山东省德州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试卷

这是一份山东省德州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷选择题（共58分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.设是可导函数，且，则
A．B．C．1D．3
2.记为等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为
A．1B．2C．3D．4
3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为
A．B．C．D．
4.等比数列的各项均为正实数，其前n项和为，已知，，则
A．B．C．2D．4
5.已知定义在R上的函数的导函数为，，且对任意的x满足，则不等式的解集是
A．B．C．D．
6.已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则
A．B．C．D．
7.如图，将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形ABCD的梁，设，且梁的抗弯强度，则当梁的抗弯强度最大时，的值为
A．B．C．D．
8.已知无穷数列满足：如果，那么，且，，，是与的等比中项.若的前n项和存在最大值S，则
A．B．0C．1D．2
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列结论正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10.已知正项数列满足，则下列结论正确的是
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则前100项中，值为1和2的项数相同
11.设函数，函数有三个零点、、，且满足，则下列结论正确的是
A．恒成立B．实数m的取值范围是
C．函数的单调减区间D．若，则
第Ⅱ卷非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知是的极小值点，则函数的极大值为 .
13.等比数列的公比为q，其前n项和记为，，则q的取值范围为 .
14.为提升同学们的科创意识，学校成立社团专门研究密码问题，社团活动室用一把密码锁，密码一周一换，密码均为的小数点后前6位数字，设定的规则为：
①周一至周日中最大的日期为x，如周一为3月28日，周日为4月3日，则取周四的3月31日的31作为x，即；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为的项得到新数列，即2，，4，6，8，，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为的项得到新数列}，即1，，3，，5，7，，9，11，13，…；
③N为数列的前x项和，如，则9项分别为1，，3，，5，7，，9，11，故，因为，所以密码为142857.
若周一为4月22日，则周一到周日的密码为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数为定义域上的单调函数，求a的值和此时在点处的切线方程.
16.（本小题满分15分）
已知公差不为零的等差数列，，和的等比中项与和的等比中项相等.
（1）若数列满足，求数列的前n项和；
（2）若数列满足，（），求数列的通项公式.
17.（本小题满分15分）
某工厂生产某产品的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完.
（1）求销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
18.（本小题满分17分）
已知函数和数列，函数在点处的切线的斜率记为，且已知.
（1）若数列满足：，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列满足，，是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
若函数在上有定义，且对于任意不同的，，都有，则称为上的“类函数”.
（1）若，判断是否为上的“2类函数”；
（2）若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围.
高二数学试题参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.A2.D3.A4.C5.B6.B7.C8.C
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.ACD10.BC11.BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.1813.14.428571
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.解：
（1）当时，（）
，
所以或时，；当时，；
所以的单调增区间为和，单调减区间为；
（2）由，
当时，恒成立，函数为单调增函数，
当，在两侧符号不同，函数不是单调函数，
所以
此时，，，
所以此时的切线方程为
16.解：
（1）设数列的公差为d（），
与的等比中项与与的等比中项相等，即：
所以
又知，解得：，
所以，
所以；
（2）
所以，
即.
17.解：
（1）由题意可知，销售收入为200x万元，.
当产量不足60万箱时，
.
当产量不小于60万箱时，
.
则.
（2）设
当时，.
可知在上单调递增，在上单调递减.
则.
当时，由基本不等式可知
当且仅当时，取等号.
又，所以当产量为80万箱时，所获利润最大值为1300万元
18.解：函数，由，
得，
所以，即：，
因为，则，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以
（2）由（1）知，，由，得，
即，所以，
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以，
所以.
设，
则，
所以，
两式相减，
得
，
所以.
由，得，即，
设（），则.
因为，
所以数列单调递减，所以只有唯一解，
所以存在唯一正整数，使得成立.
（注：15分以后借助与的图象说明同样得分）
19.解：
（1）对于任意不同的，，
，，，
，
所以不是上的“2类函数”.
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故对任意，都有，
所以，
令，，
令，在单调递减，
所以，，
故在单调递减，
所以，
令，，
令，在上单调递减，
，，
所以，使，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以a的取值范围为.