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2023年山东省 潍坊市 青州市 中考数学模拟预测题（原卷版+解析版）
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1. 的平方根是（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，4的平方根是，
∴的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键，此题容易错解为B．
2. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查了立体图形的左视图问题，掌握立体图形三视图的性质是解题的关键．
3. 2022年4月18日，国家统计局发布初步核算，一季度国内生产总值270178亿元，同比增长4.8%，经济运行总体平稳．其中270178亿用科学记数法（精确到千亿位）表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：270178亿=27017800000000＝2.70178×1013≈2.70×1013，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠ABC =70°B. ∠BAD =80°C. CE =CDD. CE =AE
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念及等腰三角形的性质判断即可．
【详解】A.∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故A正确，不符合题意；
B.∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正确，不符合题意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C错误，符合题意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正确，不符合题意．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质得出∠CAB＝40°．
5. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8.2D. 方差是1.2
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.
【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是
方差是
故选D
【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.
6. 如图，在四边形中，，，点是上的一个动点，交四边形另一边于点．设，的面积为，则与之间的函数关系图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分成三段：当时，当时，当时，分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，
则，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
①当时，
，
，
，
，即，
，
；
②当，此时，
，
；
③当时，
，
同理可证，
，即，
，
，
综上，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
（多选）
7. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，分式的乘除及分式的加减运算进行计算，再判断即可作答．
【详解】不能再合并同类项了，A选项错误，不符合题意；
，B选项错误，不符合题意；
，C选项正确，符合题意；
，D选项正确，符合题意；
故选：CD．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，分式的乘除及分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（多选）
8. 下列说法错误的是（ ）
A. 了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C. 一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4
D. “367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
【答案】C
【解析】
【分析】根据调查方式的选择判定A；根据频率估计算概率判定B；根据平均与方差计算公式判定C；根据事件发生的可能性判定D．
【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项不符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项不符合题意；
C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查抽样调查与普查，频率估计算概率，平均数与方差，事件分类，熟练掌握调查方式的选择原则，用频率估计算概率，平均数与方差的计算公式，根据事件发生的可能性对事伯分类是解题的关键．
（多选）
9. 已知二次函数的图象经过点，，．下列说法正确的有（ ）
A.
B. 方程的根为
C.
D. 对于任意实数t，总有
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将代入，可得c与a的关系，判定A正确；利用两点到对称轴的距离可判定C错误；令解方程即可判定B正确；利用函数的最小值可判定D正确．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上．
∵二次函数的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线．
∴．
∴．
∵二次函数的图象经过点，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴A的说法正确；
∵点到直线的距离大于点到直线的距离，
∴，
∴C的说法错误；
令，则．
∵，
∴．
∵，
即．
解得：，
∴方程的解为．
∴B的说法正确；
∵，
∴当时，y有最小值为，
∴对于任意实数t，总有．
∴D的说法正确．
故选：ABD．
（多选）
10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A、C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最小值为
D. 若连接得到的在运动过程中可能是等边三角形
【答案】ABC
【解析】
【分析】先证和全等，得出，再证四边形是矩形，得出，于是有，即可判断②正确；由矩形的性质得出，由全等得出，再证，即可推出，即可判断①正确；由②知，且当时，最短，先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形的面积公式求出的长，即可得出的最小值，即可判断③正确；由，推出在运动过程中不可能是等边三角形，故④错误．
【详解】解：连接，交于点O，延长交于点M，交于点H，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①知，
∴，
∴，
即，
∴，
故①正确，符合题意；
由②知，
当时，最短，
∵在正方形中，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
∴的最小值为，
故③正确，符合题意；
∵E为对角线上与A、C不重合的一个动点，
∴，
∵，
∴，
∴在运动过程中不可能是等边三角形，
故错误，不符合题意；
故选：ABC．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，直角三角形的面积的求法，熟练掌握这些性质是解题的关键．
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．）
11. 等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 _______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
则或，
解得，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为，
故答案为：16．
12. 一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是______．
【答案】90°．
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的4倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角为，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
故答案为.
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥相关计算．解题关键要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
13. 图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径为4英寸，碗底与平行，倒汤时碗底与桌面夹角为，则汤的横截面积（图3阴影部分）为______ 平方英寸．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积．延长与交于点，设的中点为，连接，过点作交于点，根据平行线的性质可求，则，阴影部分的面积扇形的面积的面积．
【详解】解：延长与交于点，设的中点为，连接，过点作交于点，
与成角为，，
，
∵，
，
，
，
英寸，
英寸，
在中，，，
，
，
（平方英寸），
（平方英寸），
平方英寸，
故答案为：．
14. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，…在轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
同理可求正方形的边长为，
正方形的边长为，
正方形的边长是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共94分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 计算：.
【答案】5.
【解析】
【分析】将60°的正切值代入，再依次计算零次幂，负指数幂，化简二次根式，最后算加减法.
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值，掌握零次幂，负指数幂和二次根式的化简是解决本题的关键.
16. 解不等式组：并写出它的所有整数解．
【答案】；
【解析】
【分析】分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．
17. 城市规划期间，欲拆除一电线杆，如图，已知距电线杆的水平距离的D处有一大坝，背水坡的坡度，坝高为，在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为，之间是宽为的行人道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？（提示：在地面上，以点B为圆心，以为半径的圆形区域为危险区域）（参考数据：）
【答案】不需封闭人行道，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，矩形的性质和判定，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．求需不需要将人行道封上实际上就是比较与的长短，过C作于M，利用解直角三角形得到，那么的长度就是也就是．再根据题意得到，最后进行比较即可解题．
【详解】解：如图，作于点M，
由题易知为矩形．
，，
背水坡的坡度，
，
．
（）．
在中，
，
（）．
（）．
而（）．
．故不需封闭人行道．
18. 从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；
（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试；用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为x甲＝76，x乙＝76；样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．
【答案】（1）图见解析；平均成绩为76.5；（2）；（3）甲班的数学素养总体水平好．
【解析】
【分析】（1）由D组所占百分比求出D组的人数，再根据A、B、E、D组的人数求出C组人数，即可补全频数分布直方图，再求出样本平均数即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，再由概率公式求解即可；
（3）由两班样本方差的大小作出判断即可．
【详解】解：（1）D组人数为：20×25%＝5（人），C组人数为：20﹣（2+4+5+3）＝6（人），
补充完整频数分布直方图如下：
估算参加测试的学生的平均成绩为：76.5（分）；
（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为；
（3）∵样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4，
∴s甲2＜s乙2，
∴甲班的成绩稳定，
∴甲班的数学素养总体水平好．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系.
乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如下表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．
【答案】（1）乒乓球竖直高度的最大值为，
（2）乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格数据可知与关于对称轴对称，则，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据（1）的结论，令，求得，代入，求得，进而令，求得，与乒乓球桌的长度比较即可求解．
【小问1详解】
根据表格数据可知与关于对称轴对称，
则当时，，即乒乓球竖直高度的最大值为，
∴，
将点代入得，，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下，
由，令，
即，
解得：或（舍去）
依题意，，
将点代入得，
解得：或（舍去）
∴解析式为
当时，，
解得：（舍去）
∵，
∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20. 如图，是的直径，是的两条弦，，过点D作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证出，由平行线的判定得出，由切线的性质得出，则可得出结论；
（2）过点O作于F，证出，得出，求出，由勾股定理求出的长，证出四边形为矩形，得出，则可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点O作于F，连接，
∵，
∴，
又∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21. 如图，抛物线的对称轴为直线，并且经过点，交轴于另一点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点P，求点P到直线距离的最大值及此时点P的坐标；
（3）在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当点的坐标为时，点到距离的最大值为
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据对称轴公式得到，根据抛物线经过点得到，由此求出a、b的值即可得到答案；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，且，则，可得．当时，取得最大值，的最大值为；利用勾股定理求出，如图，过点作于点，利用等面积法求出点到距离的最大值即可；
（3）分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线，并且经过点，
解得
∴抛物线解析式为．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，过点作轴，与交于点．
∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，且对称轴为直线，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
直线的解析式为．
设，且，则，
．
当时，取得最大值，的最大值为．
此时，点的坐标为．
在中，．
如图，过点作于点．
点到距离的最大值为．
当点的坐标为时，点到距离的最大值为
【小问3详解】
解：如图3-1所示，当时，设直线交x轴于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图3-2所示，当时，设直线交y轴于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
当时，则点Q在以为直径的圆上，设的中点为M，则点M到抛物线上y轴右侧上的一点的距离都小于的长，点M到点B右侧抛物线上任意一点的距离大于的长，
∴此时不存在点Q使得；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆周角定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
22. 如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图像过点A．
（1）求的值．
（2）点为反比例图像上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标．
（3）点为反比例图像上的一点，点为坐标平面上的一点，若以为一边，以A、、、为顶点的平行四边形的面积为14，请求出点的坐标．
【答案】（1）3 （2）点坐标或
（3）点的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）由、可得，将点A的坐标代入反比例函数表达式即可解答；
（2）设点，由四边形是正方形，故，则，然后求解即可解答；
（3）由以A、、、为顶点组成的平行四边形面积，求出点的坐标，进而完成解答．
【小问1详解】
解：，，
点，点，点，
反比例函数的图像过点，
；
【小问2详解】
解：，
反比例函数解析式为：，
设点，
四边形是正方形，
，
∴，
当点第一象限时，，解得：，（舍去），
点，；
当点在第三象限，，解得：（舍去），，
点P；
综上，点坐标为或
小问3详解】
解：设点坐标为，
若为边，
以A、、、为顶点组成的平行四边形面积为14，
以A、、、为顶点组成的平行四边形面积，即，
解得：，，
点或，
以A、、、为顶点组成的四边形是平行四边形，
，，
点G或或或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，灵活运用相关知识是解题的关键．
23. 如图1，在中，，点，分别为，的中点，连接．将绕点A逆时针旋转（），连接并延长与直线交于点．
（1）若，将绕点A逆时针旋转至图2所示的位置，则线段与的数量关系是 ；
（2）若（），将绕点A逆时针旋转，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）若，，将旋转至时，请求出此时的长．
【答案】（1）
（2）此时（1）的结论不成立，与的数量关系为．理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意易得，然后可证，进而问题可求解；
（2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解；
（3）由题意易得，根据勾股定理可得，然后由（2）可求得，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：∵，点，分别为，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为；
【小问2详解】
此时（1）的结论不成立，与的数量关系为．
理由如下：点，分别为，的中点，
，，
，
，
，
．
，
；
【小问3详解】
，
，
在中，，
由（2）知，，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．
水平距离/
竖直高度/
1. 的平方根是（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，4的平方根是，
∴的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键，此题容易错解为B．
2. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查了立体图形的左视图问题，掌握立体图形三视图的性质是解题的关键．
3. 2022年4月18日，国家统计局发布初步核算，一季度国内生产总值270178亿元，同比增长4.8%，经济运行总体平稳．其中270178亿用科学记数法（精确到千亿位）表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：270178亿=27017800000000＝2.70178×1013≈2.70×1013，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠ABC =70°B. ∠BAD =80°C. CE =CDD. CE =AE
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念及等腰三角形的性质判断即可．
【详解】A.∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故A正确，不符合题意；
B.∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正确，不符合题意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C错误，符合题意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正确，不符合题意．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质得出∠CAB＝40°．
5. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是8.2D. 方差是1.2
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.
【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是
方差是
故选D
【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.
6. 如图，在四边形中，，，点是上的一个动点，交四边形另一边于点．设，的面积为，则与之间的函数关系图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分成三段：当时，当时，当时，分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，
则，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
①当时，
，
，
，
，即，
，
；
②当，此时，
，
；
③当时，
，
同理可证，
，即，
，
，
综上，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
（多选）
7. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，分式的乘除及分式的加减运算进行计算，再判断即可作答．
【详解】不能再合并同类项了，A选项错误，不符合题意；
，B选项错误，不符合题意；
，C选项正确，符合题意；
，D选项正确，符合题意；
故选：CD．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，分式的乘除及分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（多选）
8. 下列说法错误的是（ ）
A. 了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C. 一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4
D. “367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
【答案】C
【解析】
【分析】根据调查方式的选择判定A；根据频率估计算概率判定B；根据平均与方差计算公式判定C；根据事件发生的可能性判定D．
【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项不符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项不符合题意；
C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查抽样调查与普查，频率估计算概率，平均数与方差，事件分类，熟练掌握调查方式的选择原则，用频率估计算概率，平均数与方差的计算公式，根据事件发生的可能性对事伯分类是解题的关键．
（多选）
9. 已知二次函数的图象经过点，，．下列说法正确的有（ ）
A.
B. 方程的根为
C.
D. 对于任意实数t，总有
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将代入，可得c与a的关系，判定A正确；利用两点到对称轴的距离可判定C错误；令解方程即可判定B正确；利用函数的最小值可判定D正确．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上．
∵二次函数的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线．
∴．
∴．
∵二次函数的图象经过点，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴A的说法正确；
∵点到直线的距离大于点到直线的距离，
∴，
∴C的说法错误；
令，则．
∵，
∴．
∵，
即．
解得：，
∴方程的解为．
∴B的说法正确；
∵，
∴当时，y有最小值为，
∴对于任意实数t，总有．
∴D的说法正确．
故选：ABD．
（多选）
10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A、C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的最小值为
D. 若连接得到的在运动过程中可能是等边三角形
【答案】ABC
【解析】
【分析】先证和全等，得出，再证四边形是矩形，得出，于是有，即可判断②正确；由矩形的性质得出，由全等得出，再证，即可推出，即可判断①正确；由②知，且当时，最短，先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形的面积公式求出的长，即可得出的最小值，即可判断③正确；由，推出在运动过程中不可能是等边三角形，故④错误．
【详解】解：连接，交于点O，延长交于点M，交于点H，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由①知，
∴，
∴，
即，
∴，
故①正确，符合题意；
由②知，
当时，最短，
∵在正方形中，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
∴的最小值为，
故③正确，符合题意；
∵E为对角线上与A、C不重合的一个动点，
∴，
∵，
∴，
∴在运动过程中不可能是等边三角形，
故错误，不符合题意；
故选：ABC．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，直角三角形的面积的求法，熟练掌握这些性质是解题的关键．
三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．）
11. 等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 _______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
则或，
解得，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为，
故答案为：16．
12. 一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是______．
【答案】90°．
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的4倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角为，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
故答案为.
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥相关计算．解题关键要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
13. 图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径为4英寸，碗底与平行，倒汤时碗底与桌面夹角为，则汤的横截面积（图3阴影部分）为______ 平方英寸．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积．延长与交于点，设的中点为，连接，过点作交于点，根据平行线的性质可求，则，阴影部分的面积扇形的面积的面积．
【详解】解：延长与交于点，设的中点为，连接，过点作交于点，
与成角为，，
，
∵，
，
，
，
英寸，
英寸，
在中，，，
，
，
（平方英寸），
（平方英寸），
平方英寸，
故答案为：．
14. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，…在轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
同理可求正方形的边长为，
正方形的边长为，
正方形的边长是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共94分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 计算：.
【答案】5.
【解析】
【分析】将60°的正切值代入，再依次计算零次幂，负指数幂，化简二次根式，最后算加减法.
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值，掌握零次幂，负指数幂和二次根式的化简是解决本题的关键.
16. 解不等式组：并写出它的所有整数解．
【答案】；
【解析】
【分析】分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．
17. 城市规划期间，欲拆除一电线杆，如图，已知距电线杆的水平距离的D处有一大坝，背水坡的坡度，坝高为，在坝顶点C处测得电线杆顶点A的仰角为，之间是宽为的行人道，试问在拆除电线杆时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？（提示：在地面上，以点B为圆心，以为半径的圆形区域为危险区域）（参考数据：）
【答案】不需封闭人行道，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，矩形的性质和判定，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．求需不需要将人行道封上实际上就是比较与的长短，过C作于M，利用解直角三角形得到，那么的长度就是也就是．再根据题意得到，最后进行比较即可解题．
【详解】解：如图，作于点M，
由题易知为矩形．
，，
背水坡的坡度，
，
．
（）．
在中，
，
（）．
（）．
而（）．
．故不需封闭人行道．
18. 从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；
（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试；用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为x甲＝76，x乙＝76；样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．
【答案】（1）图见解析；平均成绩为76.5；（2）；（3）甲班的数学素养总体水平好．
【解析】
【分析】（1）由D组所占百分比求出D组的人数，再根据A、B、E、D组的人数求出C组人数，即可补全频数分布直方图，再求出样本平均数即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，再由概率公式求解即可；
（3）由两班样本方差的大小作出判断即可．
【详解】解：（1）D组人数为：20×25%＝5（人），C组人数为：20﹣（2+4+5+3）＝6（人），
补充完整频数分布直方图如下：
估算参加测试的学生的平均成绩为：76.5（分）；
（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为；
（3）∵样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4，
∴s甲2＜s乙2，
∴甲班的成绩稳定，
∴甲班的数学素养总体水平好．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系.
乒乓球的水平距离与竖直高度的几组数据如下表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．
【答案】（1）乒乓球竖直高度的最大值为，
（2）乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格数据可知与关于对称轴对称，则，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据（1）的结论，令，求得，代入，求得，进而令，求得，与乒乓球桌的长度比较即可求解．
【小问1详解】
根据表格数据可知与关于对称轴对称，
则当时，，即乒乓球竖直高度的最大值为，
∴，
将点代入得，，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下，
由，令，
即，
解得：或（舍去）
依题意，，
将点代入得，
解得：或（舍去）
∴解析式为
当时，，
解得：（舍去）
∵，
∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20. 如图，是的直径，是的两条弦，，过点D作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证出，由平行线的判定得出，由切线的性质得出，则可得出结论；
（2）过点O作于F，证出，得出，求出，由勾股定理求出的长，证出四边形为矩形，得出，则可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点O作于F，连接，
∵，
∴，
又∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21. 如图，抛物线的对称轴为直线，并且经过点，交轴于另一点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点P，求点P到直线距离的最大值及此时点P的坐标；
（3）在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当点的坐标为时，点到距离的最大值为
（3）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据对称轴公式得到，根据抛物线经过点得到，由此求出a、b的值即可得到答案；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，且，则，可得．当时，取得最大值，的最大值为；利用勾股定理求出，如图，过点作于点，利用等面积法求出点到距离的最大值即可；
（3）分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线，并且经过点，
解得
∴抛物线解析式为．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，过点作轴，与交于点．
∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，且对称轴为直线，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
直线的解析式为．
设，且，则，
．
当时，取得最大值，的最大值为．
此时，点的坐标为．
在中，．
如图，过点作于点．
点到距离的最大值为．
当点的坐标为时，点到距离的最大值为
【小问3详解】
解：如图3-1所示，当时，设直线交x轴于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图3-2所示，当时，设直线交y轴于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
当时，则点Q在以为直径的圆上，设的中点为M，则点M到抛物线上y轴右侧上的一点的距离都小于的长，点M到点B右侧抛物线上任意一点的距离大于的长，
∴此时不存在点Q使得；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆周角定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
22. 如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图像过点A．
（1）求的值．
（2）点为反比例图像上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标．
（3）点为反比例图像上的一点，点为坐标平面上的一点，若以为一边，以A、、、为顶点的平行四边形的面积为14，请求出点的坐标．
【答案】（1）3 （2）点坐标或
（3）点的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）由、可得，将点A的坐标代入反比例函数表达式即可解答；
（2）设点，由四边形是正方形，故，则，然后求解即可解答；
（3）由以A、、、为顶点组成的平行四边形面积，求出点的坐标，进而完成解答．
【小问1详解】
解：，，
点，点，点，
反比例函数的图像过点，
；
【小问2详解】
解：，
反比例函数解析式为：，
设点，
四边形是正方形，
，
∴，
当点第一象限时，，解得：，（舍去），
点，；
当点在第三象限，，解得：（舍去），，
点P；
综上，点坐标为或
小问3详解】
解：设点坐标为，
若为边，
以A、、、为顶点组成的平行四边形面积为14，
以A、、、为顶点组成的平行四边形面积，即，
解得：，，
点或，
以A、、、为顶点组成的四边形是平行四边形，
，，
点G或或或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，灵活运用相关知识是解题的关键．
23. 如图1，在中，，点，分别为，的中点，连接．将绕点A逆时针旋转（），连接并延长与直线交于点．
（1）若，将绕点A逆时针旋转至图2所示的位置，则线段与的数量关系是 ；
（2）若（），将绕点A逆时针旋转，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）若，，将旋转至时，请求出此时的长．
【答案】（1）
（2）此时（1）的结论不成立，与的数量关系为．理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意易得，然后可证，进而问题可求解；
（2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解；
（3）由题意易得，根据勾股定理可得，然后由（2）可求得，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：∵，点，分别为，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为；
【小问2详解】
此时（1）的结论不成立，与的数量关系为．
理由如下：点，分别为，的中点，
，，
，
，
，
．
，
；
【小问3详解】
，
，
在中，，
由（2）知，，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．
水平距离/
竖直高度/
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