令，得得，无解，
当时，函数无意义，
当时，，，
令，得，得，得，
综上所述：在区间上有两个零点和.故D正确.
故选：ABD
8．BC
【解析】函数，，
大致图象如下：

由图可知，函数的最小正周期为，故A错误；
函数的图象关于对称，故B正确；
函数的最小值为，故C正确；
函数在区间上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故选：BC.
9．BC
【解析】，
是由横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移，故A错误；
函数图象将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得，
再向右平移个长度单位，得，即，故B正确；
因为，令，
则，则的对称中心坐标是，故C正确；
因为，所以，
由导数的几何意义令，可得：，
即，解得:
，所以切点为，
而不在上，故D错误.
故选：BC.
10．BC
【解析】
．
因为函数的最小正周期为，所以，故.
对于A，，故A错误；
对于B，当时，，此时单调递减，故B正确；
对于C，，
∴，，
当时，满足要求的有，，，，，共有5个零点，故C正确；
对于D，当时，，则，故，∴D错误．
故选：BC
多选题专题训练3--空间向量与立体几何
1．【答案】BD
【解析】对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，，则或与相交，故选项C正确；
对D：若，，，则，故选项D正确.
故选：BD.
2．【答案】ABD
【解析】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
3．【答案】BD
【解析】由题意可得，
又平面，
所以平面，
在中，，边上的高为，
所以，故A错误；
对于B，在中，，
，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，，
设点到平面的距离为，
由，得，解得，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；
由B选项知，，则，
所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
又因为平面，
则，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故D正确.
故选：BD.
4．【答案】ABD
【解析】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误；
对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是的中位线，所以，
因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；
对于C，若，所以由线面垂直的判定可得平面ABC，所以，
由结合面面垂直的性质可得，所以点C在平面内的投影为点D,
所以CD在平面内的投影为BD，故C正确；
对于D,由二面角的定义可得当且仅当时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误.
故选：ABD.
5．【答案】CD
【解析】
设，因为平面，，则，
，连接交于点，连接，易得，
又平面，平面，则，又，平面，则平面，
又，过作于，易得四边形为矩形，则，
则，，
，则，，，
则，则，，，故A、B错误；C、D正确.
故选：CD.
6．【答案】ACD
【解析】取、中点，连接、、PF，
由PF∥∥且PF＝知是平行四边形，
∴∥，∵平面，平面，∥平面，
同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，
∴平面∥平面，则点的轨迹为线段，A选项正确；
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
则，，
设为平面的一个法向量，
则即得取，则.
若平面，则∥，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误；
的面积为定值，当且仅当到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大.
，
，，则当时，d有最大值1；
②，，则当时，d有最大值；
综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确；
平面，，
，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确.
故选：ACD.
7．【答案】BCD
【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建系如图，
对于选项A，当时，，，
设点关于平面的对称点为，则，.
所以.故A不正确.
对于选项B，设，则，
由得，即，解得，
所以存在唯一的点P满足，故B正确.
对于选项C，，设，则，
由得.在平面中，建立平面直角坐标系，如图，
则的轨迹方程表示的轨迹就是线段，而，故C正确.
对于选项D，当时，，设，
则，
由得，即，
在平面中，建立平面直角坐标系，如图，
记的圆心为，与交于；
令，可得，而，所以，其对应的圆弧长度为；
根据对称性可知点P轨迹长度为；故D正确.
故选：BCD.
8．【答案】ACD
【解析】因为在矩形中，，
又，，面，所以面，
又面，所以，
因为在矩形中，，所以，即，
因为，，，面，
所以面，
又在矩形中，，所以面，
又面，所以，
同时，易知在矩形中，，
对于A，在中，，
在中，，
在中，，
所以，故A正确；
对于B，在中，，
在中，，
又，且在中，为的斜边，则，
所以，故B错误；
对于C，在中，，
在中，，
又，
所以，故C正确；
对于D，在中，，
又，，，
所以，
所以，即，故D正确.
故选：ACD.
9．【答案】AD
【解析】对于A，因为平面平面ABC，，即，
平面平面，平面SAB，所以平面ABC，
又因为平面ABC，所以，故A正确；
对于B，因为，，，
所以平面SAB，因为平面SAB，
所以.又平面ABC，平面ABC，
所以，即，
所以三棱锥外接球的直径为SC.因为，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积，故B错误；
对于C，因为平面SAB，平面SBC，
所以平面平面SBC，过点A作，交SB于点G，
根据面面垂直的性质定理，可得平面SBC，
故点A到平面SBC的距离为AG，由，，
得，则，
则，故C错误；
对于D，，，所以∠SBA为二面角的平面角，
在中，，故D正确；
故选：AD.

10．【答案】BD
【解析】
易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．
故选：BD．
多选题专题训练4--平面解析几何
1．【答案】ABD
【解析】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
2．【答案】ACD
【解析】由，得，则圆心，半径，
所以A正确，
对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误，
对于C，因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆C相切，所以C正确，
对于D，圆的圆心为，半径，
因为，，
所以圆与圆C相交，所以D正确，
故选：ACD
3．【答案】ABD
【解析】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，
因为表示点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，
，，，A，B正确；
表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
所以最大值为，又，
所以的最大值为，C错，
因为可化为，
故可设，，
所以，
所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，
故选：ABD.
4．【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
5．【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
6．【答案】ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
7．【答案】AC
【解析】A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确；
B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误；
C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；
D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.
故选：AC．
8．【答案】BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
9．【答案】BC
【解析】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；
对于B，，则，
显然，因此，B正确；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，所以面积的最大值为，C正确；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.
故选：BC
10．【答案】BC
【解析】当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则，故A错误；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则 ，则 ，
故
，
令 ，则，
令 ，则 ，
当时， ， 递增，当时， ， 递减，
故 ，
故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则，
即，
故，
，
所以，故C正确；
由C的分析可知：，
当 时，取到最小值16，
即最小值为16，故D错误；
故选：BC
多选题专题训练5--统计板块
1．【答案】CD
【解析】A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；
故选：CD
2．【答案】ABC
【解析】对于A选项，由概率的基本性质可知，，
故A正确，
对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，
则，
所以，
，
所以，故B正确，
对于C,D选项，，
当时，为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大故选项C正确，
当时，为正负交替的摆动数列，
故选项D不正确.
故选：ABC.
3．【答案】ABD
【解析】由表中数据可得甲校理科生达标率为60%，文科生达标率为70%，
乙校理科生达标率为65%，文科生达标率为75%，故选项AB正确；
设甲校理科生有人，文科生有人，若，即，则甲校总达标率为，选项C错误；
由总达标率的计算公式可知当学校理科生文科生的人数相差较大时，所占的权重不同，总达标率会接近理科生达标率或文科生达标率，
当甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生时，甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率，选项D正确；
故选：ABD
4．【答案】BCD
【解析】对于A，，解得，A错误；
对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；
对于C，服从正态分布，，C正确；
对于D，，则，
由，解得，所以．D正确．
故选：BCD．
5．【答案】AC
【解析】对于A项，因为，解得：，故A项正确；
对于B项，人，故B项错误；
对于C项，因为，，，所以第78百分位数位于之间，
设第78百分位数为x，则，解得：，故C项正确；
对于D项，因为，即：估计该校学生体重的平均数约为，故D项错误.
故选：AC.
6．【答案】BD
【解析】对于A，因为，，，
所以，故错误；
对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；
对于C，因为，所以，所以，故错误；
对于D，因为，即，所以，
又因为，所以，
所以A与B相互独立，故正确.
故选：BD
7．【答案】BC
【解析】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，，，，，
对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；
对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确；
对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；
对于，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
，故D错误．
故选：BC．
8．【答案】BCD
【解析】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，
则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共（种）.判断正确.
故选：BCD
9．【答案】ABD
【解析】对于A选项：线性回归方程必过点，，，解得，所以选项A正确；
对于B选项：当时，可以的出y的预测值为2.2,所以B选项正确；
对于C选项：从小到大排列共有5个数据，则是整数，则第40百分位数为从小到大排列的第2、3个数据的平均数，即第40百分位数为0.9，所以C选项错误；
对于D选项：因为相关系数为,
5组样本数据的相关系数为：
，
去掉样本中心点后相关系数为，
所以相关系数r不变,所以D选项正确；
故选：ABD.
10．【答案】AC
【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （ ）.
.
由于，所以 ，所以 ，
所以，所以，所以D选项错误.
故选：AC
年份
题号
详细知识点
类型
2020-1
8
函数奇偶性的应用；
根据函数的单调性解不等式；
函数的基本性质相互转化
2020-2
8
函数奇偶性的应用；
根据函数的单调性解不等式；
抽象函数与不等式的综合性问题
2021-2
8
函数奇偶性的应用；
函数的周期性的定义与求解；
常规赋值法与图像法
2022-1
12
抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；
函数与导函数图象之间的关系；
常规赋值法与图像法
2023-1
11
函数奇偶性的定义与判断；
函数极值点的辨析；
抽象函数与导数的综合性问题
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0.010
0.001
3.841
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90
110
200