2024年届河北省张家口市普通高中学业水平选择性模拟考试数学试题

这是一份2024年届河北省张家口市普通高中学业水平选择性模拟考试数学试题，共13页。试卷主要包含了下列对函数的判断中，正确的有等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题：对任意的等比数列也是等比数列，则命题的否定为（ ）
A.对任意的非等比数列是等比数列
B.对任意的等比数列不是等比数列
C.存在一个等比数列，使是等比数列
D.存在一个等比数列，使不是等比数列
2.已知（是虚数单位），则复数的共轭复数（ ）
A. B.
C. D.
3.已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
4.若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（ ）
A.6 B.12 C.16 D.18
5.记的内角的对边分别为，设向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知分别为双曲线的左､右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列对函数的判断中，正确的有（ ）
A.函数为奇函数
B.函数的最大值为
C.函数的最小正周期为
D.直线是函数图象的一条对称轴
10.甲､乙两名同学分别从四门不同的选修课中随机选修两门.设事件“两门选修课中，甲同学至少选修一门”，事件“乙同学一定不选修”，事件“甲､乙两人所选选修课至多有一门相同”，事件“甲､乙两人均选修”，则（ ）
A. B.
C.与相互独立 D.与相互独立
11.如图，在平行六面体中，底面是正方形，为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有（ ）
A.四边形是矩形
B.平面平面
C.平面平面
D.直线所成的角与直线所成的角相等
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若曲线在点处的切线过原点，则__________.
13.已知圆台的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为的两部分，则该圆台的母线长为__________.
14.已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
单位：人
（1）根据小概率值的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.
（2）从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人作某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为，试求的分布列和数学期望.
附：，其中.
16.（15分）
已知函数.
（1）当时，求的单调区间和极值；
（2）求在区间上的最大值.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，平面，为的中点.
（1）试判断是否为正三角形，并给出证明；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
18.（17分）
在平面直角坐标系中，动点在圆上，动点在直线上，过点作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点，且，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程.
（2）若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，其中，且同向，直线交于点.
（i）证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；
（ii）当的面积等于时，试把表示成的函数.
19.（17分）
如果项数相同的数列满足，且为奇数时，为偶数时，，其中，那么就称为“互补交叉数列”，记为的“互补交叉数列对”，为的前项和.
（1）若，且，写出所有满足条件的“互补交叉数列对".
（2）当为“互补交叉数列”时，
（i）证明：取最大值时，存在；
（ii）当为偶数时，求的最大值.
数学参考答案及评分标准
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以存在一个等比数列，使不是等比数列.故选D.
2.B
【解析】由题意得，所以.故选B.
3.A
【解析】由题易得，所以.故选A.
另：角为第二象限角，，不妨令，则.故选A.
4.C
【解析】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，，当且仅当时等号成立.故选C.
5.C
【解析】由得，由正弦定理得.
因为中，所以.又，所以，即.故选C.
6.A
【解析】内层函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增.故选A.
7.D
【解析】由题意知的最大值等于12，则圆与圆相内切，所以.又，所以.故选D.
8.B
【解析】由题意可得，且，所以在中，由余弦定理得，.
因为，所以，平方化简整理得，.
又，所以，即，所以，得，则.故选B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BCD
【解析】因为，所以为偶函数，故选项不正确.因为，所以的最大值为，最小正周期为，函数图象的对称轴为，故选项B，C，D正确.故选BCD.
10.AC
【解析】因为，故选项正确，错误；因为，所以与相互独立，与不相互独立，故选项C正确，错误.故选AC.
11.ACD
【解析】在平行六面体中，由得，四边形为矩形，选项正确；假设平面平面，因为平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，与四边形为正方形矛盾，故选项错误；由四边形是正方形，得，因为，所以.又因为，所以平面，又平面，所以平面平面，选项C正确；因为四边形为矩形，所以，又正方形中，是公共边，所以，所以，又，所以分别为直线所成的角与直线，所成的角（或其补角），由，知选项正确.故选ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【解析】因为，所以，所以在点处的切线方程为.又切线过原点，则，所以.
13.5
【解析】设圆台的上､下底面圆的半径分别为，因为中截面的半径为3，所以.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为的两部分，所以，解得，所以.又圆台的高为3，所以圆台的母线长为.
14.
【解析】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，
得，
两式相减得，所以.
因为当时，由，得，当时，由，得.
又，
所以成首项为0､公差为1的等差数列，
所以，
所以的中位数为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1）零假设：该市市民的春节旅游意愿与年龄层次无关.
依题意，得
单位：人
所以.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即该市市民的春节旅游意愿与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（2）从样本中按比例分配选取10人，则青年人愿意出游､青年人不愿意出游､老年人愿意出游､老年人不愿意出游的人数分别为，
再随机从中抽取4人，青年人愿意出游的人数的所有可能取值为.
且，
即的分布列为
所求数学期望为.
16.解：（1）当时，，
则，
解可得（舍去）或.
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
函数的极大值为，没有极小值.
（2）由题意得.
若，当时，在区间上单调递增，此时的最大值为
若，当时，单调递增，时，单调递减，此时的最大值为；
若，则，当时，单调递增，时，单调递减，此时的最大值为；
若，则，当时，在区间上单调递增，此时的最大值为.
综上，
17.解：（1）为正三角形.
证明如下：如图，设，连接.
因为为的中点，所以四边形均为菱形，所以，所以.
因为平面平面，所以.
因为，
所以平面，所以平面.
又平面，所以.
又易知为的中点，所以.
因为平面平面，所以，所以，
所以为正三角形.
（2）由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角，
所以，所以，所以.
因为均为正三角形，所以，所以，所以.
又，所以平面.
又，
所以以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系.令，则，所以.
设平面的法向量为，则，得
令，则，所以平面的一个法向量.
由平面，得是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18.（1）解：由题意得，.
设，则，化简整理得，
所以动点的轨迹的方程为.
（2）（i）证明：设，
联立整理得，则，得，
且，同理.
设的中点分别为，则，
由题意可知存在实数，使，
所以三点共线，即点在定直线上.
（ii）解：由（i）得，，
同理，设的底边上的高为，梯形的高为，则由相似比得，解得.
所以的面积.
又，所以.
整理得，
所以，即.
19.（1）解：，且时，满足条件的“互补交叉数列对”分别为.
（2）（i）证明：若取最大值时，存在，使.
由题意知为奇数，不妨设.
①若存在为偶数），使得，则让的值变为初始的值，让的值变为，这样所得到的新数列也是“互补交叉数列”，但调整后的的前项和，与题设取最大值矛盾，所以存在.
②若对任意的为偶数），都有，交换让的值变为初始的值，再让的值变为初始的值，所得到的新数列和也是“互补交叉数列”，此时转化为①的情况.
综上可知，存在正整数，使得.
（ii）解：当为偶数时，令，对任意满足条件的“互补交叉数列对”，
一方面，，
因此.①
另一方面，，
因此，
即.②
记为的前项和，由①+②得.
又，可得.
又“数列对”
是“互补交叉数列对”，且.
综上可知，当为偶数时，的最大值为.市民
春节旅游意愿
愿意
不愿意
青年人
80
20
老年人
40
60
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
市民
春节旅游意愿
合计
愿意
不愿意
青年人
80
20
100
老年人
40
60
100
合计
120
80
200
0
1
2
3
4