广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳市南头中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了棣莫弗公式，已知平面向量，，若，则，蒙古包，下列命题中的真命题是等内容，欢迎下载使用。

命题人、审核人：高一数学备课组
本试卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
①②③④
A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱
2.在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3.复数在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4.棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5.已知平面向量，，若，则（ ）
A．B．0C．D．
6.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
7.蒙古包（Mnglianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A．平方米B．平方米
C．平方米D．平方米
8.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法错误的是（ ）
A．为定值B．当时，为定值
C．的取值范围是D．的最大值为12
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题中的真命题是（ ）
A．若直线a不在平面内，则
B．若直线l上有无数个点不在平面内，则
C．若，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点
D．平行于同一平面的两直线可以相交
10.如图，正方体的棱长为1，动点E在线段上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．平面
C．三棱锥B-CEF的体积为定值D．存在点E，使得平面平面
11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则满足条件的三角形只有1个
B．△ABC面积的最大值为
C．△ABC周长的最大值为
D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，是夹角为60°的两个单位向量，，，则与的夹角为 .
13.已知，且，为虚数单位，则的最小值是 .
14.如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC，△PAC是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为PA的中点，则当△CDH的面积最大时， .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5公里，与小岛D相距为公里.已知角A为钝角，且.
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）记∠CDB为，∠CBD为，求的值.
16.（15分）
如图：在正方体中，，M为的中点.
（1）求三棱锥M-ABC的体积；
（2）求证：平面AMC
（3）若N为的中点，求证：平面平面．
17.（15分）
如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，，，
（1）证明：平面；
（2）若D是棱的中点，在棱AB上是否存在一点E，使平面？证明你的结论.
18.（17分）
已知向量，，且
（1）求，的值；
（2）求的取值范围；
（3）记函数，若的最小值为，求实数的值.
19.（17分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c
（1）求A；
（2）奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，P是△ABC内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F借助于三维分式型柯西不等式：，，，.当且仅当时等号成立.求的最小值.
南头中学2023～2024学年度第二学期高一数学期中考试（解析）
1.C2.B3.C4.B5.A6.D
7.A
【详解】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，设底面圆的半径为r，则，∴，则圆锥的母线长为（米），
故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米）
8.D
【解答过程】如图，过O，P作直径EF，依题意，为定值，A正确；若，则，则，又，则，同理可得，故，B正确；若M为AC中点，连接OM，则，由题意，则，C正确；因为，，则有，D错误.
9.CD
【解析】A中，直线a也可能与平面相交，故A是假命题；B中，直线l与平面相交时，l上也有无数个点不在平面内，故B是假命题；C中，时，与没有公共点，所以l与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题；D中，平行于同一个平面的直线，可以平行也可以相交，也可以是异面直线，故D是真命题.
10.ABC
【解答】解：A：因为F、M分别是AD、CD的中点，所以，故正确：B：由平面几何得，又有，所以平面，故正确；C：三棱锥B-CEF以面BCF为底，则高是定值，所以体积为定值，故正确；D：BF与平面有交点，所以不存在点E，使得平面平面，故错误。
11.BCD
【解答过程】对于A，因为，，所以满足条件的三角形有2个，故A错误；对于B，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以，所以△ABC面积的最大值为，故B正确；对于C，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以△ABC的周长，所以△ABC周长的最大值为，故C正确；对于D，由正弦定理得，因为△ABC为锐角三角形，所以，，，，所以，故D正确.
12.120°（此题较易，可自行书写过程）
13.
【解析】令，（x，），则，
所以，等价于坐标系中点到定点的距离恒为1，
即动点C在以B为圆心，半径为1的圆上，如下图：
又表示动点C到定点的距离，而B与A的距离为，
所以，C在A，B之间且共线，左侧等号成立；B在A，C之间且共线，右侧等号成立；所以的最小值是.
14.
【解答】解：三棱锥P-ABC中，面ABC，平面ABC，
∴，又，，∴平面PBC，又平面PBC，∴，又，，∴平面PAB，又平面PAB，∴，又△PAC是等腰直角三角形，且，D是PA的中点，∴，，设，，则，∴，即，当且仅当时，“＝”成立，此时△CDH的面积最大；在Rt△PBC，设，则
∴，即
解得，∴CB的长是.
15.（1）2（2）
【小问1详解】由题意可知：，，因为角A为钝角，，所以，在△ABD中，由余弦定理得，，所以，解得或（舍），所以小岛A与小岛D之间的距离为2.
【小问2详解】在△BCD中，由正弦定理，因为，所以，则，因为，所以为锐角，所以，所以，，所以.
16.（1）；（2）证明见解析：（3）证明见解析.
【解答】解：
（1）∵正方体中，M为的中点，
∴底面ABC，；
（2）证明：如图，连接BD，设交AC于点O，
∵O是DB的中点，M是的中点，
∴，且平面AMC，平面AMC，
∴平面AMC；
（3）证明：∵N是的中点，M是的中点，
∴四边形为平行四边形，
∴，且平面AMC，平面AMC，
∴平面AMC，由（1）知平面AMC，
且，∴平面平面.
17.证明：
（1）∵，∴．∵侧棱底面ABC，∴．
∵，∴平面．∵平面，∴，
∵，则．在Rt△ABC中，，，∴.
∵，∴四边形为正方形.∴，，∴平面.
（2）当点E为棱AB的中点时，平面．证明如下：
如图，取的中点F，连EF、FD、DE，
∵D、E、F分别为、AB、的中点，∴.∵平面，平面，∴平面．同理可证平面，∵，∴平面平面.∵平面EFD，∴平面
18.（1）（2）（3）
【详解】
（1）向量，，
（2），，，，，所以的取值范围为.
（3）由（1）（2）可知，函数，令，则，，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，当，即时，最小值为，解得（舍去）；当，即时，最小值为，解得或（舍去）；当，即时，最小值为.综上可知，.
19.（1）（2）
【解析】
（1）由正弦定理得即，，若，不成立，则，所以，，所以.
（2）.
又，，，，
∴.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，
所以即，.
令，则.
因为，解得，
当且仅当时等号成立.所以.则.
令，则在上递减，
当即时，y有最大值，此时T有最小值.