2022-2023学年吉林省四平一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省四平一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=m(m−1)+mi为纯虚数，则实数m的值为( )
A. −1B. 1C. 1或−1D. −1或0
2.已知AB=(−2,1)，则下面说法正确的是( )
A. A点的坐标是(−2,1)B. 当A是原点时，B点的坐标是(−2,1)
C. 当B是原点时，A点的坐标是(−2,1)D. B点的坐标是(−2,1)
3.设e为单位向量，|a|=2，当a，e的夹角为π3时，a在e上的投影向量为( )
A. −12eB. eC. 12eD. 32e
4.复数z=cs67.5°+isin67.5°，则 |z|2z2=( )
A. 22− 22iB. − 22+ 22iC. − 22− 22iD. 1
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=30，b=25，A=42°，则此三角形解的情况为( )
A. 无解B. 有两解C. 有一解D. 有无数解
6.定义：若z2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义，则复数−3+4i的平方根是( )
A. 1−2i或−1+2iB. 1+2i或−1−2iC. −7−24iD. 7+24i
7.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，则CF=( )
A. 12AD−34AB
B. −12AD−34AB
C. 34AD−12AB
D. −34AD−12AB
8.已知e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，若|e1+te2|≥12(t∈R)，则θ的取值范围为( )
A. [π3,2π3]B. [π4,π2]C. [π6,5π6]D. [0,π6]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 零向量与任一向量平行B. 方向相反的两个非零向量不一定共线
C. 单位向量是模为1的向量D. 方向相反的两个非零向量必不相等
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则sinA>sinB
B. 若sinA>sinB，则AC. 若acsA=bcsB，则△ABC是等腰三角形
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
11.已知向量a=(1, 3)，b=(t,1)，则下列说法错误的是( )
A. 若a/​/b，则t= 33
B. 若a⊥b，则t=−1
C. 若a与b的夹角为120°，则t=0或t=−3
D. 若a与b的夹角为锐角，则t>− 3
12.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA+sinB)2=(2sinB+sinC)sinC，且sinA> 33，则下列结论正确的是( )
A. c−a=acsCB. a>cC. c>aD. C>π3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数的三角形式cs2π5+isin2π5的辅角主值为______．
14.设a，b为单位向量，且|a+b|=1，则a⋅b= ______．
15.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°.若山高AD=150m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s．
16.在△ABC中，G满足GA+GB+GC=0，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若AM=mAB(m>0)，AN=nAC(n>0)，则3m+n的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z1=a+i，z2=1−ai，(a∈R,i是虚数单位)．
(1)若z1−z2在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若z1是实系数一元二次方程x2−2x+2=0的根，求实数a的值．
18.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsB+ 33asinB−c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，且△ABC的面积为 3，求b，c．
19.(本小题12分)
如图，在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，|AB|=2|DC|=2，∠BAD=π3，E是BC边的中点．
(1)试用AB，AD表示AE，BC；
(2)求DB⋅AE的值．
20.(本小题12分)
已知向量a=(3,1)，b=(−1,−2)，c=(4,1)．
(1)若(a+kc)⊥(a+b)，求实数k；
(2)设d满足(d−c)//(a−b)，且|d−c|=1，求d的坐标．
21.(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB=2 3,∠ADC=∠CAB=90°，设∠DAC=θ．
(1)若θ=60°，AB=2CD，求BD的长度；
(2)若∠ADB=∠ABC=30°，求tanθ．
22.(本小题12分)
在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=2，AD= 3，P是线段AD上(包括端点)的一个动点．
(1)若CD=1时，
①求AC⋅AB的值；
②若PB⋅PC=54，求|AP|的值；
(2)若AP= 3CD，求|2PB−PC|的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为z是纯虚数，
所以m(m−1)=0m≠0，解得m=1．
故选：B．
根据纯虚数的定义求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由AB=(−2,1)，不能得出点A的坐标是(−2,1)，选项A错误；
当A是原点时，B点的坐标是(−2,1)，选项B正确；
当B是原点时，A点的坐标是(2,−1)，选项C错误；
B点的坐标不一定是(−2,1)，选项D错误．
故选：B．
根据平面向量的坐标表示，判断即可．
本题考查了平面向量的坐标表示应用问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可知：a⋅e=2×1×12=1，
则a在e上的投影向量为a⋅e|e|e|e|=e，
故选：B．
由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量的概念，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：z=cs67.5°+isin67.5°，∴|z|= cs267．5°+sin267．5°=1，
则 |z|2z2=1cs135∘+isin135∘=cs(−135°)+isin(−135°)=− 22− 22i，
故选：C．
利用模的计算公式、复数三角形式的运算法则即可得出．
本题考查了模的计算公式、复数三角形式的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，由正弦定理有asinA=bsinB，sinB=bsinAa，sinB=56sinA，sin30°12b，∴A>B，
B只能为锐角的一个值，所以△ABC只有一个解．
故选：C．
利用正弦定理得sinB=56sinA，进而结合A，进行判断即可．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设z=x+yi(x,y∈R,i为虚数单位)为复数−3+4i的平方根，
则(x+yi)2=x2+2xyi−y2=−3+4i，
∴由复数相等可得x2−y2=−32xy=4，
解得x=1y=2，或x=−1y=−2，
∴z=1+2i或−1−2i
故选：B．
由复数相等可得xy的方程组，解方程组可得．
本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数相等，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：在平行四边形ABCD中，∵E是BC的中点，F是AE的中点，
∴CF=CE+EF=12CB+12EA=−12AD−12(AB+12AD)=−34AD−12AB．
故选：D．
由图形结合向量的加法运算与数乘运算求解．
本题考查平面向量的基本定理，考查数形结合思想，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为|e1+te2|≥12(t∈R)，e1，e2是单位向量，
所以e12+2te1⋅e2+t2e22≥14，即t2+2tcsθ+34≥0，
所以Δ=4cs2θ−3≤0，解得− 32≤csθ≤ 32，
又θ∈[0,π]，
所以θ的取值范围为[π6,5π6]．
故选：C．
将|e1+te2|≥12(t∈R)平方，结合题意可得Δ=4cs2θ−3≤0，由此可得θ的范围．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；
对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；
对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确；
对于D，方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确．
故选：ACD．
根据零向量的定义与性质，判断出A项的正误；根据共线向量与相等向量的定义，判断出B、D两项的正误；根据单位向量的定义，判断出C项的正误．
本题主要考查了共线向量、零向量和单位向量的定义，向量相等的条件等知识，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于选项A，在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，
因为a>b，所以2RsinA>2RsinB，所以sinA>sinB，故A项正确；
对于选项B，在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)，
因为sinA>sinB，所以2RsinA>2RsinB，所以a>b，所以A>B，故B项错误；
对于选项C，若acsA=bcsB，由正弦定理可得sinAcsA=sinBcsB，
即sin2A=sin2B，所以2A=2B即A=B或2A+2B=π，即A+B=π2，
所以△ABC为等腰角三角形或直角三角形，故C项错误；
对于选项D，若△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，∴π2>A>π2−B>0，
又正弦函数在(0,π2)为单调增函数，∴sinA>sin(π2−B)，即sinA>csB，故D项正确．
故选：AD．
根据三角形的基本性质及正弦定理，正弦函数的单调性，逐项分析即可．
本题考查正弦定理，三角函数性质，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由a//b，得1− 3t=0，解得t= 33，故A正确；
由a⊥b，得a⋅b=t+ 3=0，解得t=− 3，故B错误；
当a与b的夹角为120°时，cs120°=t+ 32× t2+1=−12，解得t∈⌀，故C错误；
当a与b的夹角为锐角时，有a⋅b>0，且a,b不共线，则t+ 3>01− 3t≠0解得t>− 3且t≠ 33，故D错误．
故选：BCD．
根据向量平行时的坐标关系即可判断A正确；根据向量垂直的充要条件即可判断B错误；根据向量夹角的余弦公式即可判断C错误；根据向量夹角为锐角时满足a⋅b>0，且a,b不共线即可求出t的范围，从而判断D错误．
本题考查了向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由正弦边角关系知：(a+b)2=(2b+c)c，则a2+2ab+b2=2bc+c2，
所以a2+b2−c2=2b(c−a)，而csC=a2+b2−c22ab>0，则c−a=acsC，A正确；
由上知：c−aa>0，即c>a，B错误，C正确；
由c−a=acs C知：sinC−sinA=sin AcsC，则sinA=sinC1+csC=2sinC2csC22cs2C2=tanC2> 33，
又0故选：ACD．
利用正弦边角关系可得a2+b2−c2=2b(c−a)，结合余弦定理及锐角三角形知c−a=acsC、c−aa>0，判断A、B、C正误；再由正弦边角关系，倍角公式判断D正误．
本题考查正余弦定理，三角函数性质，属于中档题．
13.【答案】2π5
【解析】解：cs2π5+isin2π5的辅角主值为2π5．
故答案为：2π5．
直接由辐角主值的定义，即可求解．
本题主要考查复数的三角表示，属于基础题．
14.【答案】−12
【解析】解：由题意得|a|=|b|=1，又|a+b|=1，
∴|a+b|2=1，即(a+b)2=1，
∴a2+b2+2a⋅b=2+2a⋅b=1，
解得a⋅b=−12．
故答案为：−12．
由向量的数量积及运算律计算可得解．
本题考查平面向量数量积运算及性质，属基础题．
15.【答案】6 10
【解析】解：由题意可知，AB=300m，AC=150 2m，
由余弦定理可得BC= 90000+45000−2×300×150 2×(− 22)=150 10(m)，
这辆汽车的速度为150 10÷25=6 10(m/s)，
故答案为：6 10．
由余弦定理计算出BC的值，进而可计算汽车的速度．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
16.【答案】43+2 33
【解析】解：∵GA+GB+GC=0，
∴G为△ABC的重心，且AB=1mAM,AC=1nAN，
∴AG=13AB+13AC=13mAM+13nAN，且M，G，N三点共线，
∴13m+13n=1，且m>0，n>0，
∴3m+n=(3m+n)⋅(13m+13n)=1+mn+n3m+13≥43+2 33，当且仅当mn=n3m，即n= 3m时取等号，
∴3m+n的最小值为：43+2 33．
故答案为：43+2 33．
根据题意知G为△ABC的重心，从而可得出AG=13mAM+13nAN，再根据M，G，N三点共线可得出13m+13n=1，然后根据基本不等式和“1的代换”即可求出3m+n的最小值．
本题考查了三角形重心的性质，三角形重心的定义，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，三点共线的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为z1−z2=a−1+(1+a)i，
所以z1−z2在复平面对应的点坐标为(a−1,1+a)，
又因为z1−z2在复平面对应的点落在第一象限，
所以a−1>01+a>0，解得a>1，
故实数a的取值范为(1,+∞)．
(2)因为z1=a+i是方程x2−2x+2=0的根，
所以z−=a−i也是方程x2−2x+2=0的根，
所以z1+z1−=2a=2z1⋅z1−=a2+1=2，解得a=1．
【解析】(1)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
(2)结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭，即可求解．
本题主要考查一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭，以及复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】解：(1)在△ABC中，∵acsB+ 33asinB−c=0，
∴sinAcsB+ 33sinAsinB−sinC=0，
又sinC=sin(π−A−B)=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
∴ 33sinAsinB=csAsinB，
∵sinB≠0，
∴ 33sinA=csA，
∴sinAcsA=tanA= 3，
∵A∈(0,π)，
∴A=π3；
(2)由(1)得A=π3，a=2，
∴由余弦定理得4=b2+c2−2bccsA，即b2+c2−bc=4①，
又∵△ABC的面积为 3，
∴S=12bcsinA= 3，即12bcsinπ3= 3，
∴bc=4②，
联立①②得b=2，c=2．
【解析】(1)应用正弦定理结合两角和差公式计算求解，即可得出答案；
(2)应用余弦定理及三角形面积公式，列方程求边，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)AC=AD+DC=AD+12AB，AE=12(AB+AC)=12(AB+AD+12AB)=34AB+12AD，BC=AC−AB=AD+12AB−AB=AD−12AB．
(2)由题意可知，|AD|=12(|AB|−|DC|)csπ3=1212=1，DB=AB−AD，
又|AB|=2|DC|=2，∠BAD=π3，
所以DB⋅AE=(AB−AD)⋅(12AD+34AB)=34|AB|2−12|AD|2−14AB⋅AD=34|AB|2−12|AD|2−14|AB|⋅|AD|⋅csπ3=34×4−12×1−14×2×1×12=94．
【解析】(1)利用几何图形，结合平面向量基本定理，利用基底表示向量；
(2)以向量AD,AB为基底，表示向量DB,AE，结合向量数量积的运算律和定义，即可求解．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属中档题．
20.【答案】解：(1)因为向量a=(3,1)，b=(−1,−2)，c=(4,1)，
则a+kc=(3,1)+k(4,1)=(4k+3,k+1)，a+b=(3,1)+(−1,−2)=(2,−1)，
因为(a+kc)⊥(a+b)，
所以(a+kc)⋅(a+b)=2×(4k+3)−1×(k+1)=7k+5=0，
解得k=−57；
(2)设d=(x,y)，由题意，a−b=(3,1)−(−1,−2)=(4,3)，d−c=(x−4,y−1)，
由于(d−c)//(a−b)，且|d−c|=1，则3(x−4)=4(y−1) (x−4)2+(y−1)2=1，
解得x=245y=85或x=165y=25．
因此d=(245,85)或d=(165,25)．
【解析】(1)利用向量垂直充要条件列出关于实数k的方程，解之即可求得实数k的值；
(2)先设d=(x,y)，再利用题给条件列出关于实数x，y的方程组，解之即可求得实数x，y的值，进而得到d的坐标．
本题主要考查了向量的坐标运算，考查了向量平行和向量垂直时的坐标关系，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意得AB=2 3,CD= 3,∠ADC=∠CAB=90°且∠DAC=60°，
可得AD=CDtan60∘=1，
在△ABD中，∠DAB=150°,AB=2 3,AD=1，
由余弦定理可知：BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcs60°=(2 3)2+12−2×2 3×1×(− 32)=19，
所以BD= 19．
(2)因为∠CAB=90°，∠ABC=30°，所以AC=AB⋅tan∠ABC=2 3× 33=2，
又因为∠ADC=90°且∠DAC=θ，可得AD=2csθ，∠ABD=60°−θ，
在△ABD中，由正弦定理知ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，
所以2csθsin(60∘−θ)=4 3，即2csθ=4 3sin(60°−θ)=6csθ−2 3sinθ，
可得4csθ=2 3sinθ，即tanθ=2 33．
【解析】(1)根据题意求得AD=1，在△ABD中，利用余弦定理，即可求得BD的长；
(2)根据题意求得AC=2，得到AD=2csθ，∠ABD=60°−θ，在△ABD中，利用正弦定理求得2csθsin(60∘−θ)=4 3，进而求得tanθ的值．
本题主要考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)如图，以A为原点，分别以AB、AD所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，

则B(2,0)，D(0, 3)，C(1, 3)，所以AC=(1, 3)，AB=(2,0)．
①AC⋅AB=(1, 3)⋅(2,0)=1×2+ 3×0=2；
②设P(0,y)(0≤y≤ 3)，则PB=(2,−y)，PC=(1, 3−y)，
PB⋅PC=2−y( 3−y)=y2− 3y+2=54，解得y= 32，
所以|AP|= 32．
(2)因为AP= 3CD，设CD=a(0≤a≤1)，则AP= 3a，所以C(a, 3)，P(0, 3a)，
所以PB=(2,− 3a)，PC=(a, 3− 3a)，所以2PB−PC=(4−a,− 3a− 3)，
所以|2PB−PC|2=(4−a)2+(− 3a− 3)2=4a2−2a+19=4(a−14)2+754，
所以当a=14时，|2PB−PC|最小，最小值为5 32．
【解析】(1)①建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算即可；②设P点的坐标，利用PB⋅PC=54，即可求出P点坐标，即可求|AP|的值．
(2)设CD=a(0≤a≤1)，表示出点C，P的坐标，即可表示出PB,PC的坐标，结合二次函数的性质可以求解．
本题考查了向量数量积的坐标表示，考查了数形结合思想及函数思想，属于中档题．