培优点3　洛必达法则 课件-2025高考数学一轮复习

这是一份培优点3　洛必达法则 课件-2025高考数学一轮复习，共31页。PPT课件主要包含了洛必达法则，当x＝0时a∈R等内容，欢迎下载使用。

若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必达法则也成立.
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
题型一　用洛必达法则处理 型函数
若x＝0，则a∈R；若x>0，
令h(x)＝2xcs x－2sin x－sin xcs x＋x，h′(x)＝2cs x－2xsin x－2cs x－cs 2x＋1＝－2xsin x－cs 2x＋1＝2sin2x－2xsin x＝2sin x(sin x－x)，因此，当x∈(0，π)时，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上单调递减，且h(0)＝0，故g′(x)<0，所以g(x)在(0，π)上单调递减，
另一方面，当x∈[π，＋∞)时，
当x＝1时，不等式恒成立，m∈R；
令m(x)＝x2－x2ln x－ln x－1，x>1，
令n(x)＝x2－2x2ln x－1，x>1，则n′(x)＝2x－4xln x－2x＝－4xln x<0，得n(x)＝x2－2x2ln x－1在(1，＋∞)上单调递减，故n(x)得φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，进而m′(x)＝φ(x)<φ(1)＝0).
所以m(x)在(1，＋∞)上单调递减，可得m(x)题型二　用洛必达法则处理 型函数
例2　已知函数f(x)＝ax－a－xln x.若当x∈(0,1)时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
依题意，ax－a－xln x≥0恒成立，即a(x－1)≥xln x恒成立，
令g(x)＝x－1－ln x，x∈(0,1)，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)>g(1)＝0，∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上单调递增.
∴φ(x)>0，故a≤0，综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
跟踪训练2　已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，即2ax3＋x>x3－a恒成立，即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，
1.已知函数f(x)＝x(ex－1)－ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
当x≥0时，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2.当x＝0时，a∈R；
记h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xex>0，因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上单调递增，
即当x→0时，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.综上所述，当a≤1，x≥0时，f(x)≥0成立.
2.若∀x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范围.
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)

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