2024年中考数学复习探究性试题汇编---二次函数

这是一份2024年中考数学复习探究性试题汇编---二次函数，共72页。试卷主要包含了定义，阅读材料，完成任务等内容，欢迎下载使用。
一．解答题（共15小题）
1．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+2ax+3a2（a＞0）与x轴交于点B、点A，与y轴正半轴交于点C，AB＝4，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，在第一象限内的抛物线上有一点D，连接CD、BD，若△BCD的面积为S，点D的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，作DE∥AC，交BC于点E，交y轴于点J，若DE=5EC．连接DC并延长交x轴于点F，第一象限内抛物线上有一动点P，连接PF，作CQ⊥PF交x轴于点Q，若∠PQC＝2∠PFQ，求点P的横坐标？
2．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接MA、MC，求MA+MC的最小值及此时M点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点F（2，1），P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标．
3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）当点（m﹣1，1）在此抛物线上，且抛物线在x＞m时，y随x的增大而减小，则m的值是 ；
（3）点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为4﹣m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
①当点A在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值；
②设点D（m，m），点E（m，1﹣m），将线段DE绕点D逆时针旋转90°后得到线段DF，连结EF，当△DEF和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围．
4．定义：若存在实数对坐标（x，y）同时满足一次函数y＝px+q和反比例函数y=kx，则二次函数y＝px2+qx﹣k为一次函数和反比例函数的“生成”函数．
（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y＝﹣x+3和反比例函数y=2x是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标．
（2）已知：整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且一次函数y＝（1+n）x+2m+2与反比例函数y=2015x存在“生成”函数y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2015，求m的值．
（3）若同时存在两组实数对坐标（x1，y1）和（x2，y2）使一次函数y＝ax+2b和反比例函数y=-cx为“生成”函数，其中，实数a＞b＞c，a+b+c＝0，设L＝|x1﹣x2|，求L的取值范围．（注：一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式为x1，2=-b±b2-4ac2a）
5．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x（1≤x≤48）天的售价与日销售量的相关信息如表：
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠n元利润（n＜9）给“希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
6．若一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx同时经过点P（x，y）则称二次函数y＝mx2+nx﹣k为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
（1）判断y＝2x﹣1与y=3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且一次函数y＝（1+n）x+2m+2与反比例函数y=2024x存在“共享函数”y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2024，求m的值．
（3）若一次函数y＝x+m和反比例函数y=m2+13x在自变量x的值满足的m≤x≤m+6的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，若BM=2，求点P的坐标；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=-3x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为3，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第四象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒233个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
9．如图，已知直线y＝0.5x+0.5与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线交y轴于点C(0，-32)，交x轴正半轴于点D，抛物线的顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；
（3）点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点Q与点M对应），求Q点坐标．
10．阅读材料，完成任务．
11．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若两个点关于点P（1，0）对称，则称这两个点互为“友谊点”．
示例：点Q（﹣2，2）关于点P（1，0）的“友谊点”是（4，﹣2）
新知识：对直线y1＝k1x+b1（k1≠0）和y2＝k2x+b2（k2≠0），若k1•k2＝﹣1，则直线y1与y2互相垂直；若直线y1与y2互相垂直，则k1•k2＝﹣1
根据以上约定，完成下列各题．
（1）点A（2，3）关于点P（1，0）的“友谊点”是 ；点B(-1，-12)关于点P（1，0）的“友谊点”是 ；点C（m，n）关于点P（1，0）的“友谊点”是 （用含m，n的式子表示）．
（2）（2）关于x的函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）上存在不同的两点互为“友谊点”，求常数k，b的关系．
（3）记抛物线y＝﹣x2+6x﹣7的顶点为点M，将抛物线y关于点P（1，0）对称后得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为点N，过点P的直线y1＝k1x+b1（k1≠0，k1，b1是常数）交抛物线y于A，B（点A在点B的右侧）两点，交新抛物线y′于C，D两点（点C在点D的右侧），当四边形MAND是菱形时，求AB的长．
12．如图1，已知抛物线y=-14x2-12x+6与x轴交于A，B两点，A点在B点的左侧，与y轴交于点C．连接AC、BC，点D是AO的中点，连接CD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）已知P是直线AC上方抛物线上的一个动点，连接PC、PD，求△PCD面积的最大值及此时P点的坐标；
（3）如图2，将过点D的直线l绕点D旋转，旋转过程中，直线l分别交y轴和抛物线于点M、N，当∠BDN＝∠DCO的时候，请写出符合条件的点N的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程．
13．已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OC＝OB．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点F在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接AF交OC于点H，设点F的横坐标为t，线段OH的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，D是抛物线的顶点，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转得到线段DE，且点E的横坐标为9﹣2t，过点E作x轴的垂线，垂足为点G，点K在EG上，连接KB并延长交y轴于点P，连接KF并延长交y轴于点Q，当∠BDE＝2∠EBK，PQ＝KQ时，求HF的长．
14．已知：二次函数y＝x2+bx+c的顶点P在直线y＝﹣4x上，并且图象经过点A（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）D是线段BP上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，E点的坐标为（a，0），△DCE的面积为S．
①求△DCE的面积S的最大值；
②在BP上是否存在点D，使△DCE为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
15．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A、B两点，其中B点的坐标为（6，0），与y轴交于点C（0，4），对称轴为直线x＝2．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA交BC于点E，连接BP，CP，AC．若△PBC和△PAC的面积分别为S1，S2，请求出S1+S2的最大值及取得最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y沿射线BC平移13个单位得新抛物线y′，Q为新抛物线y′上一点，作直线BQ，当点C到直线BQ的距离是点A到直线BQ的距离的3倍时，直接写出点Q的横坐标．
2024年中考数学复习探究性试题汇编之二次函数
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+2ax+3a2（a＞0）与x轴交于点B、点A，与y轴正半轴交于点C，AB＝4，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，在第一象限内的抛物线上有一点D，连接CD、BD，若△BCD的面积为S，点D的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，作DE∥AC，交BC于点E，交y轴于点J，若DE=5EC．连接DC并延长交x轴于点F，第一象限内抛物线上有一动点P，连接PF，作CQ⊥PF交x轴于点Q，若∠PQC＝2∠PFQ，求点P的横坐标？
【考点】二次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）S=-32t2+92；
（3）P点的横坐标为：1+132．
【分析】（1）求出A、B两点的坐标，进而表示出AB，进一步得出结果；
（2）连接OD，表示出三角形COD、三角形BDO和三角形BOC的面积，进而得出结果；
（3）作AW⊥BC于W，在y轴上截取OV＝OC，连接QV，设CQ交FP于R，可证得△DCE∽△CWAQ，从而∠CDE＝∠AWC＝90°，进而得出OF＝OV，可推出∠PQC＝2∠PFQ＝∠QCO+∠QVO，从而P、Q、V共线，可证得∠PFV＝∠PVF，从而PF＝PV，从而PO是FV的垂直平分线，进而得出直线OP的解析式为：y＝x，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由﹣x2+2ax+3a2＝0得．
（x﹣3a）（x+3）＝0，
∴x＝3a或x＝﹣a，
∵a＞0，
∴3a﹣（﹣a）＝4，
∴a＝1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，
连接OD，
∵D（t，﹣t2+2t+3），
∴S△COD=12OC•Dx=12×3t=32t，S△BOD=12OB⋅Dy=12×3⋅(-t2+2t+3)=32(-t2+2t+3)，
∵S△BOC=12OB⋅OC=92，
∴S＝S△COD+S△BOD﹣S△BOC=-32t2+92；
（3）如图2，
作AW⊥BC于W，在y轴上截取OV＝OC，连接QV，设CQ交FP于R，
∴QV＝QC，
∴∠QCO＝∠QVO，
∵OC＝OB＝3，
∴∠BCO＝ABC＝45°，
∴AW＝AB•sin∠ABC＝4cs45°＝22，
∵AC=OA2+OC2=12+32=10，
∴CW=AC2-AW2=2，
∴ACAW=5，
∵DE=5EC，
∴DEEC=5，
∴ACAW=DECE，
∵AC∥DE，
∴∠ACE＝∠CED，
∴△DCE∽△CWAQ，
∴∠CDE＝∠AWC＝90°，
∴∠FCO＝45°，
∴OF＝OC＝3，
∴OF＝OV，
∴∠OFV＝∠OVF＝45°，
∵∠CRF＝∠COF＝90°，∠CJR＝∠FJO，
∴∠QVO＝∠QCO＝∠PFQ，
∵∠PQC＝2∠PFQ＝∠QCO+∠QVO，
∴P、Q、V共线，
∵∠PFV＝∠PFQ+∠OFV，∠PVF＝∠PVO+∠OVF，
∴∠PFV＝∠PVF，
∴PF＝PV，
∴PO是FV的垂直平分线，
∵直线FV的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴直线OP的解析式为：y＝x，
由x＝﹣x2+2x+3得，
x=1±132，
∵P在第一象限，
∴x=1+132，
即P点的横坐标为：1+132．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造二倍角．
2．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接MA、MC，求MA+MC的最小值及此时M点的坐标；
（3）如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点F（2，1），P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）MA+MC的最小值为32，此时M点的坐标为（1，2）；
（3）所有可能的点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），Q（1，4）．
【分析】（1）根据待定系数法即可求抛物线的表达式；
（2）连接BC交直线l于点M，则MA+MC的最小值即为BC，求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，根据y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，可得点M的横坐标为1，然后把x＝1代入y＝﹣x+3，进而求出M的坐标；
（3）分EF是对角线与边两种情况讨论画图即可解答．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0），
代入y＝ax2+bx+3得：a-b+3=09a+3b+3=0，
解得a=-1b=2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，连接BC交直线l于点M，则MA+MC的最小值即为BC，
∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
∵B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴BC＝32，
∴MA+MC的最小值为32；
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入得，
3k+b=0b=3，
∴k=-1b=3，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴M（1，2），
∴MA+MC的最小值为32，此时M点的坐标为（1，2）；
（3）过点F作FG⊥OB于G，如图2中，
∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴OE＝1，
∵B（3，0），C（0，3）
∴OC＝OB＝3，
又∵∠COB＝90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵点F的坐标为（2，1），
∴EG＝FG＝1，
∵BE＝OB﹣OE＝2，
∴FG＝GB＝EG＝1，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴∠EFB＝90°，
当EF为边时，
∵四边形EFPQ为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，2），
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形；
当EF为对角线时，如图3中，
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
同理求得：点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，﹣2）；
综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．
∴所有可能的点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），Q（1，4）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质，（3）注意要分EF是对角线与边两种情况讨论．
3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）当点（m﹣1，1）在此抛物线上，且抛物线在x＞m时，y随x的增大而减小，则m的值是 2+3 ；
（3）点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为4﹣m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
①当点A在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值；
②设点D（m，m），点E（m，1﹣m），将线段DE绕点D逆时针旋转90°后得到线段DF，连结EF，当△DEF和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）2+3；
（3）①3-6；
②1-132≤m≤3-172或5-52≤m≤119时，△DEF与图象G有公共点．
【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值；
（2）将点（m﹣1，1）代入抛物线解析式求出m的值，再由x＞m时，y随x的增大而减小，确定具体的m值；
（3）①首先推导出A、B的坐标为A（m，﹣m2+2m+3），B（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），当﹣1＜m≤1时，4﹣[﹣（﹣m2+6m﹣5）]＝6，求出m的值，当1＜m＜2时，﹣m2+2m+3﹣[﹣m2+6m﹣5]＝6，求出m的值，再结合题意确定符合条件的m值即可；
②当F点在DE左侧时，当A点与D点重合时，﹣m2+2m+3＝m，解得m=1+132或m=1-132；当A点与E点重合时，﹣m2+2m+3＝1﹣m，解得m=3+172或m=3-172；结合图象可知1-132≤m≤3-172时，△DEF与图象G有公共点；当F点在DE右侧时，可求出F（3m﹣1，m），当F点在抛物线上时，m＝﹣（3m﹣1）2+2（3m﹣1）+3，解得m＝0或m=119；当B点在DF上时，m＝﹣（4﹣m）2+2（4﹣m）+3，解得m=5-52或m=5+52，当5-52≤m≤119，△DEF与图象G有公共点．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴-b2×(-1)=1，
∴b＝2，
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
∴c＝3，
∴此抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点（m﹣1，1）在此抛物线上，
∴﹣（m﹣1）2+2（m﹣1）+3＝1，
解得m＝2+3或m＝2-3，
∵x＞m时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，
∴m＝2+3，
故答案为：2+3；
（3）①抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0，得：0＝﹣（x﹣1）2+4，
解得：x＝﹣1或x＝3，
故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），对称轴为直线x＝1；顶点坐标为（1，4），
由题意得：A（m，﹣m2+2m+3），B（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），
当﹣1＜m≤1时，如图1，
4﹣（﹣m2+6m﹣5）＝6，
解得：m＝3-6或m＝3+6（不合题意，舍去）；
当1＜m＜2时，如图2，
﹣m2+2m+3﹣（﹣m2+6m﹣5）＝6，
解得：m=12（不合题意，舍去），
综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为3-6；
②∵A点的横坐标为m，
∴A点坐标为（m，﹣m2+2m+3），
当F点在DE左侧时，如图1，
当A点与D点重合时，﹣m2+2m+3＝m，
解得m=1+132或m=1-132；
当A点与E点重合时，﹣m2+2m+3＝1﹣m，
解得m=3+172或m=3-172；
∴1-132≤m≤3-172时，△DEF与图象G有公共点；
当F点在DE右侧时，如图2，
∵D（m，m），E（m，1﹣m），
∴DE＝2m﹣1，
∵DE＝DF，
∴F（3m﹣1，m），
当F点在抛物线上时，m＝﹣（3m﹣1）2+2（3m﹣1）+3，
解得m＝0或m=119；
当B点在DF上时，m＝﹣（4﹣m）2+2（4﹣m）+3，
解得m=5-52或m=5+52；
∴当119≤m≤5-52时，△DEF与图象G有公共点；
综上所述：1-132≤m≤3-172或119≤m≤5-52时，△DEF与图象G有公共点．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
4．定义：若存在实数对坐标（x，y）同时满足一次函数y＝px+q和反比例函数y=kx，则二次函数y＝px2+qx﹣k为一次函数和反比例函数的“生成”函数．
（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y＝﹣x+3和反比例函数y=2x是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标．
（2）已知：整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且一次函数y＝（1+n）x+2m+2与反比例函数y=2015x存在“生成”函数y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2015，求m的值．
（3）若同时存在两组实数对坐标（x1，y1）和（x2，y2）使一次函数y＝ax+2b和反比例函数y=-cx为“生成”函数，其中，实数a＞b＞c，a+b+c＝0，设L＝|x1﹣x2|，求L的取值范围．（注：一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式为x1，2=-b±b2-4ac2a）
【考点】二次函数综合题．
【专题】阅读型；新定义；推理能力．
【答案】（1）存在，“生成”函数为y＝﹣x2+3x﹣2，实数对坐标为（1，2），（2，1）；
（2）m＝2；
（3）3＜L＜23．
【分析】（1）只需将y＝﹣x+3与y=2x组成方程组，并求出该方程组的解即可解决问题；
（2）根据题意得1+n=m+t2m+2=10m-t，解得m=n+39t=8n+69．然后根据t＜n＜8m求出n的取值范围，进而求出m的取值范围，就可求出整数m的值；
（3）由a＞b＞c，a+b+c＝0可得a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c，﹣a﹣c＞c，即可得到（2b）2﹣4ac＞0，﹣2＜ca＜-12，由题可得x1+x2=-2ba，x1•x2=ca，从而得到L==(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1⋅x2=2(ca+12)2+34，利用二次函数的增减性并结合﹣2＜ca＜-12即可得到L的取值范围．
【解答】解：（1）联立y=-x+3y=2x，
解得x=1y=2或x=2y=1．
则一次函数y＝﹣x+3和反比例函数y=2x存在“生成”函数，
它们的“生成”函数为y＝﹣x2+3x﹣2，实数对坐标为（1，2），（2，1）；
（2）根据题意得：
1+n=m+t2m+2=10m-t，
解得：m=n+39t=8n+69．
∵t＜n＜8m，
∴8n+69＜nn＜8n+249，
解得6＜n＜24，
∴9＜n+3＜27，
∴1＜n+39＜3，
∴1＜m＜3．
∵m是整数，
∴m＝2；
（3）∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c，﹣a﹣c＞c，
∴（2b）2﹣4ac＞0，﹣2＜ca＜-12，
∴方程ax2+2bx+c＝0有两个不相等的实根．
由题意可知：x1、x2是方程ax2+2bx+c＝0的两个不等实根，
∴x1+x2=-2ba，x1•x2=ca，
∴L==(x1-x2)2
=(x1+x2)2-4x1⋅x2
=(-2ba)2-4×ca
=2(-a-c)2-aca2
=2(ca+12)2+34，
∵﹣2＜ca＜-12，
∴3＜L＜23．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查解方程组、解不等式组、根与系数的关系、完全平方公式等知识，有一定的难度，运用配方法及二次函数的增减性是解决第（3）小题的关键．
5．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x（1≤x≤48）天的售价与日销售量的相关信息如表：
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠n元利润（n＜9）给“希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）y=-2x2+100x+1200(1≤x＜30)-80x+4800(30≤x≤48)；
（2）在第25天时，利润最大为2450元；
（3）5＜n＜9．
【分析】（1）利用“利润＝每千克的利润×销售量”列出函数关系式；
（2）可配方求出1≤x＜30的函数最大值和30≤x≤48的函数最大值，比较得出结果；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为：w元，求出函数关系式，进而求得结果．
【解答】解：（1）当1≤x＜30时，
y＝（x+30﹣20）•（﹣2x+120）＝﹣2x2+100x+1200，
当30≤x≤48时，
y＝（60﹣20）•（﹣2x+120）＝﹣80x+4800，
∴y=-2x2+100x+1200(1≤x＜30)-80x+4800(30≤x≤48)；
（2）当1≤x＜30时，
y＝﹣2（x﹣25）2+2450，
∴当x＝25时，ymax＝2450，
当30≤x≤48时，
∵k＝﹣80＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝30时，ymax＝﹣80×30+4800＝2400，
∴在第25天时，利润最大为2450元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为：w元，
w＝﹣2x2+100x+1200﹣（﹣2x+120）•n＝﹣2x2+（100+2n）x+（1200﹣120n），
∵对称轴x=-100+2n2×(-2)=50+n2时，w随x的增大而减小，x为整数，
∴50+n2＞27.5，
解得n＞5，
∴5＜n＜9．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，列出函数表达式．
6．若一次函数y＝mx+n与反比例函数y=kx同时经过点P（x，y）则称二次函数y＝mx2+nx﹣k为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
（1）判断y＝2x﹣1与y=3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；
（2）已知：整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且一次函数y＝（1+n）x+2m+2与反比例函数y=2024x存在“共享函数”y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2024，求m的值．
（3）若一次函数y＝x+m和反比例函数y=m2+13x在自变量x的值满足的m≤x≤m+6的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝2x﹣1与y=3x是否存在“共享函数”；（32，2）或（﹣1，﹣3）；
（2）m＝2；
（3）共享函数”的解析式为y＝x2+（﹣9-61）x﹣（155+1861）或y＝x2+4x﹣29．
【分析】（1）联立y＝2x﹣1与y=3x并整理得：2x2﹣x﹣3＝0，即可求解；
（2）由题意得：1+n=m+t2m+2=10m-t，解得：m=n+39t=8n+69，而t＜n＜8m，故6＜n＜24，则9＜n+3＜27，故1＜m＜3，m是整数，故m＝2；
（3）①当m+6≤-12m时，即m≤﹣4，x＝m+6，函数取得最小值，即（m+6）2+m（m+6）﹣m2﹣13＝3，即可求解；②当m＜-12m＜m+6，即﹣4＜m＜0，函数在x=-12m处取得最小值，即（-12m）2-12m2﹣m2﹣13＝3，即可求解；
③当m≥0时，函数在x＝m处，取得最小值，即可求解．
【解答】解：（1）y＝2x﹣1与y=3x存在“共享函数”，理由如下：
联立y＝2x﹣1与y=3x并整理得：
2x2﹣x﹣3＝0，
解得：x=32或﹣1，
故点P的坐标为：（32，2）或（﹣1，﹣3）；
（2）一次函数y＝（1+n）x+2m+2与反比例函数y=2024x存在“共享函数”y＝（m+t）x2+（10m﹣t）x﹣2024，依据“共享函数”的定义得：
1+n=m+t2m+2=10m-t，
解得：m=n+39t=8n+69，
∵t＜n＜8m，
∴8n+69＜nn＜8n+249，
解得：6＜n＜24；
∴9＜n+3＜27，
∴1＜m＜3，
∵m是整数，
∴m＝2；
（3）由y＝x+m和反比例函数y=m2+13x得：“共享函数”的解析式为y＝x2+mx﹣（m2+13），
函数的对称轴为：x=-12m；
①当m+6≤-12m时，即m≤﹣4，
x＝m+6，函数取得最小值，即（m+6）2+m（m+6）﹣m2﹣13＝3，
解得m＝﹣9-61或﹣9+61（舍去）；
②当m＜-12m＜m+6，即﹣4＜m＜0，
函数在x=-12m处取得最小值，即（-12m）2-12m2﹣m2﹣13＝3，无解；
③当m≥0时，
函数在x＝m处，取得最小值，即m2+m2﹣m2﹣13＝3，
解得：m＝±4（舍去﹣4），
综上，m＝﹣9-61或4，
故“共享函数”的解析式为y＝x2+mx﹣（m2+13）＝x2+（﹣9-61）x﹣（155+1861）或y＝x2+4x﹣29．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，若BM=2，求点P的坐标；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=12x2﹣2x；
（2）①点P的坐标为（3+7，2+7）或（1+3，-3）；
②线段DN的长度存在最大值或最小值；线段DN的长度最大值和最小值分别为5+0.5和5-0.5．
【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）①分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可；
②证明BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=(2-1)2+(0+2)2=5，而BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将点A的坐标代入上式并解得：a=12，
故抛物线的表达式为：y=12（x﹣2）2﹣2=12x2﹣2x①；
（2）①如图1，连接EM，
点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），C（3.0），
∴BM＝EM＝1，
∵BM=2，
∴△BEM为等腰直角三角形，
当点P在x轴上方时，此时点M的坐标为（2，1），
故设直线BP的表达式为：y＝ax+b，将点B（1，0），M（2，1）的坐标代入得：
0=a+b1=2a+b，
解得：a=1b=-1，
故直线BP的表达式为：y＝x﹣1②，
联立①②并解得：x＝3+7或x＝3-7（不合题意，舍去），
∴y＝2+7，
此时，点P的坐标为：（3+7，2+7）；
当点P在x轴下方时，M（2，﹣1），
故设直线BP的表达式为：y＝mx+n，将点B（1，0），M（2，﹣1）的坐标代入得：
0=a+b-1=2a+b，
解得：a=-1b=1，
故直线BP的表达式为：y＝﹣x+1③，
联立①③并解得：x＝1+3或x＝1-3（不合题意，舍去），
∴y=-3，
此时，点P的坐标为（1+3，-3）；
综上，点P的坐标为（3+7，2+7）或（1+3，-3）；
②线段DN的长度存在最大值或最小值，理由如下：
连接BN、BD、EM，如图2，
则BN是△OEM的中位线，故BN=12EM=12，而BD=(2-1)2+(0+2)2=5，
在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，
即5-0.5≤ND≤5+0.5，
故线段DN的长度最小值和最大值分别为5-0.5和5+0.5．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，解答本题的关键是熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的运用．
8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=-3x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为3，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第四象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒233个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=-32x2-3x+332；
（2）(2，-153)和(4，-37)；
（3）(1，-43)．
【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值；
（2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①当△BPA∽△ABC时；②当△PBA∽△ABC时；
（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t＝BE+EF时，t最小即可．
【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），
∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B的坐标为（1，0），
∵直线y=-3x+b经过点A，
∴b=-33，
∴y=-3x-33，
当x＝3时，y=-63，
则点D的坐标为(3，-63)，
∵点D在抛物线上，
∴a(3+3)(3-1)=-63，
解得，a=-32，
则抛物线的解析式为：
y=-32(x+3)(x-1)=-32x2-3x+332；
（2）作PH⊥x轴于H，如图1：
把x＝0代入y＝a（x+3）（x﹣1）得：y＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
∴OC＝﹣3a，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴OA＝3，OB＝1，
设点P的坐标为（m，n），
当△APB∽△ABC时，∠CAB＝∠PAB，
∴tan∠CAB＝tan∠PAB，
∴OCOA=PHAH，
∴-3a3=-nm+3，
整理得：n＝a（m+3），
∴n=a(m+3)n=a(m+3)(m-1)，
解得：m1＝2，m2＝﹣3（不合题意，舍去），
当m＝2时，n＝5a，
∵△APB∽△ABC，
∴ABAP=ACAB，
即AB2＝AC•PA，
∴42=9a2+9⋅25a2+25，
解得：a1=1515 （不合题意，舍去），a2=-1515，
则n=5a=-153，
∴点P的坐标为(2，-153)；
当△ABC∽△PAB时，∠CBA＝∠PAB，
∴tan∠CBA＝tan∠PAB，
即OCOB=PHAH，
∴-3a1=-nm+3，
即n＝3a（m+3），
∴n=3a(m+3)n=a(m+3)(m-1)，
解得：m1＝4，m2＝﹣3（不合题意，舍去），
当m＝4时，n＝21a，
∵△ABC∽△PAB，
∴ABPA=BCAB，即AB2＝BC⋅PA，
∴42=1+9a2⋅72+(-21a)2，
解得：a1=77（不合题意，舍去），a2=-77，
则点P的坐标为(4，-37)；
综上所述，符合条件的点P的坐标为(2，-153)和(4，-37)．
（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，如图2：
∵D(3，-63)，A（﹣3，0），
tan∠DAN=DNAN=633-(-3)=3，
∴∠DAN＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∴DE=EFsin∠EDF=233EF，
∴Q的运动时间t=BE1+DE233=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，
∵AD的解析式为：y=-3x-33，
∴把x＝1代入得：y=-43，
即(1，-43)．
【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．
9．如图，已知直线y＝0.5x+0.5与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线交y轴于点C(0，-32)，交x轴正半轴于点D，抛物线的顶点为点M．
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；
（3）点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD（点Q与点M对应），求Q点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y=12x2-x-32，M（1，﹣2）；
（2）当x=32时，S最大，最大值为12516，此时P(32，-158)；
（3）（7，0），（﹣5，0），（1，0）．
【分析】（1）将点B（4，m）代入y＝0.5x+0.5得m＝2.5，得到B（4，2.5），再利用待定系数法进行求解即可；
（2）作PE∥y轴交AB于点E，交x轴于点F，作BG⊥x轴于点G，连接PA、PB，设点P(x，12x2-x-32)，则E(x，12x+12)，PE=12x+12-12x2+x+32，表示出S△PAB=S△PAE+S△PBE=-54(x-32)2+12516，由二次函数的性质即可得出答案；
（3）设N(a，12a2-a-32)，Q（b，0），分两种情况：当点Q在MN左侧时，作N1H1⊥x轴于点H1，MK⊥x轴于点K，当点Q在MN右侧时，作N2H2⊥x轴于点H2，利用三角形全等的判定与性质，进行求解即可得出答案．
【解答】解：（1）将点B（4，m）代入y＝0.5x+0.5得：0.5×4+0.5＝m，
解得：m＝2.5，
∴B（4，2.5），
将点A（﹣1，0），B（4，2.5），C(0，-32)代入y＝ax2+bx+c得：a-b+c=016a+4b+c=2.5c=-32，
解得：a=12b=-1c=-32，
∴抛物线的解析式为：y=12x2-x-32，
∵y=12x2-x-32=12(x-1)2-2，
∴点M（1，﹣2）；
（2）如图1，作PE∥y轴交AB于点E，交x轴于点F，作BG⊥x轴于点G，连接PA、PB，
，
设点P(x，12x2-x-32)，则E(x，12x+12)，
∴PE=12x+12-12x2+x+32，
∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE
=12PE⋅AF+12PE⋅FG
=12PE⋅(4+1)
=12×(12x+12-12x2+x+32)×5
=-54(x-32)2+12516，
∴当x=32时，S最大=12516，此时点P(32，-158)
（3）解：由（1）可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），
∴D（3，0），
∵M（1，﹣2），
∴AD＝4，AM=(-1-1)2+(-2)2=22，DM=(1-3)2+(-2)2=22，
∴AM＝DM，且AD2＝AM2+DM2，
∴△ADM为等腰直角三角形，∠AMD＝90°，
∵△QMN∽△MAD，
∴∠MQN＝90°，QM＝QN，
设N(a，12a2-a-32)，Q（b，0），
如图2，当点Q在MN左侧时，作N1H1⊥x轴于点H1，MK⊥x轴于点K，
，
由题意可得：N1Q1＝Q1M，∠N1Q1M＝90°，
∵∠N1Q1H1+∠KQ1M＝90°，∠Q1N1H1+∠N1Q1H1＝90°，
∴∠Q1N1H1＝∠KQ1M，
∴△N1Q1H1≌△Q1MK（AAS），
∴N1H1＝Q1K，Q1H1＝MK，
∴12a2-a-32=1-ba-b=2，
解得：a1=-3b1=-5，a2=3b2=1，
∴Q1（﹣5，0），Q2（1，0）；
当点Q在MN右侧时，作N2H2⊥x轴于点H2，
同理可得N2H2＝KQ2，MK＝H2Q2，
∴12a2-a-32=b-1b-a=2，
解得：a3=-3b3=7，a4=-1b4=1，
∴Q3（7，0），
综上所述，点Q的坐标为（7，0），（﹣5，0），（1，0）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的应用—三角形面积问题、相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
10．阅读材料，完成任务．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】任务一：见解析；
任务二：坐标系见解析，y1=-18x(x+8)，y2=116x(x-16)；
任务三：13﹣317m．
【分析】任务一：根据Δ＝0列式可得am＝bn；过M，N分别作x轴的垂线，交x轴于点P，Q，连结OM，ON，证明tan∠POM＝tan∠QON，得∠POM＝∠QON，可得M，O，N三点共线．
任务二：以G为原点，直线EF为x轴建立直角坐标系，两段抛物线解析式可设为y1＝ax（x﹣2m）（a＜0，m＜0）（a＜0，m＜0）与y2＝bx（x﹣2n）（b＞0，n＞0），分别求出F（16，0），N（8，﹣4），E（﹣8，0），M（﹣4，2），运用待定系数法求出函数关系式即可；
任务三：设MO1＝t，证明△MFO1∽△AFE，可求出FO1＝6t，EO2，GO2，代入MO1GO1=NO2GO2，求得t=17-1，GO2=617-18，得到⊙O2的半径，从而可求出⊙O2上的点到BC边最小长度．
【解答】解：任务一：抛物线y1＝ax（x﹣2m）（a＜0，m＜0）与抛物线y2＝bx（x﹣2n）（b＞0，n＞0）的图象只有一个公共点O，即方程联立ax（x﹣2m）＝bx（x﹣2n）有两个相同的解，则称这两条抛物线紧密衔接于点O．据此得：（a﹣b）x2+（2bn﹣2am）x＝0有两个相同的解，
∴Δ＝（2bn﹣2am）2﹣4×（a﹣b）×0＝0，
∴2bn﹣2am＝0，即am＝bn．
过M，N分别作x轴的垂线，交x轴于点P，Q，连结OM，ON，如图1，
∵M，N分别是这两段抛物线的顶点，
∴N（n，﹣bn2），M（m，﹣am2），
∴MP＝﹣am2，OP＝﹣m，OQ＝n，NQ＝bn2，
∴tan∠POM=MPOP=-am2-m=am，tan∠QON=ONOQ=bn2n=bn，
∵am＝bn，
∴tan∠QON＝tan∠POM，
∴∠QON＝∠POM，
∴M，O，N三点共线．
任务二：O1，O2分别是EG，FG的中点，以O1为圆心，O1M为半径，和以O2为圆心，O2F的一半长度为半径设计两个圆形花坛．当⊙O2与BC相切于N点时，请建立合适的直角坐标系：
以G为原点，直线EF为x轴建立直角坐标系，如图3，
∴两段抛物线解析式可设为y1＝ax（x﹣2m）（a＜0，m＜0）（a＜0，m＜0）与y2＝bx（x﹣2n）（b＞0，n＞0），
连结MN，由任务一可知MN经过G点，且NO2⊥x轴，MO1⊥x轴，
∴MO1∥MO2，
∴△MO1G∽△NO2G，
∴MO1GO1=NO2GO2，
∵⊙O2与BC相切，
∴NO2=12AB=12×8＝4．
∵GF＝4NO2＝16，
∴N（8，﹣4），F（16，0），
把F（16，0），N（8，﹣4）代入y2＝bx（x﹣2n）得，
16b(16-2n)=08b(8-2n)=-4
解得b=116n=8，
∴y2=116x(x-16)；
∵EG＝EF﹣GF＝24﹣16＝8，
∴E（﹣8，0），GO1=12EG=4，
∵MO1GO1=NO2GO2，
∴MO1=NO2GO2⋅GO1=48×4＝2，
∴M（﹣4，2），
将E（﹣8，0），M（﹣4，2）代入y1＝ax（x﹣2m）得：
-8a(-8-2m)-4a(-4-2m)=2，
解得，a=-18m=4，
∴y1=-18x（x+8）．
任务三：
设MO1＝t，
∵A，M，F三点共线，且NO2⊥x轴，MO1⊥x轴，
∴MO1∥MO2，
∴△MFO1∽△AFE，
∴MO1FO1=AEEF，
∴FO1=MO1⋅EFAE=6t，
∴EO1＝GO1＝24﹣6t，
∴GO2=EF-EG2=6t﹣12．
∵MO1GO1=NO2GO2，
∴t24-6t=46t-12，
解得t=17-1或t=-17-1（舍去），
∴GO2＝6t﹣12＝617-18，
∴⊙O2的半径为12GO2=317-9，
∴⊙O2上的点到BC边最小长度为=4-(317-9)=13﹣317（m）．
【点评】本题主要考查运用待定系数法求二次函数关系式，二次函数的应用，三角函数的意义以及相似三角形的判定与性质，正确画出图形进行解答是解决此题的关键．
11．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若两个点关于点P（1，0）对称，则称这两个点互为“友谊点”．
示例：点Q（﹣2，2）关于点P（1，0）的“友谊点”是（4，﹣2）
新知识：对直线y1＝k1x+b1（k1≠0）和y2＝k2x+b2（k2≠0），若k1•k2＝﹣1，则直线y1与y2互相垂直；若直线y1与y2互相垂直，则k1•k2＝﹣1
根据以上约定，完成下列各题．
（1）点A（2，3）关于点P（1，0）的“友谊点”是 （0，﹣3） ；点B(-1，-12)关于点P（1，0）的“友谊点”是 (3，12) ；点C（m，n）关于点P（1，0）的“友谊点”是 （2﹣m，﹣n） （用含m，n的式子表示）．
（2）（2）关于x的函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）上存在不同的两点互为“友谊点”，求常数k，b的关系．
（3）记抛物线y＝﹣x2+6x﹣7的顶点为点M，将抛物线y关于点P（1，0）对称后得到新抛物线y′，新抛物线的顶点为点N，过点P的直线y1＝k1x+b1（k1≠0，k1，b1是常数）交抛物线y于A，B（点A在点B的右侧）两点，交新抛物线y′于C，D两点（点C在点D的右侧），当四边形MAND是菱形时，求AB的长．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（0，﹣3），(3，12)，（2﹣m，﹣n）；
（2）k＝﹣b；
（3）34．
【分析】（1）根据新定义和中点公式即可求解；
（2）设一次函数图象上其中一点为（x，kx+b），则它的友谊点为：（2﹣x，﹣kx﹣b），代入解析式即可求解；
（3）把二次函数y＝﹣x2+6x﹣7化为顶点式求出点M，再根据新定义求出M关于点P（1，0）对称点为点 N，用待定系数法求出过直线MN的解析式，再利用新知识中的若直线 y1与y2互相垂直，则 k1⋅k2＝﹣1，即可求出过点P的直线 y1＝k1x+b1中的k1，再联立直线y1＝﹣x+1与抛物线 y＝﹣x2+6x﹣7即可求解
【解答】解：（1）设A（2，3）关于点 P（1，0）的“友谊点”是：（x，y），
∴2+x2=13+y2=0，
解得：x=0y=-3，
则A（2，3）关于点 P（1，0）的“友谊点”是：（0，﹣3），
设点 B(-1，-12)关于点 P（1，0）的“友谊点”是（x，y），
∴-1+x2=1-12+y2=0，
解得：x=3y=12，
则点 B(-1，-12)关于点 P（1，0）的“友谊点”是(3，12)，
点C（m，n）关于点 P（1，0）的“友谊点”是：（x，y），
x=2×1-my=0-n，
解得x=2-my=-n，
则点C（m，n）关于点 P（1，0）的“友谊点”是：（2﹣m，﹣n），
故答案为：（0，﹣3），(3，12)，（2﹣m，﹣n）；
（2）设y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）上存在不同的两点互为“友谊点”的其中一点为（x，kx+b），
则它的友谊点为：（2﹣x，﹣kx﹣b），
∵（2﹣x，﹣kx﹣b）在y＝kx+b图象上，
故代入解析式得：k（2﹣x）+b＝﹣kx﹣b，
解得：k＝﹣b；
（3）如图所示：
∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，
∴M（3，2），
∵抛物线 y 关于点P（1，0）对称后得到新抛物线 y′，新抛物线的顶点为点 N，
∴M（3，2）关于点P（1，0）对称点为点 N，
∴N（﹣1，﹣2），
∴新抛物线 y′的解析式为：y′＝（x+1）2﹣2，
设过点M、N的直线解析式为yMN＝ax+b，
将M（3，2），N（﹣1，﹣2）代入得：2=3a+b-2=-a+b，
解得a=1b=-1，
则过点M、N的直线解析式为yMN＝x﹣1，
∵四边形 MAND是菱形，
∴对角线MN与对角线AD互相垂直，
∴k1＝﹣1，
∴过点P的直线 y1＝k1x+b1即是y1＝﹣x+b1，
将P（1，0）代入y1＝﹣x+b1得：0＝﹣1+b1，
解得：b1＝1，
∴过点P的直线为：y1＝﹣x+1，
过点P的直线y1＝﹣x+1与抛物线 y＝﹣x2+6x﹣7交于点A，B，
联立得：y1=-x+1y=-x2+6x-7，
解得x=7+172y=-5-172或x=7-172y=-5+172，
∵点A在点B 的右侧，
∴A(7-172，-5+172)，B(7+172，-5-172)，
∴AB=(7+172-7-172)2+(-5-172--5+172)2=34．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，抛物线的解析式，一次函数的解析式，抛物线与坐标轴的顶点以及新定义的问题，菱形的性质，对称的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是理解“友谊点”这个新定义，和熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
12．如图1，已知抛物线y=-14x2-12x+6与x轴交于A，B两点，A点在B点的左侧，与y轴交于点C．连接AC、BC，点D是AO的中点，连接CD．
（1）求直线CD的解析式；
（2）已知P是直线AC上方抛物线上的一个动点，连接PC、PD，求△PCD面积的最大值及此时P点的坐标；
（3）如图2，将过点D的直线l绕点D旋转，旋转过程中，直线l分别交y轴和抛物线于点M、N，当∠BDN＝∠DCO的时候，请写出符合条件的点N的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝2x+6；
（2）758，P(-5，94)；
（3）符合条件的点N的横坐标为﹣2+210或6；过程见解析过程．
【分析】（1）先根据题意，得C（0，6），当y＝0时，则0=-14x2-12x+6，算出A（﹣6，0），B（4，0），根据中点，得D（﹣3，0），再运用待定系数法求解析式，即可作答．
（2）连接PO，运用割补法进行列式，即△PCD面积＝S△PCO+S△PDO﹣S△CDO，把数值代入，化简得△PCD面积=-38(t+5)2+758，结合二次函数的性质，即可作答．
（3）在抛物线上取点H，使得连接DH，使得∠HDB＝∠BDN，根据∠BDN＝∠DCO，运用正切的定义进行列式得2=n-14n2-12n+9，化简得n1=-2+210或n2＝﹣2﹣210＜0（舍去）；同理算出tan∠DCO=DOCO=2＝tan∠BDH=|yH|xH+3=-h-14h2-12h+9，即h1＝6，即可作答．
【解答】解：（1）∵已知抛物线y=-14x2-12x+6与x轴交于A，B两点，A点在B点的左侧，与y轴交于点C．
∴C（0，6），当y＝0时，则0=-14x2-12x+6，
解得x1＝4，x2＝﹣6，
∴A（﹣6，0），B（4，0），
∵点D是AO的中点，
∴D（﹣3，0）
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
把D（﹣3，0）和C（0，6）代入y＝kx+b，代入得：
0=-3k+b6=0+b，
解得k=2b=6，
∴直线CD的解析式为y＝2x+6；
（2）连接PO，如图1：
依题意，设点P(t，-14t2-12t+6)，
△PCD面积＝S△PCO+S△PDO﹣S△CDO
=12×6×|t|+12×(-14t2-12t+6)×3-12×6×3
=-38t2-154t
=-38(t2+10t+25-25)
=-38(t+5)2+758，
∵-38＜0，
当t＝﹣5时，y有最大值，且为758；
则t＝﹣5时，-14t2-12t+6=-14×25+12×5+6=94，
∴P(-5，94)；
（3）符合条件的点N的横坐标为﹣2+210或6；过程如下：
如图3：在抛物线上取点H，使得连接DH，使得∠HDB＝∠BDN，
设N(n，-14n2-12n+6)，
∵∠BDN＝∠DCO，且D（﹣3，0），B（4，0），C（0，6），
∴tan∠DCO=DOCO=2＝tan∠BDN=yNxN+3=n-14n2-12n+9，
即n=-12n2-n+18，
解得n1=-2+210或n2=-2-210＜0（不合题意，舍去）；
设点H(h，-14h2-12h+6)，
∵∠HDB＝∠BDN，∠BDN＝∠DCO，
∴∠HDB＝∠DCO，
∴tan∠DCO=DOCO=2＝tan∠BDH=|yH|xH+3=-h-14h2-12h+9，
即-h=-12h2-h+18，
解得h1＝6或h2＝﹣6＜0（舍去）；
综上：符合条件的点N的横坐标为﹣2+210或6．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求一次函数的解析式，面积最大值，三角函数等内容，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
13．已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OC＝OB．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点F在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接AF交OC于点H，设点F的横坐标为t，线段OH的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，D是抛物线的顶点，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转得到线段DE，且点E的横坐标为9﹣2t，过点E作x轴的垂线，垂足为点G，点K在EG上，连接KB并延长交y轴于点P，连接KF并延长交y轴于点Q，当∠BDE＝2∠EBK，PQ＝KQ时，求HF的长．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）a＝﹣1；
（2）d＝3﹣t；
（3）4516．
【分析】（1）令y＝0，求出点A（﹣1，0），B（3，0），得到OC＝OB＝3，进而有C（0，3），把点C坐标代入抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）中，即可求解；
（2）过点F作FN⊥AB于点N，设F（t，﹣t2+2t+3），根据tan∠FAB=OHOA=FNAN得到d1=-t2+2t+3t+1，即可解答；
（3）如图，过点D作DS⊥OB于点S，过点F作FR⊥OB于点N，交KP于点R，过点K作KL⊥FR于点L，交y轴于点T，过点H作HM⊥FR于点M．设∠EBK＝α，则∠BDE＝2α．证得∠OBP＝∠SDB，得到tan∠OBP=tan∠SDB=12，即OPOB=BSDS=12，从而得到P(0，-32)．设PT＝x，QT＝y，在Rt△QTK中，由勾股定理得QT2+KT2＝KQ2，代入求得y=32x，tan∠KQT=KTQT=2xy=43，由FL∥QO得到tan∠KFL=tan∠KQP=43，即tan∠KFL=LKLF=9-3t-t2+3t=43，因此t=94，F(94，3916)．待定系数法求得直线AF的解析式为y=34x+34，从而得到H(0，34)，HF=HM2+MF2=4516．
【解答】解：（1）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，则a（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴OB＝3，
∴OC＝OB＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）过点C（0，3），
∴3＝a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3a，
解得a＝﹣1．
（2）如图2，过点F作FN⊥AB于点N，
由（1）得抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
∴F（t，﹣t2+2t+3），
∴FN＝﹣t2+2t+3，ON＝t，
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴AN＝OA+ON＝t+1，
∵tan∠FAB=OHOA=FNAN，
∴d1=-t2+2t+3t+1
∴d＝3﹣t．
（3）如图3，过点D作DS⊥OB于点S，过点F作FR⊥OB于点N，交KP于点R，过点K作KL⊥FR于点L，交y轴于点T，过点H作HM⊥FR于点M．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∴DS＝4，BS＝2，
∵∠BDE＝2∠EBK，
∴设∠EBK＝α，则∠BDE＝2α．
∵BD＝DE，
∴∠DBE=∠DEB=12(180°-∠BDE)=90°-α，
∴∠DBK＝∠DBE+∠EBK＝90°，
∴∠DBS+∠OBP＝90°，
∵DS⊥OB，
∴∠SDB+∠DBS＝90°，
∴∠OBP＝∠SDB，
∴tan∠OBP=tan∠SDB=12．
∴OPOB=BSDS=12，
∴OP=32，
∴P(0，-32)．
设PT＝x，QT＝y，
∵tan∠BPO＝tan∠DBS＝2，
∴KT＝2PT＝2x，
∴PQ＝PT+QT＝x+y＝KQ，
在Rt△QTK中，由勾股定理得QT2+KT2＝KQ2，
∴y2+（2x）2＝（x+y）2，
解得y=32x，
∴tan∠KQT=KTQT=2xy=43，
∵FL∥QO，
∴∠KFL＝∠KQP，
∴tan∠KFL=tan∠KQP=43，
∵点E的横坐标为9﹣2t，
∴OG＝9﹣2t，
∴BG＝OG﹣OB＝6﹣2t，
∵∠KBG＝∠OBP，
∴tan∠KBG＝tan∠OBP，
∴GK=12BG=3-t，
∴LN＝3﹣t，
∴LK＝NG＝OG﹣ON＝9﹣3t，LF＝FN﹣LN＝﹣t2+3t．
∴tan∠KFL=LKLF=9-3t-t2+3t=43．
∴t1=94，t2＝3（舍去），
∴F(94，3916)，
设直线AF的解析式为y＝kx+b，
将点A(-1，0)、F(94，3916)代入得：
0=-k+b3916=94k+b，
解得k=34b=34，
∴直线AF的解析式为y=34x+34．
令x＝0，则y=34，
∴H(0，34)，
∴HM=94，MF=2716，
∴HF=HM2+MF2=4516．
【点评】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，函数图象与坐标轴的交点，锐角三角函数解直角三角形．本题难度较大，综合运用相关知识是解题的关键．
14．已知：二次函数y＝x2+bx+c的顶点P在直线y＝﹣4x上，并且图象经过点A（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）D是线段BP上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，E点的坐标为（a，0），△DCE的面积为S．
①求△DCE的面积S的最大值；
②在BP上是否存在点D，使△DCE为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①94；
②(-3+32，62-12)或(32，-3)．
【分析】（1）设抛物线顶点坐标为（m，﹣4m），则抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣4m，然后代入点A坐标进行求解即可；
（2）①由（1）得点P坐标为（1，﹣4），先求出点B坐标，进而求出直线BP解析式，从而得到点D的坐标，则DE＝6﹣2a，则S△CDE=12DE•OE=12a（6﹣2a）=-(a-32)2+94，由此利用二次函数的性质求解即可；②先求出点C的坐标，再利用勾股定理求出CD2，CE2，DE2，再分∠CDE＝90°，∠DCE＝90°，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设抛物线顶点坐标为（m，﹣4m），则抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣4m，
把A（﹣1，0）代入y＝（x﹣m）2﹣4m中得：（﹣1﹣m）2﹣4m＝0，
解得m＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）①由（1）得点P坐标为（1，﹣4）
在y＝x2﹣2x﹣3中，当y＝x2﹣2x﹣3＝0时，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+b′，
∴k+b′=-43k+b′=0，
∴k=2b′=-6，
∴直线BC解析式为y＝2x﹣6，
∵DE⊥x，E点的坐标为（a，0），
∴D（a，2a﹣6），
∴DE＝6﹣2a，
∴S△CDE=12DE•OE=12a（6﹣2a）=-(a-32)2+94，
∵﹣1＜0，
∴当a=32时，S△CDE有最大值，最大值为94；
②在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
∵DE⊥x，E点的坐标为（a，0），
∴D（a，2a﹣6），
∴CE2＝a2+32＝a2+9，DE2＝（6﹣2a）2＝4a2﹣24a+36，CD2＝（a﹣0）2+（2a﹣6+3）2＝5a2﹣12a+9，
当∠DCE＝90°时，则CE2+CD2＝DE2，
∴5a2﹣12a+9+a2+9＝4a2﹣24a+36，
解得a=-3+32或a=-3-32（舍去），
∴点D的坐标为(-3+32，62-12)；
当∠CDE＝90°时，则CE2＝CD2+DE2，
∴5a2﹣12a+9+4a2﹣24a+36＝a2+9，2a2﹣9a+9＝0，
解得a=32或a＝3（舍去），
∴点D的坐标为(32，-3)；
综上所述，点D的坐标为(-3+32，62-12)或(32，-3)．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
15．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A、B两点，其中B点的坐标为（6，0），与y轴交于点C（0，4），对称轴为直线x＝2．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA交BC于点E，连接BP，CP，AC．若△PBC和△PAC的面积分别为S1，S2，请求出S1+S2的最大值及取得最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线y沿射线BC平移13个单位得新抛物线y′，Q为新抛物线y′上一点，作直线BQ，当点C到直线BQ的距离是点A到直线BQ的距离的3倍时，直接写出点Q的横坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】待定系数法；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】（1）二次函数的解析式为y=-13x2+43x+4；
（2）S1+S2的最大值为503，取得最大值时点P的坐标为（5，73）；
（3）Q的横坐标为-4+2413或-4-2413或-4+4815或-4-4815．
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为y=-13x2+43x+4；
（2）过点P作y轴的平行线，交BC 于点M，交AC延长线于点N，求出A（﹣2，0），直线AC解析式为y＝2x+4；直线BC解析式为y=-23x+4；设P（p，-13p2+43p+4），即可得S1+S2=12PM•|xB﹣xC|+12PN•|xA﹣xC|=12×（-13p2+2p）×6+12×（13p2+23p）×2=-23p2+203p=-23（p﹣5）2+503，根据二次函数性质可得答案；
（3）将抛物线y=-13x2+43x+4沿射线BC平移13个单位相当于把抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，故y'=-13（x+3）2+43（x+3）+4+2=-13x2-23x+7，设直线BQ交直线AC于H，过H作HE⊥y轴于E，过C作CG⊥BQ于G，过A作AF⊥BQ于F，①当BQ在x轴下方时，证明△HAF∽△HCG，得HAHC=AFCG=13，故CACH=23，又△CAO∽△CHE，得OAHE=CACH=23，可得H（﹣3，﹣2），直线BH解析式为y=29x-43，由-13x2-23x+7=29x-43解得Q的横坐标为-4+2413或-4-2413；②当BQ在x轴上方时，同理可得Q的横坐标为-4+4815或-4-4815．
【解答】解：（1）根据题意得：
36a+6b+c=0c=4-b2a=2，
解得a=-13b=43c=4，
∴二次函数的解析式为y=-13x2+43x+4；
（2）过点P作y轴的平行线，交BC 于点M，交AC延长线于点N，如图：
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，B点的坐标为（6，0），
∴A（﹣2，0），
由A（﹣2，0），C（0，4）得直线AC解析式为y＝2x+4；
由B（6，0），C（0，4）得直线BC解析式为y=-23x+4；
设P（p，-13p2+43p+4），则M（p，-23p+4），N（p，2p+4），
∴PM=-13p2+43p+4﹣（-23p+4）=-13p2+2p，PN＝2p+4﹣（-13p2+43p+4）=13p2+23p，
∴S1+S2=12PM•|xB﹣xC|+12PN•|xA﹣xC|=12×（-13p2+2p）×6+12×（13p2+23p）×2=-23p2+203p=-23（p﹣5）2+503，
∵-23＜0，
∴当p＝5时，S1+S2的最大值为503，
此时P（5，73）；
∴S1+S2的最大值为503，取得最大值时点P的坐标为（5，73）；
（3）∵B（6，0），C（0，4），
∴将抛物线y=-13x2+43x+4沿射线BC平移13个单位相当于把抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴y'=-13（x+3）2+43（x+3）+4+2=-13x2-23x+7，
设直线BQ交直线AC于H，过H作HE⊥y轴于E，过C作CG⊥BQ于G，过A作AF⊥BQ于F，
①当BQ在x轴下方时，如图：
∵CG⊥BQ，AF⊥BQ，
∴CG∥AF，
∴△HAF∽△HCG，
∴HAHC=AFCG=13，
∴HC＝3HA，
∴CACH=23，
∵HE⊥y轴，
∴OA∥HE，
∴△CAO∽△CHE，
∴OAHE=CACH=23，
∵A（﹣2，0），
∴HE＝3，
在y＝2x+4中，令x＝﹣3得y＝﹣2，
∴H（﹣3，﹣2），
由B（6，0），H（﹣3，﹣2）得直线BH解析式为y=29x-43，
联立y=29x-43y=-13x2-23x+7可得-13x2-23x+7=29x-43，
解得x=-4+2413或x=-4-2413，
∴Q的横坐标为-4+2413或-4-2413；
②当BQ在x轴上方时，如图：
同理可得H（-32，1），直线BH解析式为y=-215x+45，
由-13x2-23x+7=-215x+45解得x=-4+4815或x=-4-4815，
∴Q的横坐标为-4+4815或-4-4815；
综上所述，Q的横坐标为-4+2413或-4-2413或-4+4815或-4-4815．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形判定与性质，平移变换等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度时间x（天）
1≤x＜30
30≤x≤48
售价
x+30
60
日销售量（kg）
﹣2x+120
知识条目
定义：如图1，抛物线y1＝ax（x﹣2m）（a＜0，m＜0）与抛物线y2＝bx（x﹣2n）（b＞0，n＞0）的图象只有一个公共点O，即方程联立ax（x﹣2m）＝bx（x﹣2n）有两个相同的解，则称这两条抛物线紧密衔接于点O．

图形应用
在景观设计中，无论是在传统亦或是现代，东方亦或是西方，弧线在各类设计作品中都大量的存在，并被人们赋予了更多丰富的内涵，具有运动的美感．

知识延伸
任务一：
在图1中，M，N分别是这两段抛物线的顶点，请证明am＝bn，且M，O，N三点共线．
知识应用
如图3，长方形ABCD是一处景观，AB＝8米，BC＝24米，E，F分别是边AB，CD的中点，G是EF上的点，设计了两段抛物线EMG和抛物线FNG紧密衔接于点G，M，N分别是两条抛物线的顶点，点N落在BC边上．O1，O2分别是EG，FG的中点，以O1为圆心，O1M为半径，和以O2为圆心，O2F的一半长度为半径设计两个圆形花坛．
任务二：
如图3，当⊙O2与BC相切于N点时，请建立合适的直角坐标系，求出这两段抛物线的解析式．
任务三：
为了设计整体感观更加和谐，使A，M，F三点共线，求出此时⊙O2上的点到BC边最小长度．

时间x（天）
1≤x＜30
30≤x≤48
售价
x+30
60
日销售量（kg）
﹣2x+120
知识条目
定义：如图1，抛物线y1＝ax（x﹣2m）（a＜0，m＜0）与抛物线y2＝bx（x﹣2n）（b＞0，n＞0）的图象只有一个公共点O，即方程联立ax（x﹣2m）＝bx（x﹣2n）有两个相同的解，则称这两条抛物线紧密衔接于点O．

图形应用
在景观设计中，无论是在传统亦或是现代，东方亦或是西方，弧线在各类设计作品中都大量的存在，并被人们赋予了更多丰富的内涵，具有运动的美感．

知识延伸
任务一：
在图1中，M，N分别是这两段抛物线的顶点，请证明am＝bn，且M，O，N三点共线．
知识应用
如图3，长方形ABCD是一处景观，AB＝8米，BC＝24米，E，F分别是边AB，CD的中点，G是EF上的点，设计了两段抛物线EMG和抛物线FNG紧密衔接于点G，M，N分别是两条抛物线的顶点，点N落在BC边上．O1，O2分别是EG，FG的中点，以O1为圆心，O1M为半径，和以O2为圆心，O2F的一半长度为半径设计两个圆形花坛．
任务二：
如图3，当⊙O2与BC相切于N点时，请建立合适的直角坐标系，求出这两段抛物线的解析式．
任务三：
为了设计整体感观更加和谐，使A，M，F三点共线，求出此时⊙O2上的点到BC边最小长度．