2024年江西省鹰潭市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 是的（ ）
A. 倒数B. 绝对值C. 相反数D. 以上都不是
【答案】C
【解析】
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴ 是的相反数；
故选：C．
【点睛】本题考查相反数．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．
2. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题关键．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线用虚线表示．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得答案．
【详解】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形，
∴从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，
故选：D．
3. 在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：甲、乙位于直线的两侧，
根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求；
故选：A．
【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项出，根据以上知识逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
5. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的运用， 根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．
【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为：
故选：C．
6. 实数在数轴上对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）

A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，从而得到，再由，可得，且，从而得到，即可求解．
【详解】解∶根据题意得∶，
∵，
∴，且，
∴，
∴的值可以是．
故选：A
【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定的取值范围．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在函数中，自变量的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】在函数中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可.
【详解】在函数中，分母不为0，
则，即，
故答案为：.
【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分母不为0是解决本题的关键.
8. 中国空间站俯瞰地球的高度约为米．将用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
9. 如图，将一块直角三角板的顶点放在直尺的一边上，当与三角板的一边平行时，则的度数为_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，依题意得，，，先求出，再用用加法计算即可．
【详解】解：依题意得：，，，
∵，，
∴，
∴
故答案为：．
10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，则点B的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先把点A坐标代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A坐标代入正比例函数解析式求出正比例函数解析式，再联立两解析式即可求出点B的坐标．
【详解】解：把代入反比例函数解析式中得，解得，
∴，
把代入正比例函数解析式中得，
∴正比例函数解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出正比例函数的解析式是解题的关键．
11. 如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，又，
∴，
∴，
故答案为：3．
12. 在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，的长度为______．

【答案】3或或
【解析】
【分析】分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得．
【详解】∵四边形为菱形，，
∴菱形四边长为4，且，
∴,
∵，
∴，即，．
∵E，F分别是的中点．
∴；
连接，则是等边三角形；

①当点P在边上时；如图，
当点P是的中点时，为直角三角形，此时，
∴；
②当点P在边上时，如图，连接，

当点P是的中点时，为直角三角形，此时，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，由勾股定理得，
由勾股定理得：；
③当点P在边上时，连接，如图，

当点P是的中点时，此时，
∵，为的中位线，为的中位线，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由勾股定理得；
故答案为：3或或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解不等式组：；
（2）已知，如图，，，，，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）本题考查解不等式组，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
（2）本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据全等三角形证明的方法判定即可，解题关键是掌握全等三角形证明的方法．
（1）先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为原不等式组的解集．
（2）由得，再由，证得，再结合已知条件，可利用证得．
【详解】解：（1）原不等式组为，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
原不等式组的解集为．
（2），
，
又，
，
，
，
在和中，
，
．
14. 先化简，再求值：其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入计算．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键．
15. 如图在正方形格点中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）图1中，作平行四边形；
（2）在图2中，作边的垂直平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题；
（1）根据平行四边形的性质，将点往左平移1格，再向上平移2格得到点，则四边形是平行四边形；
（2）找到格点的中点，的中点，格点的中点，连接，则即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，平行四边形即为所求
【小问2详解】
解：如图所示，直线即为所求，
点是格点，是的中点，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∵是的中点
∴
∴是的垂直平分线，
即是的垂直平分线．
16. 江西省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为“”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门．
（1）首选科目选择物理的概率是__________；
（2）某同学在选择再选科目时，求选中化学和地理的概率．（请用画树状图或列表的方法表示）
【答案】（1）
（2）恰好选择化学和地理的概率为．
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由概念公式可得答案；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选择思想政治和地理的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门，
选择物理的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：记思想政治、地理、化学、生物分别为①，②，③，④，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和地理有：③②，②③，共2种，
恰好选择化学和地理的概率为．
17. 某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．

（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】（1）珍珍第一局的得分为6分；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解
【小问1详解】
解：由题意得(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
【小问2详解】
解：由题意得，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为．
（1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点距离地面的高度；
（2）某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）无法实施有效救援．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到；
（2）根据矩形性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到，进而得到该消防车能否可以实施有效救援．
【小问1详解】
解：如图，作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵的最大角度为，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴；
∴最高救援高度为，
∵该居民家距离地面的高度为，
∴,
故该消防车无法实施有效救援．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．
19. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点的纵坐标为，点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式和的值；
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题；
（1）根据题意先求得点，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后把代入到解析式，即可求得的值；
（2）根据函数的对称性求得的坐标，再根据待定系数法求得直线的解析式，从而求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可．
【小问1详解】
解：∵点的纵坐标为，点在正比例函数图象上，
则的横坐标为
∴点
把点代入，得
∴反比例函数的表达式为
∵把代入得：
小问2详解】
∵点与点关于原点对称，点
∴点
设与轴交于点，
直线的函数关系式为，
把点、分别代入得：
，
解得
∴直线的函数关系式为
∴点的坐标
∴
20. 如图，是的外接圆，，过点作交于点，连接，延长到点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用平行线的性质得到，进一步证明，得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接，，交于点，利用（1）的结论判定四边形为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得，设半径的长为，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：证明：连接，如图，

，
．
，
．
，
，
．
，
，
．
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
连接，，交于点，如图，

由（1）知：，
，
四边形为平行四边形，
，．
，
．
．
设半径的长为，则，
，
，
解得：．
半径的长为．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 夏季来临，溺水事故进入高发季，为了增强学生的安全意识，把校园防溺水教育落到实处，某中学组织开展了“珍爱生命，预防溺水”安全教育专题讲座，邀请预防溺水宣讲员来校宣讲，并在讲座活动之后请同学们完成了“防溺水安全教育知识问卷”，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生填写的问卷，进行整理和分析（问卷得分均为整数，满分为10分），相关数据统计、整理如下：
抽取的七年级学生的问卷得分：6，6，6，7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10
抽取的八年级学生的问卷得分条形统计图

抽取的七、八年级学生的问卷得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中，的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据分析，请从一个方面评价该校七、八年级中哪个年级抽取的学生填写的问卷成绩更好；
（3）该校七年级有500名学生填写了问卷，八年级有400名学生填写了问卷，请估计两个年级本次问卷成绩大于等于9分的学生总人数．
【答案】（1），，图见解析
（2）八年级抽取的学生填写的问卷成绩更好，具体分析见解析
（3）370人
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得a、b的值，再求出八年级D等级的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）从众数或中位数方面比较大小即可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
由条形统计图得：八年级成绩重新排列后第10，第11个数是9，9，
∴八年级学生的问卷得分的中位数，
七年级学生的问卷得分8出现的次数最多，
∴七年级学生的问卷得分的众数，
∴，，
八年级D等级的学生人数为：，
补全条形统计图如图所示；
【小问2详解】
八年级抽取的学生填写的问卷成绩更好，
因为七、八年级抽取的学生填写的问卷成绩的平均数均为7.9，但八年级抽取的学生填写的问卷成绩中位数9大于七年级抽取的学生填写的问卷成绩中位数8，
所以八年级抽取的学生填写的问卷成绩更好．（理由不唯一）
【小问3详解】
答：估计两个年级本次问卷成绩大于等于9的学生总人数为370人．
【点睛】本题考查条形统计图、频数分布表，中位数、众数、平均数，掌握平均数、中位数、众数的意义是解决问题的前提．
22. 在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张纸进行折纸．下面给出了“遥遥领先”小组利用半张纸（矩形的长:宽）折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理．

（1）折法一：如图1，将矩形c的顶点D与边上的任意一G重合对折，折痕．求证：是等腰三角形．
（2）在折法一的条件下，若E 是的中点，求：的值．
（3）折法二：如图2，先折出一个正方形，折痕为，再将点D折到上并让折痕过点F，折痕为，点D的对应点为点G．求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形与折叠，三角函数，正方形的性质：
（1）由折叠的性质得．根据平行线的性质得出，进而得出，即可得出答案；
（2）过点E作于点H．令，则，得出，得出，进而可得出答案；
（3）令，则，由折叠的性质得 ，由（1）可知 ，得出，，进而可得出答案．
【小问1详解】
证明：由折叠的性质得．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【小问2详解】
如图，过点E作于点H．
∵矩形的长∶宽，
∴令，则，
∴．
∵E是的中点，
，
【小问3详解】
证明：令，则，
∵四边形是正方形，
．
由折叠的性质得 ．
由（1）可知 ，
∵是折痕，点D，G是折叠中的对应点，
，
，，
∴．
六、（本大题共12分）
23. 如图①，小明和小亮分别站在平地上的两地先后竖直向上抛小球（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．两球到地面的距离和与小球A离开小明手掌后运动的时间之间的函数图像分别是图②中的抛物线．已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同．
（1）分别求出与x之间的函数表达式．
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？
【答案】（1），；（2）①，②当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①令y1＝y2，即可求解；②在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+．当1≤x≤时，两球到地面的距离之差y1﹣y2＝﹣8x+13，进而求解；当＜x≤1+时，同理可得；进而求解．
【详解】解：（1）设与x之间的函数表达式为．
∵顶点Q的坐标是，
．
因为点在抛物线上，
所以点的坐标满足，即．
解得．
．
∵两抛物线的开口方向和大小相同，
∴设与x之间的函数表达式为．
因为点和都在抛物线上，
所以点和的坐标满足，即
解得
．
（2）①令y1＝y2，则﹣5（x﹣1）2+7＝﹣5x2+18x﹣11，解得x＝，
故答案为：；
②令，则．
解这个方程，得（不合题意，舍去）．
在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，．
当时，两球到地面的距离之差．
，
随x的增大而减小．
∴当时，有最大值，最大值是5．
当时，两球到地面的距离之差．
，
随x的增大而增大．
∴当时，有最大值，最大值是．
．
∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉函数的性质是本题解题的关键．
投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分（分）
3
1
7分以下
7分
8分
9分
10分
年级
七年级
八年级
平均数
7.9
7.9
中位数
8
众数
9