宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题

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一、选择题
二、填空题
13. 14. 15. 190 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（一）必考题（60分）
17. （本小题满分12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【详解】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以---------------6分
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．---------------12分
18．（本小题满分12分）
2023年9月23日至10月8日，第19届亚洲运动会在我国杭州举行，这是我国继北京、广州亚运会后第三次举办亚运会. 某电信公司为了解当地市民对“亚运会”相关知识的认知程度，举办了一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分. 现从参加了竞赛的男、女市民中各随机抽取100名市民的竞赛成绩作为样本进行数据分析，对这100名男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图.现规定成绩不低于80分的市民获优秀奖，若女市民样本中获得优秀奖的人数占比为.
(1)根据题中信息完成如下列联表，并判断是否有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关？
(2)将样本分布的频率视为总体分布的概率，电信公司对在这次竞赛中获得优秀奖的市民每人将发放50元手机话费充值卡的奖励. 从该市所有参赛的市民中随机抽取10人，记电信公司发放的手机话费充值卡的总金额数为元，求的数学期望.
附：，其中.
【详解】（1），，，
故男市民中得优秀奖的人数为，女市民中得优秀奖的人数为，
可得如下列联表：
故，
故有的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关--------6分
（2），令为获得优秀奖的市民人数，
则，有，
由元.---------------12分
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD= 2AB，点M是PD的中点．
(1)证明：AM⊥PC;
(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的余弦值．
解：(1)证明：因为PA=AD，点M是PD的中点，
所以AM⊥PD，
因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，
所以CD⊥AD，
因为平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥AM，
因为PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD，
因为PC⊂平面PCD，
所以AM⊥PC；---------------4分
(2)由题意可得AB，AD，AP两两垂直，
设AB=1，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1, 2,0)，D(0, 2,0)，P(0,0, 2)，
因为点M是PD的中点，
所以M(0, 22, 22)，
所以AM=(0, 22, 22)，AC=(1, 2,0)，
设平面ACM的法向量为n=(x,y,z)，
则AM⋅n= 22y+ 22z=0AC⋅n=x+ 2y=0,
令y=-1，可得x= 2，z=1，
所以平面ACM的一个法向量n=( 2,-1,1)，PC=(1, 2,- 2)，
设N(xN,yN,zN)，PN=λPC=(λ, 2λ,- 2λ)(00)的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆E于A,B，|AF|+|BF|=2 6，tan∠CFO= 22．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知T为直线x=3上一点，过F作TF的垂线交椭圆E于点M，N，当|TF||MN|最小时，求点T的坐标．
解：(1)设椭圆E的左焦点为F1，连接AF1，BF1，
由对称性知四边形F1AFB是平行四边形，∴|AF|=|BF1|，
由椭圆定义知2a=|BF|+|BF1|=|BF|+|AF|=2 6，∴a= 6，
设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知tan∠CFO=bc，∴bc= 22，∴c= 2b，
∴b2=a2-c2=6-2b2，解得b2=2，
∴椭圆E的标准方程为x26+y22=1．---------------4分
(2)设T(3,m)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，易知直线MN与x轴不重合，
∵F(2,0)，故直线MN的方程为x=my+2，
代入x26+y22=1，整理得(m2+3)y2+4my-2=0，
∴Δ=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0，y1+y2=-4mm2+3，y1y2=-2m2+3，
∴|TF|= m2+1，
|MN|= m2+1|y1-y2|= (m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]
= (m2+1)[(-4mm2+3)2-4(-2m2+3)]=2 6(m2+1)m2+3，
∴|TF||MN|=m2+32 6(m2+1)，
令 m2+1=t(t≥1)，
则|TF||MN|=t2+22 6t=12 6(t+2t)≥12 6×2 t×2t= 33，
当且仅当t=2t，即t= 2，即 m2+1= 2，即m=1或m=-1时，(|TF||MN|)min= 33，
此时点T的坐标为(3,1)或(3,-1)．---------------12分
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x．
(1)讨论fx的单调性；
(2)当a0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②当a0、当x∈(-1a,+∞)，f'(x)