2024年中考数学复习探究性试题---整式

这是一份2024年中考数学复习探究性试题---整式，共36页。试卷主要包含了有一系列等式，阅读下列材料，【阅读材料】，类比同类项的概念，我们规定等内容，欢迎下载使用。
1．有一系列等式：
1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2
…
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果
（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．
2．对任意一个三位正整数m，如果m的百位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“神奇数”．例如：m＝311，因为1×2+1＝3，所以311是“神奇数”．例如：m＝514，因为1×2+4＝6≠5，所以514不是“神奇数”．
（1）判断917和642是不是“神奇数”，并说明理由；
（2）若m是“神奇数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“神奇数”m．
3．阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ ，DF＝ ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
4．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
5．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是 （写成多项式相乘的形式）
（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 ．
（4）利用所得公式计算：2（1+12）（1+122）（1+124）（1+128）+1214．
6．【阅读材料】
我们知道，完全平方公式有：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；②a2+b2＝（a﹣b）2+2ab；③a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2]；
④ab=14[(a+b)2-(a-b)2]．
【典例示范】
例如：已知x+y＝3，x﹣y＝1，求x2+y2的值．
解：x2+y2=12[(x+y)2+(x-y)2]=12×(32+12)=5．
【解决问题】
（1）已知x+y＝5，x﹣y＝3，则xy＝ ．
（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．
7．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；
②请直接写出下列问题答案：
若2m+3n＝5，mn＝1，则6n﹣4m ；
若（7﹣m）（5﹣m）＝9，则（7﹣m）2+（5﹣m）2＝ ．
（3）如图3，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）
8．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项称为“准同类项”．例如：a2b3与3a3b2是“准同类项”．
（1）下列单项式：①3a3b4，②﹣5a3b3，③2ab4，其中与a3b4是“准同类项”的是 （填写序号）．
（2）已知A，B，C均为关于a，b的多项式，A＝a3b4+3a2b3+（n﹣2）ab2，B＝﹣2ab2+3abn﹣a3b4，C＝A+B．若C的任意两项都是“准同类项”，求正整数n的值．
（3）已知D，E均为关于a，b的单项式，D＝3abm，E＝2anb3，其中m、n是正整数，m＝|x﹣1|+|x﹣2|+k，n＝k（|x﹣1|﹣|x﹣2|），x和k都是有理数，且k＞0．若D与E是“准同类项”，则x的最大值是 ，最小值是 ．
9．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：（m+n）2＝m2+2mn+n2．
（1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且a＜b＜c）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式；
（2）如图2，在（1）的条件下，若a+b＝7，c＝5，求阴影部分的面积；
（3）如图3，以（1）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形ABCD的面积．
10．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
11．甲三角形的周长为3a2﹣6b+8，乙三角形的第一条边长为a2﹣2b，第二条边长为a2﹣3b，第三条边比第二条边短a2﹣2b﹣5．
（1）求乙三角形第三条边的长；
（2）甲、乙两三角形的周长哪个大？试说明理由；
（3）a、b都为正整数，甲、乙两三角形的周长在数轴上表示的点分别为A、B，若A、B两点之间恰好有18个“整数点”（点表示的数为整数），求a的值．
12．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求（m+n）（m﹣n）的值；
（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n和﹣3x＝mn+m都是“恰解方程”，求代数式4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）的值．
13．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．
14．阅读与理解：已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为：2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2⋅3x﹣2＝6x﹣2．
根据以上信息，回答问题：
（1）若P（x）=12x2+6x，则它的导出多项式Q（x）＝ ；
（2）设Q（x）是P（x）的导出多项式．
①若P（x）＝﹣4x2+3（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解；
②已知P（x）＝（m﹣3）x2﹣4x+5是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数m的值．
15．对于数轴上的点A，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的r对称数”，记作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．例如：原点O表示0，原点O的1对称数是D（0，1）＝{﹣1，+1}．
（1）若点A表示﹣2，r＝3，请直接写出点A的3对称数．
（2）若D（A，r）＝{﹣1，9}，求点A表示的数和r的值．
（3）若点A表示﹣3，D（A，r）＝{﹣5，y}，求y的值．
（4）已知D（A，3）＝{x，y}，D（B，2）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时同向出发，且点A的速度是点B速度的2倍，是否存在点A，使数轴上表示y的点与表示n的点之间的距离是数轴上表示x的点与表示m的点之间的距离的2倍，存在，请求出点A表示的数，不存在，请说明理由．
2024年中考数学复习探究性试题汇编之整式
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．有一系列等式：
1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2
…
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果 892
（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．
【考点】完全平方公式．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据规律列式进行计算即可得解；
（2）观察规律不难发现，四个连续自然数的乘积与1的和等于第一个数的平方，加上前第一个数的3倍再加上1然后平方．
【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892；
故答案为：892；
（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2，
理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1，
等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1，
左边＝右边．
【点评】此题考查了完全平方公式，仔细观察题目信息，得到变化规律是解题的关键，利用多项式的乘法运算法则进行计算时较为复杂，要仔细运算．
2．对任意一个三位正整数m，如果m的百位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“神奇数”．例如：m＝311，因为1×2+1＝3，所以311是“神奇数”．例如：m＝514，因为1×2+4＝6≠5，所以514不是“神奇数”．
（1）判断917和642是不是“神奇数”，并说明理由；
（2）若m是“神奇数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“神奇数”m．
【考点】整式的加减．
【专题】创新题型；运算能力．
【答案】（1）917是“神奇数”，
642不是“神奇数”．
（2）614．
【分析】（1）根据定义进行判断，满足条件的是神奇数
（2）用方程思想，设出个位数，列出式子，求解，
【解答】解：（1）917：∵1×2+7＝9，所以917是“神奇数”
642：∵4×2+2≠6，所以642不是“神奇数”．
（2）设m的百位数字，十位数字，个位数字为b，c，d，
则m＝100b+10c+d．
∵m是“神奇数”，
∴b＝2c+d．
把2c+d代入得：
m+13＝100（2c+d）+10c+d+13＝210c+101d+13
＝11×19c+c+11×9d+2d+11×1+2
＝11×（19c+9d+1）+（c+2d+2）．
∵m与13的和能被11整除．
∴11×（19c+9d+1）+（c+2d+2）能被11整除．
∴c+2d+2能被11整除．
由此可知，当c+2d+2＝11时，c＝1，则d＝4，b＝6，则m＝614．
当c+2d+2＝22时，c＝2，d＝9，b＝13，不符合题意，舍去．
∴“神奇数“m为614．
【点评】本题考查了整式的加减，是新定义的题目，解题关键在于理解定义．
3．阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝ x﹣1 ，DF＝ x﹣3 ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式；整式的加减；多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF；
②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
4．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽．
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积．
（3）通过观察图形知：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及4个小长方形的面积．
【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，
又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，
∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25
（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．
【点评】此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握．关键是通过观察图形找出各图形之间的关系．
5．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成平方差的形式）
（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式相乘的形式）
（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
（4）利用所得公式计算：2（1+12）（1+122）（1+124）（1+128）+1214．
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】计算题；整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图1确定出阴影部分面积即可；
（2）根据图2确定出长方形面积即可；
（3）根据两图形面积相等得到乘法公式；
（4）利用得出的平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2；
（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；
（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）原式＝4（1-12）（1+12）（1+122）（1+124）（1+128）+1214
＝4（1-122））（1+122）（1+124）（1+128）+1214
＝4（1-124）（1+124）（1+128）+1214
＝4（1-128）（1+128）+1214
＝4（1-1216）+1214
＝4-1214+1214
＝4．
故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．【阅读材料】
我们知道，完全平方公式有：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；②a2+b2＝（a﹣b）2+2ab；③a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2]；
④ab=14[(a+b)2-(a-b)2]．
【典例示范】
例如：已知x+y＝3，x﹣y＝1，求x2+y2的值．
解：x2+y2=12[(x+y)2+(x-y)2]=12×(32+12)=5．
【解决问题】
（1）已知x+y＝5，x﹣y＝3，则xy＝ 4 ．
（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．
【考点】完全平方公式；解二元一次方程；解二元一次方程组．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）1．
【分析】（1）利用完全平方公式列等式，再计算即可；
（2）利用完全平方公式列等式，再整体代入计算即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝5，x﹣y＝3，
∴（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴x2+2xy+y2＝25，x2﹣2xy+y2＝9，
∴两等式相减得：4xy＝16，
∴xy＝4，
故答案为：4；
（2）∵x+y＝7，x2+y2＝25，
∴（x+y）2＝49，
∴x2+2xy+y2＝49，
∴2xy＝49﹣25＝24，
∴（x﹣y）2
＝x2﹣2xy+y2
＝25﹣24
＝1．
【点评】本题考查的是完全平方公式和解二元一次方程和方程组，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
7．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；
图1表示： （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
图2表示： （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；
②请直接写出下列问题答案：
若2m+3n＝5，mn＝1，则6n﹣4m ＝±2 ；
若（7﹣m）（5﹣m）＝9，则（7﹣m）2+（5﹣m）2＝ 22 ．
（3）如图3，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）
【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）①3；②±2，22；
（3）1856．
【分析】（1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为（a+b）正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
（2）①将xy根据完全平方公式用含有x+y，x2+y2的式子表示出来，然后代入求值即可；
②利用（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，代入求值即可；利用[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（7﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（7﹣m）（5﹣m）代入求值即可；
（3）根据矩形的性质得ED＝AD﹣AE，DG＝DC﹣CG，所以ED＝2x﹣44，DG＝x﹣30，得MT＝MO＝（2x﹣44）+2（x﹣30），然后令a＝2x﹣44，b＝2（x﹣30），可得ab＝400，a﹣b＝16，利用（1）的结论进行计算即可．
【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，
S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）①∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴xy=12[（x+y）2﹣（x2+y2）]，
∵x+y＝4，x2+y2＝10，
∴xy=12（16﹣10）
＝3；
②由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，
∵2m+3n＝5，mn＝1，
∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，
∴2m﹣3n＝±1，
∴6n﹣4m＝±2，
故答案为：＝±2；
由图1可得[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（7﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（7﹣m）（5﹣m），
∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（7﹣m）（5﹣m），
∵（7﹣m）（5﹣m）＝9，
∴原式＝4+2×9＝22，
故答案为：22；
（3）∵ED＝AD﹣AE，DG＝DC﹣CG，
∴ED＝2x﹣44，DG＝x﹣30，
∴MT＝MO＝（2x﹣44）+2（x﹣30），
∵长方形EFGD的面积是200，
∴（2x﹣44）（x﹣30）＝200，
∴2（x﹣30）（2x﹣44）＝400，
令a＝2x﹣44，b＝2（x﹣30），
∴ab＝400，a﹣b＝16，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝256，
∴a2+b2＝256+2ab＝1056，
∴四边形MORT的面积＝MT2＝（a+b）2＝a2+b2+2ab＝1056+800＝1856．
【点评】本题考查了整式，多项式乘多项式，完全平方公式，正方形的面积，解决本题的关键是掌握完全平方公式．
8．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项称为“准同类项”．例如：a2b3与3a3b2是“准同类项”．
（1）下列单项式：①3a3b4，②﹣5a3b3，③2ab4，其中与a3b4是“准同类项”的是 ① （填写序号）．
（2）已知A，B，C均为关于a，b的多项式，A＝a3b4+3a2b3+（n﹣2）ab2，B＝﹣2ab2+3abn﹣a3b4，C＝A+B．若C的任意两项都是“准同类项”，求正整数n的值．
（3）已知D，E均为关于a，b的单项式，D＝3abm，E＝2anb3，其中m、n是正整数，m＝|x﹣1|+|x﹣2|+k，n＝k（|x﹣1|﹣|x﹣2|），x和k都是有理数，且k＞0．若D与E是“准同类项”，则x的最大值是 3 ，最小值是 32 ．
【考点】整式的加减；绝对值；同类项．
【专题】分类讨论；整式；运算能力．
【答案】（1）①
（2）n＝2或3；
（3）3，32．
【分析】（1）根据准同类项的定义进行验证即可；
（2）根据C＝A+B进行计算，再根据定义计算即可；
（3）根据D与E是“准同类项”，得到m＝2或3或4，n＝1或2，然后再分三种情况讨论：x≥2时或x≤1时或1＜x＜2时，再根据准同类项的定义计算即可．
【解答】解：（1）根据“准同类项”得①，
故答案为：①．
（2）∵A＝a3b4+3a2b3+（n﹣2）ab2，
B＝﹣2ab2+3abn﹣a3b4，
C＝A+B＝（n﹣4）ab2+3a2b3+3abn，
∴n＝2或3；
（3）∵D与E是“准同类项”，
又D＝3abm，E＝2anb3，
∴m＝2或3或4，n＝1或2，
又m＝|x﹣1|+|x﹣2|+k，n＝k（x﹣1|﹣|x﹣2|），
①当x≥2时，m＝2x﹣3+k，n＝k，
∴x=m2-n2+32，
要使x最大，m＝4，n＝1，
∴x最大＝3．
要使x最小，m＝2，n＝2，
∴x的最小值为32．
②当x≤1时，n＝﹣k，
∵n为正整数，
∴k＝﹣n是负数，
又k＞0，
∴这种情况舍去．
③当1＜x＜2时，
m＝1+k，n＝k（2x﹣3），
∴x=n2m-2+32，
要使x最大，m＝2，n＝2，
∴x的最大值为52．
要使x最小，m＝4，n＝1，
∴x的最小值为53．
综上所述，则x的最大值是3，最小值是32．
故答案为：3，32．
【点评】本题考查了整式的加减，同类项的概念、绝对值，有一定难度，关键是理解题意．
9．有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：（m+n）2＝m2+2mn+n2．
（1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且a＜b＜c）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式；
（2）如图2，在（1）的条件下，若a+b＝7，c＝5，求阴影部分的面积；
（3）如图3，以（1）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形ABCD的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景；全等图形．
【专题】数形结合；面积法；应用意识．
【答案】（1）a2+b2＝c2．证明见解析；
（2）阴影部分的面积＝1m2；
（3）四边形ABCD的面积＝0.5m2．
【分析】（1）从整体看，大正方形的边长为c，那么面积表示为：c2；从构成看，大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成，可表示为：12ab×4+（b﹣a）2，让两个式子相等，整理即可；
（2）根据a+b＝7，c＝5，以及（1）中得到式子可得a2+b2和ab的值，阴影部分的面积为：（b﹣a）2，展开后进行整理，然后计算即可；
（3）易得图3中两个长方形的边长均为c﹣a和c﹣b，那么它们的面积相等．根据边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+2个小长方形的面积﹣边长为c的正方形的面积＝阴影部分的面积，把相关数值代入计算即可得到四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）a2+b2＝c2．
∵图2从整体看，大正方形的边长为c，．
∴面积表示为：c2；
∵从构成看，大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成，
∴面积可表示为：12ab×4+（b﹣a）2，
∴12ab×4+（b﹣a）2＝c2，
∴a2+b2＝c2；
（2）∵c＝5，
∴c2＝25，
∴a2+b2＝25．
∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝49．
∴a2+b2+2ab＝49．
∴25+2ab＝49．
∴2ab＝24．
∵阴影部分的面积＝（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab，
∴阴影部分的面积＝25﹣24＝1（m2）；
（3）∵图3中两个长方形的边长均为c﹣a和c﹣b，
∴两个长方形的面积相等．
∴a2+b2+2×四边形ABCD的面积﹣c2＝S阴影，
∵a2+b2＝c2，阴影部分的面积为1，
∴2×四边形ABCD的面积＝1．
∴四边形ABCD的面积＝0.5（m2）．
【点评】本题考查完全平方公式的应用．根据图形中最大面积的不同表示方法得到相关等式是解决本题的关键．
10．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【考点】多项式乘多项式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；
（3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；
（3）如图所示：
故答案为2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．甲三角形的周长为3a2﹣6b+8，乙三角形的第一条边长为a2﹣2b，第二条边长为a2﹣3b，第三条边比第二条边短a2﹣2b﹣5．
（1）求乙三角形第三条边的长；
（2）甲、乙两三角形的周长哪个大？试说明理由；
（3）a、b都为正整数，甲、乙两三角形的周长在数轴上表示的点分别为A、B，若A、B两点之间恰好有18个“整数点”（点表示的数为整数），求a的值．
【考点】整式的加减；数轴．
【专题】整式；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）﹣b+5，（2）甲三角形的周长较大，（3）4．
【分析】（1）根据第二条边长为a2﹣3b，第三条边比第二条边短a2﹣2b﹣5．可求出第三条边，
（2）求出乙三角形的周长，再利用作差法，和非负数的意义做出判断即可，
（3）由A、B两点之间恰好有18个“整数点”，可知A、B两点所表示的数的差等于19，进而求出a的正整数值．
【解答】解：（1）由题意得，（a2﹣3b）﹣（a2﹣2b﹣5）＝﹣b+5，
答：乙三角形第三条边的长为﹣b+5，
（2）乙三角形的周长为：（a2﹣2b）+（a2﹣3b）+（﹣b+5）＝2a2﹣6b+5，
甲、乙三角形的周长的差为：（3a2﹣6b+8）﹣（2a2﹣6b+5）＝a2+3＞0，
∴甲三角形的周长较大，
答：甲三角形的周长较大．
（3）由题意得，a2+3＝19，
∵a为正整数，
∴a＝4，
答：a的值为4．
【点评】考查整式的加减，不等式的应用即解法，利用作差法和非负数的意义，是比较两个代数式的值的大小常用方法．
12．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 92 ；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求（m+n）（m﹣n）的值；
（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n和﹣3x＝mn+m都是“恰解方程”，求代数式4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；一元一次方程的解．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）92
（2）779或﹣3
（3）2434
【分析】（1）利用定义得出一元一次方程，进行求解．
（2）解方程﹣2x＝mn+n，得出x=-12(mn+n)，因为是恰解方程，得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，求出m，n的值．
（3）根据“恰解方程”定义得出mn+n和mn+m的值，进行联立，代入求解．
【解答】解：（1）3x+k＝0，
3x＝﹣k，
x=-k3，
∵关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴-k3=3-k，
﹣k＝9﹣3k，
﹣k+3k＝9，
2k＝9，
k=92，
故答案为：92；
（2）把x＝n代入关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n，
∴﹣2n＝mn+n，
∴mn＝﹣3n，
∴m＝﹣3，
∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，即方程为﹣2x﹣mn﹣n＝0，
∴x＝﹣2﹣（﹣mn﹣n）＝﹣2+mn+n，
∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n解为x＝n（n≠0），
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴﹣3n＝2，
解得：n=-23，
∴（m+n）（m﹣n）．
=(-3-23)×[-3-(-23)]
=-113×(-3+23)
=-113×(-73)
=779；
当m＝﹣1，n＝﹣2时，
∴（m+n）（m﹣n）＝﹣3．
（3）解3x＝mn+n得：x=mn+n3，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴mn+n3=3+mn+n，
∴mn+n=-92，
解﹣3x＝mn+m得：x=-mn+m3，
∵方程﹣3x＝mn+m是“恰解方程”，
∴x＝﹣3+mn+m．
∴-mn+m3=-3+mn+m，
∴mn+m=94，
∴mn+n=-92mn+m=94解得m﹣n=274，
4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）．
＝4×(-92)2-6×94-274
＝4×814-6×94-274
=2434．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题关键在于了解“恰解方程”的定义．
13．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝23代入进行计算即可；
（3）根据S3=12（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，即可得到阴影部分的面积S3．
【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝23，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31；
（3）由图可得，S3＝a2+b2-12b（a+b）-12a2=12（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，
∴S3=12×29=292．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
14．阅读与理解：已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为：2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2⋅3x﹣2＝6x﹣2．
根据以上信息，回答问题：
（1）若P（x）=12x2+6x，则它的导出多项式Q（x）＝ x+6 ；
（2）设Q（x）是P（x）的导出多项式．
①若P（x）＝﹣4x2+3（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解；
②已知P（x）＝（m﹣3）x2﹣4x+5是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数m的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；一元一次方程的解．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）x+6；
（2）①x=34；②2．
【分析】（1）根据导出多项式的定义求解即可；
（2）①根据导出多项式的定义可得Q（x）＝﹣8x+6，再解方程即可；②根据导出多项式的定义可得2（m﹣3）x﹣4＝﹣x，然后根据Q（x）＝﹣x的解为整数，求解正整数m即可．
【解答】解：（1）若P(x)=12x2+6x，则它的导出多项式Q(x)=2×12x+6=x+6；
故答案为：x+6．
（2）①∵P（x）＝﹣4x2+3（2x﹣1）＝﹣4x2+6x﹣3，
∴Q（x）＝﹣8x+6，
∵Q（x）＝0，
∴﹣8x+6＝0，
解得：x=34；
②∵P（x）＝（m﹣3）x2﹣4x+5，
∴Q（x）＝2（m﹣3）x﹣4，
∵Q（x）＝﹣x，
∴2（m﹣3）x﹣4＝﹣x，
∴（2m﹣5）x＝4，
∵Q（x）＝﹣x有整数解，
∴2m﹣5≠0，
∴x=42m-5为整数，
∵m为正整数，
∴2m﹣5的值为﹣1或1，即m的值为2或3．
又因为P（x）＝（m﹣3）x2﹣4x+5是关于x的二次多项式，
所以m≠3，m的值是2．
【点评】本题以新定义：导出多项式为载体，主要考查了一元一次方程的求解，正确理解新定义、熟练掌握一元一次方程的解法是关键．
15．对于数轴上的点A，给出如下定义：点A在数轴上移动，沿负方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是x，沿正方向移动r个单位长度（r是正数）后所在位置点表示的数是y，x与y这两个数叫做“点A的r对称数”，记作D（A，r）＝{x，y}，其中x＜y．例如：原点O表示0，原点O的1对称数是D（0，1）＝{﹣1，+1}．
（1）若点A表示﹣2，r＝3，请直接写出点A的3对称数．
（2）若D（A，r）＝{﹣1，9}，求点A表示的数和r的值．
（3）若点A表示﹣3，D（A，r）＝{﹣5，y}，求y的值．
（4）已知D（A，3）＝{x，y}，D（B，2）＝{m，n}，若点A、点B从原点同时同向出发，且点A的速度是点B速度的2倍，是否存在点A，使数轴上表示y的点与表示n的点之间的距离是数轴上表示x的点与表示m的点之间的距离的2倍，存在，请求出点A表示的数，不存在，请说明理由．
【考点】整式的加减；数轴．
【专题】创新题型；模型思想．
【答案】（1）D（﹣2，3）＝{﹣5，1}；
（2）4，5；
（3）﹣1；
（4）符合要求的A点有两个，A＝6或23．
【分析】（1）要求直接写出A的3对称数，因为r＝3，A＝﹣2，所以x＝﹣2﹣3＝﹣5，y＝﹣2+3＝1，因此得到答案：D（﹣2，3）＝{﹣5，1}．
（2）对于给出x、y，让求A，r，此类题注意，不管是往负方向还是正方向移动，均移动r个单位，所以x，y的数值是关于A对称的，根据（x+y）/2．即可求出A的数值，进而根据A和x或者A和y的距离求出r．
（3）A表示﹣3，由题目得知x＝﹣5，根据对称性及A和x的距离求出r．
（4）第四问是本题的压轴题目，要求在充分理解前三问的基础上进行解答．
根据题目已知，点A的速度是点B速度的2倍，我们可以假设A点的位置是2s，因为点A的速度是点B速度的2倍，所以B点的位置是s．再根据题目要求算出x，y，m，n的数值，将算得的数值代入|y﹣n|＝2|x﹣m|中，化简并去掉绝对值后进行计算求得结果．
【解答】解：（1）D（﹣2，3）＝{﹣5，1}．
（2）x，y的数值是关于A对称，所以A的数值为（x+y）/2＝（﹣1+9）/2＝4．
根据A和y的距离求出r＝9﹣4＝5．
（3）A表示﹣3，由题目得知x＝﹣5，根据（2）的分析：x，y的数值是关于A对称，根据A和x的距离求出r，所以r＝﹣3﹣（﹣5）＝2，所以y＝﹣3+2＝﹣1．
（4）假设A点的位置是2s，因为点A的速度是点B速度的2倍，所以B点的位置是s．
此时，根据A点的位置2s，可以算出x＝2s﹣3，y＝2s+3．
根据B点的位置s，可以算出m＝s﹣2，n＝s+2．
代入|y﹣n|＝2|x﹣m|中，得到|2s+3﹣（s+2）|＝2|2s﹣3﹣（s﹣2）|
化简得到：|s+1|＝2|s﹣1|．
①当s＞1时，s﹣1＞0，
|s+1|＝2|s﹣1|化简为（s+1）＝2（s﹣1），解得s＝3，经检验s＝3＞1，符合要求．
②当s＜﹣1时，s﹣1＜0，
|s+1|＝2|s﹣1|化简为﹣（s+1）＝2（1﹣s），解得s=13=3，经检验s＝3，不符合要求．
③当﹣1≤s≤1时，s+1＝2（1﹣s），s=13，经检验s=13，符合要求．
因此，符合要求的A点有两个，即A＝2s＝6或23．
【点评】此题为创新型题目．重点在题目意思的理解，结合分析可以考虑边读题边画图的解题方法．在掌握了题目含义的基础上，进行解答．注意“x，y的数值是关于A对称”的运用