福建省四地五校联考2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题

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（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
试卷分第 = 1 \* ROMAN I卷（选择题）和第 = 2 \* ROMAN II卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数 （其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．已知向量a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，c=(−1,1)，若(2a+b)⊥c，则m=( )
A. B. 3C. D. 5
3.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为的中点，若则等于( )
A. 1 B. −1 C. 12 D. −12
4.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是( )
A. B. C. 20D. 21
5.若向量a=(x,2),b=(2,3),c=(2,−4)，且a // c，则a在b上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6．在△ABC中， BC边上的高等于则sin A=( )
A. B. C. D.
7．已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，ΔABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若，则的最小值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．对于非零向量a,b，下列命题正确的是( )
A. 若a⋅b=0，则a // b B. 若a⊥b，则a⋅b=(a⋅b)2
C. 若a⋅c=b⋅c，则a=b D. 若a−b=a+b，则a⋅b=0
10．如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A. 直线A1C1与AD1为异面直线
B. A1C1//平面ACD1
C. 正方体的外接球的表面积为12π
D. 三棱锥D1−ADC的体积为
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若△ABC有唯一解，则a的值可以是( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 5
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a，b满足|a|=1，|b|= 2，|2a−b|= 2，则a与b的夹角为
13．如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的高度BC为 m.

第13题图 第14题图
在《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2 2，则当堑堵ABC−A1B1C1的体积最大时，阳马B−A1ACC1的体积为 ．
四、解答题：本小题共5小题，共77分，其中第15题13分，16~17题各15分，18~19题各17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15（本小题满分13分）
已知复数，复数在复平面内对应的向量为，
（1）若为纯虚数，求值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16．（本小题满分15分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC．
(1)求B的大小；
(2)若且BD是AC边的中线，求的长度．
（本小题满分15分）
如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，∠D=90°，且|BO|=|AD|=1．
(1)用OA，OB表示CB；
(2)点P在线段上，且求的值．
（本小题满分17分）
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(1)求证：BC//AD；
(2)求证：CE//平面PAB；
(3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN//平面PAB？说明理由．
（本小题满分17分）
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(Ⅰ)求B的大小；
(Ⅱ)若求▵ABC的面积；
(Ⅲ)求的最大值．