福建省莆田市荔城区莆田中山中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】A，是最简二次根式，故该选项符合题意；
B，，故该选项不符合题意；
C，无意义，不是二次根式，故该选项不符合题意；
D，，故该选项不符合题意；
故选：A．
2. 三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 1，，B. 5，12，13
C. 2，3，D. 12，16，20
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理判断，如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【详解】因为12+（)2=3=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，所以A不符合题意；
因为52+122=169=132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，所以B不符合题意；
因为22+（）2=10≠32，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，所以C符合题意；
因为122+162=400=202，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，所以D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；利用二次根式的性质对D进行判断．
【详解】解：A、与不能合并，所以A选项不符合题意；
B、与不能合并，所以B选项不符合题意；
C、原式，所以C选项不符合题意；
D、原式，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则和二次根式的性质是解决问题的关键．
4. 如图，在中，．则的周长是（ ）
A. 32B. 16C. 21D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，，然后可得的周长．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴的周长是：，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分是解答本题的关键．
5. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理求两点距离，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，轴于点，
，
，，
，
点到原点的距离是，
故选：B．
6. 下列说法中正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，根据特殊四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
C. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项正确，符合题意；
D. 对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
7. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，则EF的长是（ ）

A. 7B. 8C. 7D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7，即可利用勾股定理得出EF的值．
【详解】∵AE=5，BE=12，即12和5为两条直角边长时，
小正方形的边长=12-5=7，
∴EF=；
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
8. 如图的数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴及勾股定理．根据实数与数轴的关系解答即可.
【详解】解：在直角三角形中，．
∴点P表示的数为．
故选：A．
9. 若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，由题意得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，
解得：，
故选：C．
10. 如图，菱形中，，，过点作，且，连接、，交于点，连接，则的长为( )
A B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理；先证明出四边形是矩形，进而勾股定理求得的长，证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
∴
∴
中，
∴
∴
∵菱形中，，
∴，
中，，
∴
故选：D．
二．填空题
11. 要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【解析】
【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一，．
【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
12. 如图，在中，，，，、分别是、的中点，连接，则的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，先勾股定理求得的长，进而由三角形中位线定理即可完成．
【详解】解：在中，，，，
、分别是的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
13. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝3，则AC的长是_____．

【答案】6
【解析】
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，则△BOC是等腰三角形；已知∠AOB＝120°，即可求出∠DBA＝30°，由AD＝3，可求出AC=BD=6．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形．
又∵∠AOB＝120°，
∴∠DBA＝∠CAB=30°．
在Rt△DAB中，AD＝3，∠DBA=30°，
∴BD=2AD=6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=6．
故答案为：6
【点睛】本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，在直角三角形中，利用特殊三角形的相关性质求解是解题的关键．
14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于D，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出的面积和用勾股定理求出的长，然后利用面积公式即可计算出的长．
【详解】解：由题意可得，
的面积是：，
由勾股定理得，
∵是高，
∴，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15. 如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 _____m．
【答案】2.5
【解析】
【分析】设绳索AD的长为x m，则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而
设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，，，点，分别在，上，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接．证明，推出，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接．

，，
由翻折可知，，，，
，
又，
的最小值就是线段的长，
在中，，，，
则，
∴，，
，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
三、解答题
17. 计算：|
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】解：
18. 已知，，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式因式分解、二次根式的混合运算等知识；
（1）根据的值，可以求得的值，然后将所求式子变形，再计算即可；
（2）根据的值，可以计算出的值，然后即可求得所求式子的值．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴．
19. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20. 如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=CD=2，AD=3，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
【答案】四边形ABCD的面积为1+．
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：在△ACB中，∠B=90°，AB=1，BC=2，
∴AC= ，
在△ACD中，，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=AB•BC+AC•CD
=×1×2+××2
=1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算公式的运用，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
21. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质．
（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论；
（2）由求出，进而，，在中，根据勾股定理构造方程，即可求得的长，根据面积公式即可解答．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
22. 如图，已知矩形．
（1）若点E为边上一点，且，请在图中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，已知，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本考查了作线段，矩形的性质，勾股定理；
（1）以点为圆心，长为半径画弧交于点即可；
（2）根据矩形的性质可得，由（1）可得，根据勾股定理可得结论．
【小问1详解】
解：如图，点即为求作的点；
理由如下，
根据作图可得，
∴，
四边形是矩形，
，
∴，
∴，
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
，，，，
，，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
．
23. 我们新定义这样一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是，和，因为，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若三边长分别是，和，试判断是否为常态三角形，并说明理由；
（2）如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长．
【答案】（1）是 （2）的长为
【解析】
【分析】本题考查了新定义题，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识；
（1）根据常态三角形的定义判定即可；
（2）先证明是直角三角形，再由是常态三角形，分和两种情况求出出的长，从而解决问题．
【小问1详解】
解：因为，
所以此三角形是常态三角形．
【小问2详解】
解：已知是常态三角形，分和两种情况进行讨论：
①当时，由，可得时，
解得：，
则，
在中，．
②当时，由，可得，
解得：，
则，
在中，，
，不符合题意，舍去．
故的长为．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且顶点位于原点，顶点、分别位于轴、轴上．若满足．
（1）求点的坐标；
（2）取的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点．求证：点为的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，且满足，连接．请你直接写出线段长度的最大值__________．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，算术平方根的非负性以及偶次幂的非负性求得的值，即可求解；
（2）证明，得到（），则，即可求解；
（3）当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解．
【小问1详解】
解：∵满足即．
∴，
∴，即
【小问2详解】
与关于所在直线对称，
，，
连接，
，
，，
设，，
在中，，即，
，
；
，，
，
同理，
，
，，
（），
，
点为的中点；
【小问3详解】
取的中点，连接，．
，
∴
，点是的中点，
∴，
∵，则，
当点、、三点共线时，的长度最大，
则的最大值．
故答案为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，轴对称的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25. 如图，已知正方形，点、分别在、上，与相交于点．

（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，平移图1中线段，使A点与重合，点在延长线上点F处，连接，取中点，连接，求证：；
（3）如图3，与相交于点O，当， 时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，即可求证；
（2）在上截取，如图，则是等腰直角三角形，证明，可得，，从而得到，再利用三角形中位线定理，即可得出结论；
（3）过点D作交于点N，作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，根据题意可得，，再证明，可得，再证明，可得，设，则，在中，根据勾股定理可得x的值，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：在上截取，如图，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴；
即；
【小问3详解】
解：如图3，过点D作交于点N，作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
即，
设，则，
在中，，
解得：，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．