四川省成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份四川省成都外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）化简＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）cs75°＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知平面向量，，若向量与共线，则x＝（ ）
A．﹣2B．C．2D．5
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则sinA＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sin4x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
6．（5分）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
7．（5分）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图，在△ABC中，为CD的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题．本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列各式中，值为的是（ ）
A．sin15°+cs15°
B．
C．
D．2sin15°cs15°
（多选）10．（5分）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则或
B．与是平行向量
C．若与是共线向量，则A，B，C，D四点共线
D．若∥∥，则∥
（多选）11．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．f（0）＝1
B．在区间上单调递增
C．将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D．
（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝b（2csA+1），则下列结论正确的有（ ）
A．A＝2B
B．若，则△ABC为直角三角形
C．若△ABC为锐角三角形，的最小值为1
D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2＝ac，则角B的值为 ．
14．（5分）已知，则sin2α＝ ．
15．（5分）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山底C在西偏北75°的方向上，山顶D的仰角为30°，则此山的高度CD＝ m．
16．（5分）已知向量，，满足||＝2||＝3||＝6，若以向量，为基底，将向量表示成c＝λ+μ（λ，μ为实数），都有|λ+μ|≤1，则•的最小值为 ．
四、解答题：本题共6个小题，共70分，其中17题10分，18-22题每道12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，，与的夹角θ为120°．求：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（12分）已知．
（1）求的值；
（2）若，求β的值．
19．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcsC＝2a+c．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，BD＝1，且_____，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
21．（12分）已知．
（1）求函数f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝且b＝，求△ABC周长的取值范围．
22．（12分）定义在R上的函数，已知其在x∈（0，6π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时函数取得最大值为2；当x＝5π，函数取得最小值为﹣2．
（1）求出此函数的解析式；
（2）是否存在实数m，满足不等式，若存在求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）若将函数f（x）的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数g（x），再将函数g（x）的图像向左平移φ0（φ0＞0）个单位得到函数h（x），已知函数y＝10g（x）+lgh（x）的最大值为10，求满足条件的φ0的最小值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）化简＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：D．
2．（5分）cs75°＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：cs75°＝cs（45°+30°）
＝cs45°cs30°﹣sin45°sin30°
＝×﹣
＝．
故选：C．
3．（5分）已知平面向量，，若向量与共线，则x＝（ ）
A．﹣2B．C．2D．5
【解答】解：因为向量与共线，
所以6（x﹣1）﹣2（2﹣x）＝0，
解得．
故选：B．
4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则sinA＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
由正弦定理可得，
所以．
故选：A．
5．（5分）要得到函数的图象，只需将函数y＝sin4x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【解答】解：只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位长度，
即可得到函数的图象，
故选：D．
6．（5分）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【解答】解：根据平面向量基底的选取要求，为不共线的非零向量，而C选项：2＝2（）为共线向量，则不能作为基底，
故选：C．
7．（5分）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设与的夹角为θ，
平面向量，，
则，，
则在上的投影向量为．
故选：B．
8．（5分）如图，在△ABC中，为CD的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，可得，，
因为BP是△DBC的中线，所以＝＝+．
故选：C．
二、多项选择题．本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列各式中，值为的是（ ）
A．sin15°+cs15°
B．
C．
D．2sin15°cs15°
【解答】解：选项A，sin15°+cs15°＝sin（15°+45°）＝sin60°＝×＝，错误；
选项B，2（﹣）＝2cs＝2×＝，正确；
选项C，＝＝tan（45°+15°）＝tan60°＝，正确；
选项D，2sin15°cs15°＝sin30°＝，错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则或
B．与是平行向量
C．若与是共线向量，则A，B，C，D四点共线
D．若∥∥，则∥
【解答】解：若，但两向量方向不确定，A显然错误；
根据共线向量的定义可知，与方向相反，是共线向量，B正确；
由共线向量的定义可知，当与是共线向量时，AB也可能与CD平行，C错误；
当＝时，D显然错误．
故选：ACD．
（多选）11．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．f（0）＝1
B．在区间上单调递增
C．将f（x）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D．
【解答】解：根据函数图象，易知：A＝2，T＝（）＝π，
所以ω＝2，
由⇒⇒，k∈Z．
所以＝，k∈Z．
因为，故A错误；
由⇒⇒．
因为，所以函数f（x）在上单调递增，故B正确；
将f（x）的图象向左平移个单位得：＝，不是偶函数，故C错误；
因为，故D正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝b（2csA+1），则下列结论正确的有（ ）
A．A＝2B
B．若，则△ABC为直角三角形
C．若△ABC为锐角三角形，的最小值为1
D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围为
【解答】解：因为c＝b（2csA+1），由正弦定理可得sinC＝sinB（2csA+1），
在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
可得sin（A﹣B）＝sinB，
所以A﹣B＝B，
即A＝2B，所以A选项正确；
B中，a＝b，可得sinA＝sinB，由A选项可得sin2B＝sinB，
则2sinBcsB＝sinB，在△ABC中，sinB＞0，
可得csB＝，则B＝，A＝，所以C＝，即△ABC为直角三角形，所以B选项正确；
C中，因为△ABC为锐角三角形，由A选项可得A＝2B，
所以，可得＜B＜，所以tanB∈（，1），
所以﹣＝﹣＝+，
设s＝tanB∈（，1），
设g（s）＝+在（，1）单调递减，所以g（s）＞g（1）＝1，
所以C选项不正确；
D中，△ABC为锐角三角形中，＝＝＝＝
＝csB+＝2csB﹣，
设t＝csB，
因为△ABC为锐角三角形，所以，可得＜B＜，
所以csB∈（，），
即t∈（，），
令f（t）＝2t﹣，t∈（，），则函数f（t）单调递增，
f（）＜f（t）＜f（），而f（）＝﹣＝，
即f（）＝﹣＝，
所以f（t）∈（，），
所以∈（，），所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2﹣b2＝ac，则角B的值为 ．
【解答】解：在△ABC中，a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理可得，csB＝，
∵0＜B＜π，∴B＝．
故答案为：．
14．（5分）已知，则sin2α＝ ．
【解答】解：由，可得，
可得，
可得．
故答案为：．
15．（5分）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山底C在西偏北75°的方向上，山顶D的仰角为30°，则此山的高度CD＝ 100 m．
【解答】解：设此山高h（m），则BC＝h（m），
在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝600．
根据正弦定理得：＝，
解得h＝100（m）．
即此山的高度CD＝100（m）．
故答案为：100．
16．（5分）已知向量，，满足||＝2||＝3||＝6，若以向量，为基底，将向量表示成c＝λ+μ（λ，μ为实数），都有|λ+μ|≤1，则•的最小值为 4﹣4 ．
【解答】解：如图，设，，，∵||＝2||＝3||＝6，
∴OA＝6，OB＝3，OC＝2，∴点C在以O为圆心，2为半径的圆上，
∵，且|λ+μ|≤1，根据向量共线定理的推论及等和线定理可得：
点C在直线AB上或点O与AB直线之间，
即直线AB与以O为圆心，2为半径的圆O相离或相切，
∵，
∴•＝＝OA×OB×cs∠AOB＝18cs∠AOB，又∠AOB∈[0，π]，
∴当∠AOB最大时，cs∠AOB最小，•取得最小值，
而当∠AOB最大时，直线AB与圆O相切，切点为C，
如图，设∠BOC＝α，∠AOC＝β，又OC⊥AB，OA＝6，OB＝3，OC＝2，
∴csα＝，csβ＝，
∴sinα＝，sinβ＝，
∴cs∠AOB的最小值为cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝，
∴•的最小值为 18×（）＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共6个小题，共70分，其中17题10分，18-22题每道12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，，与的夹角θ为120°．求：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）已知，，与的夹角θ为120°，
则；
（2）
＝
＝100﹣（﹣20）﹣2×42
＝88；
（3）
＝
＝100﹣2×（﹣20）+42
＝156．
18．（12分）已知．
（1）求的值；
（2）若，求β的值．
【解答】解：（1）由，可得，
所以，
（2）由．，可得，
又，
所以，
csβ＝cs（α+β﹣α）＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝，
．
19．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．
【解答】解：（1）因为＝2sin（2x+），
故T＝π；
（2）当0时，，
所以，
故f（x）在区间上的取值范围为[，2]．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2bcsC＝2a+c．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，BD＝1，且_____，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
【解答】解：（1）因为2bcsC＝2a+c，
由正弦定理知，2sinBcsC＝2sinA+sinC，
在三角形中，∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，
代入上式得2csBsinC+sinC＝0，
∵C∈（0，π），
∴sinC＞0，csB＝﹣，
∵B∈（0，π），所以B＝π；
（2）若选①：由BD平分∠ABC得，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，BD＝1，
所以acsinπ＝×1×csin+×1×asin，
即ac＝a+c，
在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accsπ，
又b＝2，∴a2+c2+ac＝12，即（a+c）2﹣ac﹣12＝0，
所以（ac）2﹣ac﹣12＝0，
解得ac＝4（ac＝﹣3舍去），
所以S△ABC＝acsinB＝×4×sinπ＝．
所以△ABC的面积为．
若选②：因为D为线段AC的中点，所以＝（+），
两边平方可得2＝（2+2+•），
而BD＝1，
所以1＝（c2+a2+2accsB），而B＝π，
可得a2+c2﹣ac＝4，
在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accsB，
即a2+c2+ac＝12，
联立，可得ac＝4，
S△ABC＝acsinB＝×4×sinπ＝．
所以△ABC的面积为．
21．（12分）已知．
（1）求函数f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝且b＝，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）已知，
则＝＝，
当，k∈Z，
即，k∈Z时，函数f（x）的最小值为，
此时；
（2）已知f（B）＝，
则，
即，
即，
又b＝，
则，
则a＝2sinA，c＝2sinC，
则a+c＝2sinA+2sinC＝＝＝，
又，
则，
即，
则，
即△ABC周长的取值范围为．
22．（12分）定义在R上的函数，已知其在x∈（0，6π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时函数取得最大值为2；当x＝5π，函数取得最小值为﹣2．
（1）求出此函数的解析式；
（2）是否存在实数m，满足不等式，若存在求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）若将函数f（x）的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数g（x），再将函数g（x）的图像向左平移φ0（φ0＞0）个单位得到函数h（x），已知函数y＝10g（x）+lgh（x）的最大值为10，求满足条件的φ0的最小值．
【解答】解：（1）∵f（x）max＝f（π）＝2，f（x）min＝f（5π）＝﹣2，ω＞0，
又f（x）在x∈（0，6π）内只取到一个最大值和一个最小值，
∴，∴，
∵，∴，
则，又，∴，
∴．
（2）假设存在实数m，满足题设不等式，
则m满足，解得0≤m≤1，
∵﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1≤1，∴，
同理，
当0≤x≤1时，，故在[0，1]上单调递增，
若有，
只需要，即成立即可，
∴存在，使成立．
（3）由题意得，
∵函数y＝10x与函数y＝lgx均为单调增函数，且﹣1≤g（x）≤1，0＜h（x）≤1，
∴当且仅当与同时取得1才有y＝10g（x）+lgh（x）的最大值为10，
由，得，
则由，得，
∴，则φ0＝8kπ，k∈Z，
又φ0＞0，∴φ0的最小值为8π．