2024年中考数学复习探究性试题汇编---分式与二次根式

这是一份2024年中考数学复习探究性试题汇编---分式与二次根式，共41页。试卷主要包含了阅读理解，我们定义，定义，我们知道，解答下列问题，小红、小刚、小明三位同学在讨论等内容，欢迎下载使用。
1．阅读理解
材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
2x+1x-4=2x-8+8+1x-4=2x-8x-4+8+1x-4=2+9x-4．
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+1x的值 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大，x+2x的值 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，2x+2x-1的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0≤x≤6时，求代数式5x-2x-3值的范围．
2．阅读理解
材料：为了研究分式1x与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：2x+1x-4=2x-8+8+1x-4=2x-8x-4+8+1x-4=2+9x-4．
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+1x的值 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大，x+2x的值 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，2x+2x-1的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0≤x≤2时，求代数式5x-2x-3值的范围．
3．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A=2xx+1，B=-2x+1，A﹣B=2xx+1-（-2x+1）=2x+2x+1=2(x+1)x+1=2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C=1x+2，D=x2+5x+6x2+4x+4，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式P=E9-x2，Q=2x3-x，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
（3）已知分式M=(x-b)(x-c)x，N=(x-a)(x-5)x（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值．
4．深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式x2-x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴a+1=-1a+b=3解得：a=-2b=5．
∴x2-x+3x+1=(x+1)(x-2)+5x+1=x﹣2+5x+1．
这样，分式x2-x+3x+1就拆分成一个整式x﹣2与一个分式5x+1的和的形式．
（1）将分式x2+6x-3x-1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 ；
（2）已知整数x使分式2x2+5x-20x-3的值为整数，则满足条件的整数x的值．
5．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“和谐代数式”．例如：关于x的代数式x2，当﹣1≤x≤1时，代数式x2在x＝±1时有最大值，最大值为1；在x＝0时有最小值，最小值为0，此时最值1和0均在﹣1≤x≤1（含端点）这个范围内，则称代数式x2是﹣1≤x≤1的“和谐代数式”．
（1）若关于x的代数式|x﹣1|，当﹣2≤x≤2时，取得的最大值为 ；最小值为 ；代数式|x﹣1| （填“是”或“不是”）﹣2≤x≤2的“和谐代数式”；
（2）以下关于x的代数式，是﹣2≤x≤2的“和谐代数式”的是 ；
①﹣x+1；②﹣x2+2；③x2+|x|﹣4；
（3）若关于x的代数式a|x|+1-2是﹣2≤x≤2的“和谐代数式”，求a的最大值和最小值．
6．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①3aa+1与aa+1；②3aa-1与a+2a-1；③a2a+1与5a+22a+1．其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式3a2a2+b与a-2b2a+b2属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式3a2a2-4b2与aa+2b属于“友好分式组”，求分式a2-2b2ab的值．
7．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1；
2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+（-5x-1）．
（1）下列分式中，属于真分式的是： （填序号）；
①a-2a+1 ②x2x+1 ③2bb2+3 ④a2+3a2-1
（2）将假分式4a+32a-1化成整式与真分式的和的形式为：4a+32a-1= + ，若假分式4a+32a-1的值为正整数，则整数a的值为 ；
（3）将假分式a2+3a-1 化成整式与真分式的和的形式：a2+3a-1= ．
8．解答下列问题：
（1）已知对任意的正整数n，下面的等式恒成立：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．
若13+33+53+⋯+(2n-1)323+43+63+⋯+(2n)3=199242，求正整数n．
（2）若不等式1n+1+1n+2+⋯+12n+1＜a-202114对任意正整数n都成立，且a是正整数，求a的最小值．
（3）现有数列3，5，3，5，5，3，5，5，5，5，3，…，它的各项均为3或5，首项为3，且在第k个3和第k+1个3之间有2k﹣1个5，求此数列的前2021项的和．
9．阅读理解
材料：为了研究分式1x与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：2x+1x-4=2x-8+8+1x-4=2x-8x-4+8+1x-4=2+9x-4．
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+1x的值 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大，x+2x的值 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，2x+2x-1的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0≤x≤2时，求代数式5x-2x-3值的范围．
10．小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式3x-2x+1的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难．
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式3x+1的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦．
小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和．比如：73=3×2+13=2+13（通常写成带分数：213）．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将3x-2x+1化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题．
11．观察下列各式：
第一式：11×2=1-12；
第二式：12×3=12-13；
第三式：13×4=13-14；
…
（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式： ；
（2）求和：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2015)(x+2016)；
（3）已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，求ba(a+1)+b(a+1)(a+2)+⋯+b(a+9)(a+10)的值．
12．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：xx2+1=14，求代数式x2+1x2的值．
解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=4
即x2x+1x=4∴x+1x=4∴x2+1x2=(x+1x)2-2=16-2=14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求xy+z的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则x=k2，y=k3，z=k4∴xy+z=12k13k+14k=12712=67
根据材料回答问题：
（1）已知xx2-x+1=12，则x+1x= ．
（2）解分式方程组：mn3m+2n=3mn2m+3n=5
（3）若yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx=x2+y2+z2a2+b2+c2，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
13．为方便同学们更好的放置自己的物品，某校新购进一批课桌便携式挂钩（图1），实践小组的同学把“挂钩到地面的距离的计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践研究，并形成了如下活动报告．请根据报告计算挂钩到地面的距离（即CD的长）．（结果精确2≈1.41，3≈1.73）
14．阅读下面计算过程：
12+1=1×(2-1)(2+1)(2-1)=2-1
13+2=1×(3-2)(3+2)(3-2)=3-2
15+2=1×(5-2)(5+2)(5-2)=5-2
试求：
（1）17+6 的值为 ．
（2）求11+2+12+3+13+4+...+198+99+199+100的值．
（3）若a=15-2，求a2﹣4a+4的值．
15．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如m±2n的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（a）2+（b）2＝m，a•b=n，那么便有m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）例如：化简7+43
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（4）2+（3）2＝7，4•3=12，
∴7+43=7+212=(4+3)2=2+3
由上述例题的方法化简：
（1）13-242；
（2）7-40；
（3）2-3．
2024年中考数学复习探究性试题汇编之分式与二次根式
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．阅读理解
材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：
2x+1x-4=2x-8+8+1x-4=2x-8x-4+8+1x-4=2+9x-4．
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+1x的值 减小 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大，x+2x的值 减小 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，2x+2x-1的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0≤x≤6时，求代数式5x-2x-3值的范围．
【考点】分式的化简求值；多项式；分式的定义；分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）减小，减小；（2）2；（3）﹣8≤5x-2x-3≤23且x≠3．
【分析】（1）由1x、2x的变化情况，判断1+1x、1+2x的变化情况即可；
（2）由2x+2x-1=2+4x-1，即可求解；
（3）由5x-2x-3=2+4x-1，再结合x的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）∵当x＞0时1x随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，1+1x的值减小；
∵当x＜0时2x随着x的增大而减小，
∵x+2x=1+2x，
∴随着x的增大，x+2x的值减小，
故答案为：减小，减小；
（2）∵2x+2x-1=2(x-1)+4x-1=2+4x-1，
∵当x＞1时，4x-1的值无限接近0，
∴2x+2x-1的值无限接近2；
（3）∵5x-2x-3=5(x-3)+13x-3=5+13x-3，
又∵0≤x≤6，
∴﹣13≤13x-3≤-133，
∴﹣8≤5x-2x-3≤23且x≠3．
在x≠3时，x＜23时，5x-2x-3＜47
x≥283时，5x-2x-3≥14421，
【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
2．阅读理解
材料：为了研究分式1x与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：2x+1x-4=2x-8+8+1x-4=2x-8x-4+8+1x-4=2+9x-4．
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+1x的值 减小 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大，x+2x的值 减小 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，2x+2x-1的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0≤x≤2时，求代数式5x-2x-3值的范围．
【考点】分式的化简求值；多项式；分式的定义；分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）减小，减小；（2）2；（3）﹣8≤5x-2x-3≤23．
【分析】（1）由1x、2x的变化情况，判断1+1x、1+2x的变化情况即可；
（2）由2x+2x-1=2+4x-1，即可求解；
（3）由5x-2x-3=2+4x-1，再结合x的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）∵当x＞0时1x随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，1+1x的值减小；
∵当x＜0时2x随着x的增大而减小，
∵x+2x=1+2x，
∴随着x的增大，x+2x的值减小，
故答案为：减小，减小．
（2）∵2x+2x-1=2(x-1)+4x-1=2+4x-1，
∵当x＞1时，4x-1的值无限接近0，
∴2x+2x-1的值无限接近2．
（3）∵5x-2x-3=5(x-3)+13x-3=5+13x-3，
又∵0≤x≤2，
∴﹣13≤13x-3≤-133，
∴﹣8≤5x-2x-3≤23．
【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
3．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A=2xx+1，B=-2x+1，A﹣B=2xx+1-（-2x+1）=2x+2x+1=2(x+1)x+1=2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C=1x+2，D=x2+5x+6x2+4x+4，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”；
（2）已知分式P=E9-x2，Q=2x3-x，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
（3）已知分式M=(x-b)(x-c)x，N=(x-a)(x-5)x（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值．
【考点】分式的混合运算；整式的加减．
【专题】新定义；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据定义即判断．
（2）根据定义，计算出E的代数式，然后分析P，即可找到所有的x的值，即可求值．
（3）根据题意建立等式后，然后化简，再进行分类讨论即可找到a、b、c的值，即可求解了．
【解答】（1）C不是D的“雅中式”，理由如下，
C-D=1x+2-x2+5x+6x2+4x+4
=x+2-(x2+5x+6)x2+4x+4
=-x2+4x+4x2+4x+4=-1．
即：C不是D的“雅中式”．
（2）P-Q=E9-x2-2x3-x=E-2x(3+x)9-x2=E-2x2-6x9-x2．
∵P是Q的雅中式．
又∵P关于Q的雅中值为2．
∴E﹣2x2﹣6x＝2（9﹣x2）．
∴E＝6x+18．
∴P=E9-x2=6x+189-x2=63-x．
∵P的值也为整数，且分式有意义．
故3﹣x＝±1，或3﹣x＝±2，或3﹣x＝±3，或3﹣x＝±6且x≠﹣3，
∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9．
符合条件的x的值之和为：0+1+2+4+5+6+9＝27．
（3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1．
M-N=(x-b)(x-c)-(x-a)(x-5)x=1．
整理得：（﹣b﹣c+a+4）x+bc﹣5a＝0．
由上式子恒成立，则：(-b-c+a+4)=0bc-5a=0．
消去a得：bc﹣5b﹣5c+20＝0．
∴b（c﹣5）﹣5（c﹣5）＝5．
∴b（c﹣5）＝5（c﹣4），
∴b=5(c-4)c-5，
∵a、b、c的整数．
∴c﹣4、c﹣5是L连续整数．
当c﹣4＝2、c﹣5＝1时，b＝10，c＝6，a＝12
∴a﹣b+c＝8．
当c﹣4＝0、c﹣5＝﹣1时，c＝4，b＝0，a＝0．
∴a﹣b+c＝4．
当c﹣4＝4，c﹣5＝5时，c＝10，b＝6，a＝12，
∴a﹣b+c＝16．
当c﹣4＝﹣4，c﹣5＝﹣5时，c＝0，b＝4，a＝0，
∴a﹣b+c＝﹣4
综上：a﹣b+c的值为：8或4或16或﹣4．
【点评】本题考查了分式的化简，根据题意写出等式是关键，然后利用分式的性质进行演算和分析．本题难度比较大．
4．深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式x2-x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴a+1=-1a+b=3解得：a=-2b=5．
∴x2-x+3x+1=(x+1)(x-2)+5x+1=x﹣2+5x+1．
这样，分式x2-x+3x+1就拆分成一个整式x﹣2与一个分式5x+1的和的形式．
（1）将分式x2+6x-3x-1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 x+7+4x-1 ；
（2）已知整数x使分式2x2+5x-20x-3的值为整数，则满足条件的整数x的值．
【考点】分式的加减法；整式的加减；分式的值．
【专题】阅读型；分式；运算能力．
【答案】（1）x+7+4x-1；（2）4或16或2或﹣10．
【分析】（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论；
（2）利用（1）中的方法将分式2x2+5x-20x-3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论．
【解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b，
则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴a-1=6-a+b=-3，
解得：a=7b=4．
∴x2+6x-3x-1=(x-1)(x+7)+4x-1=x+7+4x-1．
故答案为：x+7+4x-1．
（2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b，
则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b
＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b
＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b，
∵对于任意x上述等式成立，
∴a-6=5-3a+b=-20，
解得：a=11b=13．
∴2x2+5x-20x-3=(x-3)(2x+11)+13x-3=2x+11+13x-3．
∵x为整数，分式2x2+5x-20x-3的值为整数，
∴13x-3为整数，
∴x＝4或16或2或﹣10．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，本题是阅读型题目，连接题干中的方法并熟练应用是解题的关键．
5．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“和谐代数式”．例如：关于x的代数式x2，当﹣1≤x≤1时，代数式x2在x＝±1时有最大值，最大值为1；在x＝0时有最小值，最小值为0，此时最值1和0均在﹣1≤x≤1（含端点）这个范围内，则称代数式x2是﹣1≤x≤1的“和谐代数式”．
（1）若关于x的代数式|x﹣1|，当﹣2≤x≤2时，取得的最大值为 3 ；最小值为 0 ；代数式|x﹣1| 不是 （填“是”或“不是”）﹣2≤x≤2的“和谐代数式”；
（2）以下关于x的代数式，是﹣2≤x≤2的“和谐代数式”的是 ② ；
①﹣x+1；②﹣x2+2；③x2+|x|﹣4；
（3）若关于x的代数式a|x|+1-2是﹣2≤x≤2的“和谐代数式”，求a的最大值和最小值．
【考点】分式的加减法；非负数的性质：绝对值；有理数的乘方；非负数的性质：偶次方．
【专题】新定义；推理能力．
【答案】（1）3，0，不是；（2）②；（3）a的最大值为4，最小值为0．
【分析】（1）方法一：根据绝对值的几何意义，我们可以设数轴上有一点所对应的数为x，那么|x﹣1|可以看作数轴上这一点到1这个数所对应的点的距离，当﹣2≤x≤2时，显然x＝﹣2时它们的距离最大，x＝1时候它们距离最小，进而求出最大值和最小值，求出最大值和最小值之后也就求出了|x﹣1|的取值范围，根据“和谐代数式”的定义直接判断即可．
方法二：因为﹣2≤x≤2，所以﹣3≤x﹣1≤1，进而求出|x﹣1|的范围为0≤|x﹣1|≤3，然后再根据“和谐代数式”的定义直接判断即可．
（2）观察①﹣x+1为可以看成一次函数我们直接代入x＝2和x＝﹣2即可得到它的取值范围；②﹣x2+2显然可以看成对称轴为y轴的二次函数，代入x＝0时代数式有最大值，代入x＝2时代数式有最小值；③x2+|x|﹣4可以看成一个分段函数，分为﹣2≤x＜0和0≤x≤2两段范围讨论这个代数式的最大值和最小值；最后根据“和谐代数式”的定义直接判断即可．
（3）关键要讨论出a|x|+1-2的最大值和最小值，并且用含a的代数式表示出来．
当a≥0，﹣2≤x≤2时，有0≤|x|≤2，所以 1≤|x|+1|≤3，所以x＝0时，a|x|+1-2的最大值为a﹣2，x＝2或﹣2时a|x|+1-2的最小值为a3-2；所以可得不等式组a-2≤2a3-2≥-2．
当a＜0，﹣2≤x≤2时，有0≤|x|≤2，所以 1≤|x|+1|≤3，所以x＝0时，a|x|+1-2的最小值为a﹣2，x＝2或﹣2时a|x|+1-2的最大值为a3-2；所以可得不等式组a-2≥-2a3-2≤2．
分别解两个不等式组即可得到答案．
【解答】解：（1）∵﹣2≤x≤2，
∴﹣3≤x﹣1≤1，
∴0≤|x﹣1|≤3，
∴|x﹣1|的最大为3最小值为0，
显然|x﹣1|的取值范围不在﹣2≤x≤2得范围之内，故它不是和谐代数式．
（2）∵①﹣x+1中x＝2时，﹣x+1＝﹣1：x＝﹣2时，﹣x+1＝3．
∴﹣1≤﹣x+1≤3，
显然不在﹣2≤x≤2范围内，故①不是和谐代数式．
∵②﹣x2+2中，x＝0时有最大值为2，x＝2时有最小值为﹣2，
∴﹣2≤﹣x2+2≤2．
显然刚好在﹣2≤x≤2范围内，故②是和谐代数式．
∵③x2+|x|﹣4中，x＝0时有最小值﹣4，x＝2或﹣2时有最大值2．
∴﹣4≤x2+|x|﹣4≤2．
显然不在﹣2≤x≤2范围内，故③不是和谐代数式．
（3）在|x﹣1|+|x﹣3|中，
当 0≤x≤1时，x＝0时有最大值为4，x＝1时有最小值为2，
所以2≤|x﹣1|+|x﹣3|≤4，
当 0≤x≤3时，x＝0时有最大值为4，1≤x≤3时，有最小值2，
所以2≤|x﹣1|+|x﹣3|≤4，
当 0≤x≤4时，x＝0或4时有最大值为4，1≤x≤3时，有最小值2，
所以2≤|x﹣1|+|x﹣3|≤4，
而当x＞4时，|x﹣1|+|x﹣3|＝2x﹣4，但是x每增加1，2x﹣4增加2，此时2x﹣4的范围就不在x变化的范围之 内．也就不一定为|x﹣1|+|x﹣3|的“和谐代数式”了．
综上所述对于代数式|x﹣1|+|x﹣3|是0≤x≤m的“和谐代数式”，问题的解答，正确答案为②．
（3）∵﹣2≤x≤2，
∴0≤|x|≤2，
∴1≤|x|+1|≤3，
①当a≥0时，x＝0时，a|x|+1-2有最大值为a﹣2，
x＝2或﹣2时a|x|+1-2有最小值为a3-2，
所以可得不等式组a-2≤2a3-2≥-2，解得a≤4，a≥0，
所以0≤a≤4．
②a＜0时，x＝0时，
a|x|+1-2有最小值为a﹣2，
x＝2或﹣2时a|x|+1-2的有最大值为a3-2，
所以可得不等式组a-2≥-2a3-2≤2，解得，a≥0，a≤12，且a＜0，
所以a无解，
综上①②可得0≤a≤4，
所以a的最大值为4，最小值为0．
【点评】本题考查了代数式取值范围，难度较大，比较考查学生的综合分析能力，同时也考查了一元一次不等式组的解集问题．
6．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①3aa+1与aa+1；②3aa-1与a+2a-1；③a2a+1与5a+22a+1．其中属于“友好分式组”的有 ②③ （只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式3a2a2+b与a-2b2a+b2属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式3a2a2-4b2与aa+2b属于“友好分式组”，求分式a2-2b2ab的值．
【考点】分式的加减法；实数的性质．
【专题】计算题；新定义；分式；运算能力；应用意识．
【答案】（1）②③；（2）证明过程见上面具体过程；（3）a2-2b2ab的值为-72或-12．
【分析】（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
（2）根据a，b互为倒数，得ab＝1，把b=1a代入|3a2a2+b-a-2b2a+b2|计算出结果；
（3）根据分式3a2a2-4b2与aa+2b属于“友好分式组”，得|2a2+2aba2-4b2|＝2，求出①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，分别把①②代入分式a2-2b2ab求出结果即可．
【解答】解：（1）①3aa+1-aa+1=2aa+1≠2，
②3aa-1-a+2a-1=2a-2a+1=2，
③|a2a+1-5a+22a+1|＝|-4a-22a+1|＝2，
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③．
（2）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，b=1a，
∴|3a2a2+b-a-2b2a+b2|
＝|3a2a2+1a-a-2b2a+1a2|
＝|3a3a3+1-a3-2a3+1|
＝|3a3-a3+2a3+1|
＝2，
∴分式3a2a2+b与a-2b2a+b2属于“友好分式组”；
（3）∵|3a2a2-4b2-aa+2b|
＝|3a2(a+2b)(a-2b)-a(a-2b)(a+2b)(a-2b)|
＝|3a2-a2+2ab(a+2b)(a-2b)|
＝|2a2+2aba2-4b2|，
∵3a2a2-4b2与aa+2b属于“友好分式组”，
∴|2a2+2aba2-4b2|＝2，
∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）或2a2+2ab＝﹣2（a2﹣4b2），
①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，
把①代入a2-2b2ab=16b2-2b2-4b2=-72，
把②代入a2-2b2ab=a2-2b24b2-2a2=-12，
综上所述：a2-2b2ab的值为-72或-12．
【点评】本题考查了分式的加减法和实数的性质，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．
7．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1；
2x-3x+1=2x+2-5x+1=2x+2x+1+-5x+1=2+（-5x-1）．
（1）下列分式中，属于真分式的是： ③ （填序号）；
①a-2a+1 ②x2x+1 ③2bb2+3 ④a2+3a2-1
（2）将假分式4a+32a-1化成整式与真分式的和的形式为：4a+32a-1= 2 + 52a-1 ，若假分式4a+32a-1的值为正整数，则整数a的值为 ﹣2、1或3 ；
（3）将假分式a2+3a-1 化成整式与真分式的和的形式：a2+3a-1= a+1+4a-1 ．
【考点】分式的混合运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；
（2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式；
（3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式．
【解答】解：（1）根据题意可得，
a-2a+1、x2x+1、a2+3a2-1都是假分式，2bb2+3是真分式，
故答案为：③；
（2）由题意可得，
4a+32a-1=4a-2+52a-1=2+52a-1，
若假分式4a+32a-1的值为正整数，
则52a-1=-1或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5，
解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3，
故答案为：2、52a-1，﹣2、1或3；
（3）a2+3a-1=a2-1+4a-1=a2-1a-1+4a-1=a+1+4a-1，
故答案为：a+1+4a-1．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．
8．解答下列问题：
（1）已知对任意的正整数n，下面的等式恒成立：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．
若13+33+53+⋯+(2n-1)323+43+63+⋯+(2n)3=199242，求正整数n．
（2）若不等式1n+1+1n+2+⋯+12n+1＜a-202114对任意正整数n都成立，且a是正整数，求a的最小值．
（3）现有数列3，5，3，5，5，3，5，5，5，5，3，…，它的各项均为3或5，首项为3，且在第k个3和第k+1个3之间有2k﹣1个5，求此数列的前2021项的和．
【考点】分式的加减法；解一元一次不等式．
【专题】计算题；分式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）n＝10；
（2）2022；
（3）10083．
【分析】（1）直接用给定的公式，换数求值即可；
（2）先利用错位相差法，得到第n个式子的最大值，求得前n项和，然后求不等式的解；
（3）算出第2021项在第几组，那么每个3，先看成5，则有2021个5的和，再减去多加的k个2即可．
【解答】解：（1）∵13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，
∵13+33+53+⋯+(2n-1)323+43+63+⋯+(2n)3=199242，
∴1+13+33+53+⋯+(2n-1)323+43+63+⋯+(2n)3=199242+1，
13+23+33+43+53+⋯+(2n)323+43+63+⋯+(2n)3=441242，
(1+2+3+⋯+2n)223(13+23+33+⋯+n3)=441242，
(1+2+3+⋯+2n)223(1+2+3+⋯+n)2=441242，
[2n(2n+1)2]2[n(n+1)2]2=441×8242，
[4n2+2nn2+n]2=441×4121，
4n2+2nn2+n=±21×211，
∵n是正整数，
∴4n2+2nn2+n=4211，
（4n2+2n）×11＝（n2+n）×42
整理，得：n2﹣10n＝0，
解，得n1＝0，n2＝10，
∵n是正整数，
∴n＝10．
（2）设an=1n+1+1n+2+⋯+12n+1，
an+1=1n+2+1n+3+⋯+12n+3，
∴an﹣1﹣an=12n+2+12n+3-1n+1=12n+3-12n+2＜0．
∴an值随n的增大而减少，
∴当n＝1时，有最大值a1=12+13=56，
∴56＜a-202114，
∴a＞2022112，
∴a最小的整数是2023．
（3）把第k个3和它后面的2k﹣1个5这2k﹣1+1项称为一组，设第2021项在第k组，
则k是满足：
k+1+2+3+…+2k﹣1≥2021
的最小正整数．求得k≥11，（也就是2021位，在这至少11组所有位数内）．
所以把k＝11组中的3也看成5，所以每个数大了2，
故S2021＝2021×5﹣（5﹣3）×11＝10083．
【点评】本题考查的是数列相关的题目，关键是会变形，得到相应的公式，最后一题要知道第2021项，里面有几个3．一般中考考的不多了．
9．阅读理解
材料：为了研究分式1x与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，1x的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：2x+1x-4=2x-8+8+1x-4=2x-8x-4+8+1x-4=2+9x-4．
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+1x的值 减小 （增大或减小）；
当x＜0时，随着x的增大，x+2x的值 减小 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，2x+2x-1的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0≤x≤2时，求代数式5x-2x-3值的范围．
【考点】分式的基本性质；多项式；分式的定义．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）减小，减小；
（2）2；
（3）﹣8≤5x-2x-3≤23．
【分析】（1）由1x、2x的变化情况，判断1+1x、1+2x的变化情况即可；
（2）由2x+2x-1=2+4x-1，即可求解；
（3）由5x-2x-3=2+4x-1，再结合x的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）∵当x＞0时1x随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，1+1x的值减小；
∵当x＜0时2x随着x的增大而减小，
∵x+2x=1+2x，
∴随着x的增大，x+2x的值减小，
故答案为：减小，减小；
（2）∵2x+2x-1=2(x-1)+4x-1=2+4x-1，
∵当x＞1时，4x-1的值无限接近0，
∴2x+2x-1的值无限接近2；
（3）∵5x-2x-3=5(x-3)+13x-3=5+13x-3，
又∵0≤x≤2，
∴﹣13≤13x-3≤-133，
∴﹣8≤5x-2x-3≤23．
【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
10．小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式3x-2x+1的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难．
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式3x+1的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦．
小明说：可将分式与分数进行类比．本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和．比如：73=3×2+13=2+13（通常写成带分数：213）．类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将3x-2x+1化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题．
【考点】分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）0，﹣2，2，﹣4；（2）0，﹣2，4，﹣6．
【分析】（1）只要3是x+1的倍数即可；
（2）将分式化成一个整式与一个真分式的和，5是x+1的倍数即可．
【解答】解：（1）当x+1＝±1，±3时，分式3x+1的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4．
（2）3x-2x+1=3(x+1)-5x+1=3-5x+1，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6．
【点评】本题考查了分式的整数值，考查学生的计算能力，看懂题意是解题的关键．
11．观察下列各式：
第一式：11×2=1-12；
第二式：12×3=12-13；
第三式：13×4=13-14；
…
（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式： 1n×(n+1)=1n-1n+1 ；
（2）求和：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2015)(x+2016)；
（3）已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，求ba(a+1)+b(a+1)(a+2)+⋯+b(a+9)(a+10)的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接根据给出的例子找出规律即可；
（2）根据（1）中的规律直接计算即可；
（3）先根据相反数的定义求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵第一式11×2=1-12，第二式12×3=12-13，第三式13×4=13-14，
∴第n式1n×(n+1)=1n-1n+1．
故答案为：1n×(n+1)=1n-1n+1；
（2）原式=1x-1x+1+1x+1-1x+2+⋯+1x+2015-1x+2016
=1x-1x+2016
=x+2016x(x+2016)-xx(x+2016)
=2016x(x+2016)；
（3）∵a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，
∴a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，即（a﹣3）2+|b﹣1|＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴原式=13×(3+1)+1(3+1)(3+2)+⋯+1(3+9)(3+10)
=13-14+14-15+⋯+112-113
=13-113
=1039．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
12．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：xx2+1=14，求代数式x2+1x2的值．
解：∵xx2+1=14，∴x2+1x=4
即x2x+1x=4∴x+1x=4∴x2+1x2=(x+1x)2-2=16-2=14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求xy+z的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则x=k2，y=k3，z=k4∴xy+z=12k13k+14k=12712=67
根据材料回答问题：
（1）已知xx2-x+1=12，则x+1x= 3 ．
（2）解分式方程组：mn3m+2n=3mn2m+3n=5
（3）若yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx=x2+y2+z2a2+b2+c2，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
【考点】分式的化简求值；解二元一次方程组；换元法解分式方程；完全平方公式．
【专题】分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，化简即可；
（2）仿照材料一，取倒数，再约分．利用加减消元法求解即可；
（3）先化简已知条件，将x和z用y表示出来，再代入式子zxcx+az=x2+y2+z2a2+b2+c2，用含b的式子表示出x，y，z，再相乘化简即可．
【解答】解：（1）∵xx2-x+1=12
∴x2-x+1x=2
即x﹣1+1x=2
∴x+1x=3
故答案为：3．
（2）∵mn3m+2n=3mn2m+3n=5
∴3m+2nmn=132m+3nmn=15
∴3n+2m=13①2n+3m=15②
∴①×2﹣②×3得
-5m=115
∴m＝﹣75 ③
将③代入①得3n+2-75=13
解得n=253
经检验，m＝﹣75，n=253是原方程的解
∴原方程的解是m＝﹣75，n=253．
（3）∵yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx=x2+y2+z2a2+b2+c2，x≠0，y≠0，z≠0，
∴ybz+cy=xcx+az，zcx+az=yay+bx
∴bz+cyy=cx+azx，cx+azz=ay+bxy
∴by=ax，cz=by
∴x=ayb，z=cyb
将上式代入zxcx+az=x2+y2+z2a2+b2+c2，化简得
12b=yb2
∴y=b2
∴x=ab•b2=a2
z=cb•b2=c2
又∵abc＝5
∴xyz=58
∴xyz的值为58．
【点评】本题考查了给材料阅读，然后仿做并探索较为复杂的化简计算题型，难度较大．
13．为方便同学们更好的放置自己的物品，某校新购进一批课桌便携式挂钩（图1），实践小组的同学把“挂钩到地面的距离的计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践研究，并形成了如下活动报告．请根据报告计算挂钩到地面的距离（即CD的长）．（结果精确2≈1.41，3≈1.73）
【考点】二次根式的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】挂钩到地面的距离约为60.3cm．
【分析】由含30°的直角三角形的性质和勾股定理可得AF≈8.65cm，再由三角函数求出GC≈7.05cm，根据课桌的高度即可求解．
【解答】解：如图，过B作BF⊥AE于F，延长DC交BF的延长线于G，则∠AFB＝∠G＝90°，
∵∠BAE＝30°，
∴∠ABF＝60°，BF=12AB=12×10＝5（cm），
在Rt△AFB中，AF=AB2-BF2=102-52=53≈8.65（cm），
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBF＝105°﹣60°＝45°，
在Rt△BCG中，sin∠CBF=GCBC，
∴GC＝BC•sin∠CBF＝10×22=52≈7.05（cm），
∵课桌高度为76cm，
∴AF+CG+CD＝76（cm），
∴CD＝76﹣AF﹣CG＝76﹣8.65﹣7.05＝60.3（cm），
答：挂钩到地面的距离约为60.3cm．
【点评】本题考查的是二次根式的应用，熟练掌握含30°的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
14．阅读下面计算过程：
12+1=1×(2-1)(2+1)(2-1)=2-1
13+2=1×(3-2)(3+2)(3-2)=3-2
15+2=1×(5-2)(5+2)(5-2)=5-2
试求：
（1）17+6 的值为 7-6 ．
（2）求11+2+12+3+13+4+...+198+99+199+100的值．
（3）若a=15-2，求a2﹣4a+4的值．
【考点】二次根式的化简求值；平方差公式；分母有理化．
【专题】规律型；二次根式；运算能力．
【答案】（1）7-6；
（2）9；
（3）5．
【分析】（1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果；
（3）先化简a，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）17+6
=7-6(7+6)(7-6)
=7-6，
故答案为：7-6；
（2）11+2+12+3+13+4+...+198+99+199+100
=2-1+3-2+⋯+99-98+100-99
=100-1
＝10﹣1
＝9；
（3）∵a=15-2=5+2，
∴a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2
＝（5+2﹣2）2
＝（5）2
＝5．
【点评】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键．
15．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如m±2n的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（a）2+（b）2＝m，a•b=n，那么便有m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）例如：化简7+43
解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（4）2+（3）2＝7，4•3=12，
∴7+43=7+212=(4+3)2=2+3
由上述例题的方法化简：
（1）13-242；
（2）7-40；
（3）2-3．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把各题中的无理式变成m±2n 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
【解答】解：（1）13-242=(7-6)2=7-6；
（2）7-40=7-210=(5-2)2=5-2；
（3）2-3=8-434=6-22．
【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子x
..．
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课题
挂钩到地面的距离的计算
调查方式
测量，查看说明书
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量过程及计算
调研内容及图示
相关数据及说明
如图2，课桌高度为76cm．如图3，AB＝BC＝10cm，∠BAE＝30°，∠ABC＝105°．
计算结果
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课题
挂钩到地面的距离的计算
调查方式
测量，查看说明书
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量过程及计算
调研内容及图示
相关数据及说明
如图2，课桌高度为76cm．如图3，AB＝BC＝10cm，∠BAE＝30°，∠ABC＝105°．
计算结果