2024年中考数学复习探究性试题---数轴

这是一份2024年中考数学复习探究性试题---数轴，共45页。试卷主要包含了对数轴上的点P进行如下操作，阅读材料等内容，欢迎下载使用。

1．如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 ；图中点A所表示的数是 ；点B所表示的数是 ；
（2）受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生；你若是我现在这么大，我就84岁啦！”则爸爸的年龄是 岁．（在图2中标出分析过程）
②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大．我就118岁啦！”则爷爷的年龄是 岁．（画出示意图展示分析过程）
2．数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若PA＝2PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请间在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
3．【定义】点M，N，Q是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点P满足PM+PN＝PQ，则称点P是点M，N，Q的“和谐点”．
【理解】
（1）在数轴上（图1），点A，B，C，P表示的数分别为﹣2，0，5，1，点P是否为点A，B，C的“和谐点”？请通过计算作出判断．
（2）点A，B，C是一条直线上从左到右的三个点，且AB＝2，BC＝3，若点P是点A、B、C的“和谐点”，则AP的长是 ．
【拓展】
（3）在数轴上（图2），点A，B，C表示的数分别为a，a+2，a+5（a是整数），点P在点A的左侧，且点P是点A、B、C的“和谐点”，点A、B、C、P表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断．
4．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
5．一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米）
（1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？
（2）在第 次记录时快递小哥距公司P地最远；
（3）如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？
6．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2．若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6．
（1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是4，则点B表示的数为 ；
（2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”C2表示的数为11，则点C表示的数为 ；
（3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值．
7．阅读材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，这个结论我们可以推广到数轴上任意两点之间的距离，如图，若数轴上两点A、B分别对应有理数a、b，则A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．
根据阅读材料，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣2的两点A、B间的距离是 ，若AB＝3，则x ；
（3）求|x﹣6|﹣|x+2|的最大值，并求出x的取值范围；
（4）互不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C．若|a﹣b|+|c﹣a|＝|b﹣c|，请分析判断在点A、B、C中哪个点居于另外两点之间．
8．如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a、b满足|a+16|+（b﹣4）2＝0．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
（2）若点C是线段AB上一点，点H为线段AC的中点，图中所有的线段长度和是64，求点H表示的数；
（3）若点P开始从点A以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从点B开始以每秒1个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，M是线段PB的中点，N是线段BQ的中点．若线段MN＝2，求t．
9．根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示．
①A点表示的数是 ；AB之间的距离是 ；
②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是 ；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm？
②图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ；
（3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为﹣37，
根据琪琪的想法，完成一下问题：
①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为 ，
②求奶奶现在多少岁了．
10．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm．
（1）求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少cm？
（2）求在数轴上点B所对应的数b；
（3）若Q是数轴上一点，且满足A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，求点Q在数䌷上所对应的数．
11．已知数轴上的点A，B对应的有理数分别为a，b，且(12ab+10)2+|a-2|=0，点P是数轴上的一个动点．
（1）求出A，B两点之间的距离．
（2）若点P到点A和点B的距离相等，求出此时点P所对应的数．
（3）数轴上一点C距A点7.2个单位长度，其对应的数c满足|ac|＝﹣ac．当P点满足PB＝2PC时，求P点对应的数．
12．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足|a+20|＝﹣（b﹣13）2，点C对应的数为16，点D对应的数为﹣13．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为6个单位/秒，点B的速度为2个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发．当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动，当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上对应的数．
13．【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”表达了数形结合的重要性．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
【理解应用】如图1，已知数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，其中b是最大的负整数，且a，b，c满足（a﹣4b）2+|c﹣11|＝0．
（1）请你直接写出a，b，c的值，a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）若D为数轴上的一个动点，且DC＝3DB，求点D在数轴上表示的数．
【拓展延伸】（3）若点P，R，Q分别从点A，B，C同时出发在数轴上运动，点P以每秒4个单位的速度向左运动，点Q以每秒5个单位的速度向右运动，点R以每秒3个单位的速度朝某个方向运动，若PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，请求出n的值．
14．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作P̂，即P̂=POPA，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以P̂=1．
（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是-14，点P2与P1关于原点对称．
①P2= ；
②比较P1，P2，P3的大小 （用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OM=13OA，求M̂；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知P̂＜100且P̂为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为 ．
15．如图，数轴上从左到右排列的A，B，C三点的位置如图所示．点B表示的数是3，A和B两点间的距离为8，B和C两点间的距离为4．
（1）求A，C两点分别表示的数；
（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．
①当点P运动到与点B和点C的距离相等时，求t的值；
②若同时，有M，N两动点分别从点B，C同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，把点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，当PM+PN取最小值时，求t的最大值和最小值．
2024年中考数学复习探究性试题---数轴
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为 9 ；图中点A所表示的数是 12 ；点B所表示的数是 21 ；
（2）受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生；你若是我现在这么大，我就84岁啦！”则爸爸的年龄是 56 岁．（在图2中标出分析过程）
②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要14年才出生；你若是我现在这么大．我就118岁啦！”则爷爷的年龄是 74 岁．（画出示意图展示分析过程）
【考点】数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）9，12，21；
（2）①56，②74．
【分析】（1）由图象可知3倍的AB长为30﹣3＝27，即可求AB得长度．A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A的左侧，距离A有9个单位长度，故B点为21．
（2）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爸爸（爷爷）的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出．
【解答】解：（1）观察数轴可知三根这样长的木棒长为30﹣3＝27，则这根木棒的长为27÷3＝9，
∴A点表示为3+9＝12，B点表示的数是3+9+9＝21，
故答案为：9，12，21；
（2）①借助数轴，把小明和爸爸的年龄差看作木棒AB，
同理可得爸爸比小明大84÷3＝28，
∴爸爸的年龄是84﹣28＝56（岁），
故答案为：56．
②借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看作木棒AB，
同理可得爷爷比小明大（118+14）÷3＝44，
∴爷爷的年龄是118﹣44＝74（岁），
故答案为：74．
【点评】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键．
2．数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．
（1）a＝ ﹣1 ，b＝ 3 ；
（2）若PA＝2PB，求x的值；
（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请间在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【考点】数轴．
【答案】（1）﹣1，3；
（2）x的值为 53 或7；
（3）3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化．
【分析】（1）根据OB＝3OA，且AB＝4，求出OA和OB即可解答；
（2）分三种情况分析，当P点在A点左侧时，当P点位于A、B两点之间时，当P点位于B点右侧时，依次令PA＝2PB，即可解答；
（3）表示出t秒后的各点，再计算3PB﹣PA，得出固定结果，即可说明．
【解答】（1）∵OB＝3OA，且AB＝4，
∴OA＝1，OB＝3，
∴a＝﹣1，b＝3，
故答案为：﹣1，3；
（2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去．
②当P点位于A、B两点之间时，
因为PA＝2PB，
所以 x+1＝2（3﹣x），
所以 x=53．
③当P点位于B点右侧时，
因为 PA＝2PB，
所以 x+1＝2（x﹣3），
所以 x＝7．
故x的值为 53 或7．
（3）t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为 2t，B点的值为（3+3t），
所以3PB﹣PA
＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）]
＝9+3t﹣（2t+1+t）
＝9+3t﹣3t﹣1
＝8．
所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化．
【点评】本题考查了数轴，线段的和差关系及动点的应用是解题关键．
3．【定义】点M，N，Q是一条直线上从左到右的三个点，若直线上点P满足PM+PN＝PQ，则称点P是点M，N，Q的“和谐点”．
【理解】
（1）在数轴上（图1），点A，B，C，P表示的数分别为﹣2，0，5，1，点P是否为点A，B，C的“和谐点”？请通过计算作出判断．
（2）点A，B，C是一条直线上从左到右的三个点，且AB＝2，BC＝3，若点P是点A、B、C的“和谐点”，则AP的长是 3或73 ．
【拓展】
（3）在数轴上（图2），点A，B，C表示的数分别为a，a+2，a+5（a是整数），点P在点A的左侧，且点P是点A、B、C的“和谐点”，点A、B、C、P表示的数之和是否能被4整除？请通过计算作出判断．
【考点】数轴．
【专题】数形结合；数感；推理能力．
【答案】（1）是；（2）3或73；（3）能被4整除．
【分析】（1）根据PM+PN＝PQ，则称点P是点M，N，Q的“和谐点”，在﹣2，0，5，1选择合适的数据，确定出P的位置．
（2）由AB＝2，BC＝3，若点P是点A、B、C的“和谐点”，设P表示的教为x，分情况讨论．
（3）P在A左侧时，设AP＝m，则PB＝m+2，PC＝m+5，化简即可．
【解答】解：（1）∵PA＝3，PB＝1，PC＝4，
∴PA+PB＝PC
∴点P是A，B，C的“和谐点”，
（2）以A为原点建立数轴，则A表示0，B表示2，C表示5，
设P表示的教为x，
①P在A左边时，令PA+PB＝PC，
即 （0﹣x）+（2﹣x）＝（5﹣x），
x＝﹣3，
此时AP＝3．
②P在AB之间时，令PA+PB＝PC，
即（x﹣）+（2﹣x）＝（5﹣x），
x＝3（舍去）．
③P在BC之间时，令PA+PB＝PC，
即（x﹣0）+（x﹣2）＝（5﹣x），
解得：x=73．
此时AP=73．
P在C点右侧时，不可能PA+PB＝PC．
（3）P在A左侧时，
设AP＝m，则PB＝m+2，PC＝m+5，
且满足PA+PB＝PC，即m+m+2＝m+5，
解得：m＝3，
∴p表示的数为 a﹣3．
A、B、C、P来示的数之和为：a﹣3+a+a+2+a+5＝4a+4＝4（a+1）（a为整数），
∴能被4整除．
故答案是：（1）是；（2）﹣3或73；（3）能被4整除．
【点评】本题主要考查的是数轴，根据阅读内容进行转化，同时考查了线段的和差，列方程求解．
4．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ 1 ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
【考点】数轴．
【专题】数形结合；分类讨论；实数；数据分析观念；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察数轴，可得答案；
（2）根据点P在点A左侧或点P在点A右侧，分别列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出BP和AP，再计算4BP﹣AP，即可得答案．
【解答】解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1；
故答案为：1；
（2）∵AP+BP＝8，
∴若点P在点A左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝8，
∴x＝﹣3，
若点P在点A右侧，则x+1+x﹣3＝8，
∴x＝5，
∴x的值为﹣3或5．
（3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2，
AP＝t+6+3t＝4t+6，
∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2，
∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化．
【点评】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．
5．一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表（我们约定向东为正，向西为负，单位：千米）
（1）快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？
（2）在第 五 次记录时快递小哥距公司P地最远；
（3）如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？
【考点】数轴；正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】（1）最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米；
（2）五；
（3）快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元．
【分析】（1）利用有理数的加减法，求七个数的和，得出的数是正数，表示在公司东，是负数，就在公司西；
（2）从第一个数开始，绝对值最大的就是最远距离；
（3）首先算出走过的路，即各数的绝对值的和，乘以每千米耗油量，再乘以单价即可．
【解答】解：（1）﹣2+7﹣9+10+4﹣5﹣8＝﹣3（千米），
答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米；
（2）|﹣2|＝2（千米）|﹣2+7|＝5（千米），|﹣2+7﹣9|＝4（千米），|﹣2+7﹣9+10|＝6（千米），|﹣2+7﹣9+10+4|＝10（千米），|﹣2+7﹣9+10+4﹣5|＝5（千米），|﹣2+7﹣9+10+4﹣5﹣8|＝3（千米），
∴第五次快递小哥距公司P最远．
故答案为：五；
（3）|﹣2|+|+7|+|﹣9|+|+10|+|+4|+|﹣5|+|﹣8|＝45（千米），∴0.08×45＝3.6（升），7.2×3.6＝25.92（元），
答：快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元．
【点评】本题考查的是绝对值的性质，有理数的加减和乘法，大小比较等知识，关键就是要求学生对有理数相关知识的要熟练掌握．
6．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2．若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6．
（1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是4，则点B表示的数为 1 ；
（2）已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”C2表示的数为11，则点C表示的数为 52或5 ；
（3）若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值．
【考点】数轴．
【专题】新定义；分类讨论；数与式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设B表示的数为x，利用“k被关联点”的定义列出方程即可解决问题；
（2）由于没有给出具体m，n的值，m，n为正整数，所以“6被关联点”要分4种情况进行，根据定义列出方程求出C表示的数，然后根据已知得到满足条件的C值即可；
（3）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“k被关联点”的定义列出方程列出方程，再根据k的取值与t无关即可确定对应的m，n的值，进而确定k的值．
【解答】解：（1）设B表示的数为x，则有：2（x+1）＝4，
∴x＝1，
即B表示的数为1．
故答案为：1．
（2）设C表示的数为y，C在M的右侧，则y＞2，
∵6的正因数有1、2、3、6，
∴①当m＝1，n＝6时，则有6（y+1）＝11，解得：y=56＜2，不符合题意，舍去；
②当m＝2，n＝3时，则有3（y+2）＝11，解得：y=53＜2，不符合题意，舍去；
③当m＝3，n＝2时，则有2（y+3）＝11，解得：y=52＞2，符合题意；
④当m＝6，n＝1时，则有y+6＝11，解得：y＝5＞2，符合题意；
综上所述，y为52或5，即C表示的数为52或5．
故答案为：52或5．
（3）设运动时间为t秒，则P表示的数为2+2t，Q点表示的数为﹣3+t，
∵点P始终为点Q的“k倍关联点”，
∴n（﹣3+t+m）＝2+2t，
∴（n﹣2）t+（﹣3n+mn﹣2）＝0，
对于任意t都成立
∴n＝2，3n+mn﹣2＝0，
解得：n＝2，m＝4，
∴k＝8．
【点评】此题的关键是根据已知理解新定义，同时能够灵活运用定义解决问题，同时要注意分情况进行讨论．
7．阅读材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，这个结论我们可以推广到数轴上任意两点之间的距离，如图，若数轴上两点A、B分别对应有理数a、b，则A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．
根据阅读材料，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 5 ；
（2）数轴上表示x和﹣2的两点A、B间的距离是 |x+2| ，若AB＝3，则x ﹣5或1 ；
（3）求|x﹣6|﹣|x+2|的最大值，并求出x的取值范围；
（4）互不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C．若|a﹣b|+|c﹣a|＝|b﹣c|，请分析判断在点A、B、C中哪个点居于另外两点之间．
【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】（1）5；
（2）|x+2|，﹣5或1；
（3）x≤﹣2；
（4）点A位于点B、C之间．
【分析】（1）绝对值内相减即可解答；
（2）绝对值内相减，再代入3即可解答；
（3）分析差最大时的点应在﹣2或﹣2的左侧即可解答；
（4）根据已知判断AB+AC＝BC，即可解答．
【解答】解：（1）2﹣（﹣3）＝5，
∴表示2和﹣3的两点之间的距离是5，
故答案为：5；
（2）|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
∵|x+2|＝3，
∴x＝﹣5或1，
故答案为：|x+2|，﹣5或1；
（3）|x﹣6|﹣|x+2|表示的是x与6和x与﹣2的距离的差，
当x≤﹣2时，6﹣（﹣2）＝8，
∴x的取值范围为x≤﹣2；
（4）∵|a﹣b|+|c﹣a|＝|b﹣c|，
∴AB+AC＝BC，
∴点A位于点B、C之间．
【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质的应用是解题关键．
8．如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a、b满足|a+16|+（b﹣4）2＝0．
（1）点A表示的数为 ﹣16 ，点B表示的数为 4 ；
（2）若点C是线段AB上一点，点H为线段AC的中点，图中所有的线段长度和是64，求点H表示的数；
（3）若点P开始从点A以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从点B开始以每秒1个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，M是线段PB的中点，N是线段BQ的中点．若线段MN＝2，求t．
【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】代数几何综合题；数感；几何直观；模型思想．
【答案】（1）﹣16，4；（2）﹣12；（3）16或24．
【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得到a+16＝0，b﹣4＝0，可得出a、b的值，进而得出点A、B的表示的数；
（2）从条件所有线段的和为64入手，再由点A、B表示的数及点H为线段AC的中点，可得到3AB+CH＝64，可得出点H表示的数；
（3）当运动时间为t时，点P表示的数为﹣16+2t，点Q表示的数为4+t，计算出M，N表示的数，结合MN＝2，得出一个关于t的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：a+16＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝﹣16，b＝4，
∴点A表示的数为﹣16，点B表示的数为4．
故答案为：﹣16，4．
（2）∵点A表示的数为﹣16，点B表示的数为4，
∴AB＝20，
∵所有线段的和为64，
∴AH+AC+AB+HC+HB+CB＝2AC+2BC+AB+HC＝3AB+HC＝64，
∴HC＝4，
∴AH＝4，
∴点H表示的数为：﹣16+4＝﹣12．
（3）当运动时间为t时，点P表示的数为：﹣16+2t，点Q表示的数为：4+t，
16÷2＝8（秒），当MN的距离为2时，点P在B的右侧，
则点M表示的数为：-16+2t-42+4=t-6，则点N表示的数为：4+t2，
∴t-6-(t2+4)=±2，
解得：t＝16或t＝24，
答：t的值为16或24.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键是构建一元一次方程，正确解方程．
9．根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示．
①A点表示的数是 ﹣2 ；AB之间的距离是 4 ；
②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是 ﹣2 ；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 8 cm？
②图中点A所表示的数是 14 ，点B所表示的数是 22 ；
（3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为﹣37，
根据琪琪的想法，完成一下问题：
①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为 119 ，
②求奶奶现在多少岁了．
【考点】数轴．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】（1）①﹣2，4；②﹣2；
（2）①8；②14，22；
（3）①119；②奶奶现在的年龄67岁．
【分析】（1）①从图中数轴可直接得出答案；②将点平移即可得出答案；
（2）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加8即可解答；
（3）①由题得最大数为119，即为答案；②最大数减去最小数，再除以3，再用119减去AB即可．
【解答】解：（1）①如图点A表示﹣2，点B表示2，
∴AB＝4，
故答案为：﹣2，4；
②将点B向左平移4个单位，
该点表示的数是﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）①30﹣6＝24，24÷3＝8，
∴这根木棒的长为8cm，
故答案为：8；
②6+8＝14，30﹣8＝22，
∴点A所表示的数是14，点B所表示的数是22，
故答案为：14，22；
（3）①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为119，
故答案为：119；
②妙妙和奶奶的年龄差为：[119﹣（﹣37）]÷3＝52（岁），
∴奶奶现在的年龄：119﹣52＝67（岁）．
【点评】本题考查了数轴，点的平移规律及合理的计算是解题关键．
10．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm．
（1）求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少cm？
（2）求在数轴上点B所对应的数b；
（3）若Q是数轴上一点，且满足A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，求点Q在数䌷上所对应的数．
【考点】数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）0.7cm；
（2）﹣4；
（3）﹣1或﹣13．
【分析】（1）先求出数轴上点A和点B的距离，再根据刻度尺上点A和点B的距离即可求出答案；
（2）用刻度尺上点A和点B的距离除以数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度即可求出数轴上点A和点B的距离，由此可得点B表示的数；
（3）设数轴上点Q表示的数为x，则点A和点Q的距离为|x+7|，再由A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，可得|x+7|＝2×3＝6，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）∵在数轴上点A和点C分别表示的数为﹣7，2，
∴数轴上点A和点C的距离为2﹣（﹣7）＝9，
∵在刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.3cm，
∴刻度尺上，点A和点C的距离为6.3cm，
∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是6.39=0.7cm；
（2）∵刻度尺上，点A和点B的距离为2.1cm，
∴在数轴上，点A和点B的距离为2.1÷0.7＝3，
∴点B表示的数为﹣7+3＝﹣4，
∴b＝﹣4；
（3）设数轴上点Q表示的数为x，
∵点A和点B表示的数为﹣7，
∴点A和点Q的距离为|x﹣（﹣7）|＝|x+7|，
∵A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，
∴|x+7|＝2×3＝6，
∴x+7＝±6，
∴x＝﹣1或x＝﹣13，
∴点Q表示的数为﹣1或﹣13．
【点评】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键．
11．已知数轴上的点A，B对应的有理数分别为a，b，且(12ab+10)2+|a-2|=0，点P是数轴上的一个动点．
（1）求出A，B两点之间的距离．
（2）若点P到点A和点B的距离相等，求出此时点P所对应的数．
（3）数轴上一点C距A点7.2个单位长度，其对应的数c满足|ac|＝﹣ac．当P点满足PB＝2PC时，求P点对应的数．
【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【答案】（1）12，（2）﹣4，（3）﹣0.4或﹣6.8．
【分析】（1）根据初中阶段学的x2≥0，|x|≥0可求解a、b的值；
（2）根据两点间的中点坐标公式，即可求出P点对应的数；
（3）根据已知条件求出C点表示的数，再设未知数，表示PB和PC，根据PB＝2PC列方程即可．
【解答】（1）∵(12ab+10)2≥0，|a﹣2|≥0，
又∵(12ab+10)2+|a-2|=0，
∴(12ab+10)2=0，|a﹣2|＝0，
∴12ab+10=0，a﹣2＝0，
∴a＝2，b＝﹣10，
∴A点对应的数为2，B点对应的数为﹣10，
∴AB的距离＝2﹣（﹣10）＝12．
（2）∵P到A，B的距离相等，
∴P为AB中点，
∴P点对应的数为：2+(-10)2=-4．
（3）∵C距离A点7.2个单位长度，
∴C对应的数为：（2+7.2）或（2﹣7.2），
又∵|ac|＝﹣ac，∴ac＜0，即a和c异号，
∵a＝2，
∴c＝2﹣7.2＝﹣5.2，
设P点对应的数为m，
则PB＝|m﹣（﹣10）|＝|m+10|，PC＝|m﹣（﹣5.2）|＝|m+5.2|，
∵PB＝2PC，
∴|m+10|＝2|m+5.2|，
∴m+10＝2（m+5.2）或m+10＝﹣2（m+5.2），
解方程得，m＝﹣0.4或m＝﹣6.8．
综上所述，P点对应的数为﹣0.4或﹣6.8．
【点评】本题考查了数轴、中点坐标公式以及用方程思想解决数轴问题，注意分情况讨论是解决本题的关键．
12．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足|a+20|＝﹣（b﹣13）2，点C对应的数为16，点D对应的数为﹣13．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为6个单位/秒，点B的速度为2个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发．当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动，当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上对应的数．
【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据非负数的性质，建立方程求出a，b的值；
（2）根据A，B两点到原点O的距离相等分两种情况，当A、B在原点的右侧A、B相遇和A、B在原点的异侧时，建立方程求出其解即可；
（3）分三种情况讨论：当A、B在原点的右侧相遇时；当点A从点C返回出发点时与B相遇；当点A从出发点返回点C时与点B相遇．分别依据线段的和差关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得
|a+20|+（b﹣13）2＝0，
∴a+20＝0，b﹣13＝0，
解得：a＝﹣20，b＝13；
（2）∵点B对应的数为13，A对应的数是﹣20，
∴AB＝36，AO＝20，BO＝13．
当A、B在原点的异侧时，
若点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，则
20﹣6t＝13﹣2t，
解得：t=74．
当A、B在原点的右侧相遇时，点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，则
6t+2t＝33，
t=338，
∴A，B两点到原点O的距离相等时，t的值为74s或 338s．
（3）B点运动至D点所需的时间为26÷2＝13（s），故t≤13，
由（2）得，
当t=338时，A，B两点同时到达的点表示的数是13-338×2=194；
由题意，得
当点A从点C返回出发点时，若与B相遇，则
6t﹣2t＝20+16+（16﹣13），
解得：t=394，
此时A，B两点同时到达的点表示的数是13-394×2=-132．
当点A从出发点返回点C时，若与点B相遇，则
6t+2t＝2（20+16）+20+13，
解得t＝1318（不合题意）；
综上所述，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数为：194，-132．
【点评】本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用，绝对值的运用，非负数性质的运用，解答时根据行程问题的追击问题和相遇问题的数量关系建立方程是关键．
13．【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”表达了数形结合的重要性．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
【理解应用】如图1，已知数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，其中b是最大的负整数，且a，b，c满足（a﹣4b）2+|c﹣11|＝0．
（1）请你直接写出a，b，c的值，a＝ ﹣4 ，b＝ ﹣1 ，c＝ 11 ．
（2）若D为数轴上的一个动点，且DC＝3DB，求点D在数轴上表示的数．
【拓展延伸】（3）若点P，R，Q分别从点A，B，C同时出发在数轴上运动，点P以每秒4个单位的速度向左运动，点Q以每秒5个单位的速度向右运动，点R以每秒3个单位的速度朝某个方向运动，若PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，请求出n的值．
【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；数学常识；有理数．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣4，﹣1，11；（2）2或﹣7；（3）n=-98或n=-92．
【分析】（1）依据题意，由非负数的性质，求出b＝﹣1，a﹣4b＝0，c﹣11＝0，进而计算可以得解；
（2）依据题意，分点D在线段BC上和点D在线段CB的延长线上两种情况列方程，解方程可得答案；
（3）分R向左或向右两种情况分别用t表示点P、Q、R表示的数，然后根据PQ+nRQ为定值计算即可．
【解答】解：（1）∵b是最大的负整数，
∴b＝﹣1．
∵（a﹣4b）2+|c﹣11|＝0，
∴a﹣4b＝0，c﹣11＝0．
∴a＝﹣4，c＝11．
故答案为：﹣4，﹣1，11．
（2）设D表示的数d，
当点D在线段BC上时，则CD＝11﹣d，DB＝d+1．
∵DC＝3DB，
∴11﹣d＝3（d+1）．
解得d＝2；
当点D在线段CB的延长线上时，则CD＝11﹣d，DB＝﹣1﹣d．
∵DC＝3DB，
∴11﹣d＝3（﹣1﹣d）．
∴d＝﹣7．
综上，点D表示的数是2或﹣7．
（3）当R以每秒3个单位的速度向左运动时，
点P表示的数为﹣4﹣4t，点Q表示的数为11+5t，点R表示的数为﹣1﹣3t，
∴PQ＝11+5t﹣（﹣4﹣4t）＝9t+15，RQ＝11+5t﹣（﹣1﹣3t）＝8t+12．
∴PQ+nRQ＝9t+15+n（8t+12）＝（9+8n）t+（15+12n）．
又∵PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，
∴9+8n＝0．
∴n=-98．
当R以每秒3个单位的速度向右运动时，
点P表示的数为﹣4﹣4t，点Q表示的数为11+5t，点R表示的数为﹣1+3t，
∴PQ＝11+5t﹣（﹣4﹣4t）＝9t+15，RQ＝11+5t﹣（﹣1+3t）＝2t+12．
∴PQ+nRQ＝9t+15+n（2t+12）＝（9+2n）t+（15+12n）．
又∵PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，
∴9+2n＝0．
∴n=-92．
∴n=-98或n=-92．
【点评】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
14．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作P̂，即P̂=POPA，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以P̂=1．
（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是-14，点P2与P1关于原点对称．
①P2= 13 ；
②比较P1，P2，P3的大小 P1＜P2＜P3 （用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OM=13OA，求M̂；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知P̂＜100且P̂为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为 198 ．
【考点】数轴；有理数的混合运算．
【专题】新定义；分类讨论；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据定义求出线段P2A与P2O的值即可解答；
②根据定义分别求出P1，P3的值即可比较；
（2）分两种情况，点M在原点的右侧，点M在原点的左侧；
（3）根据题意可知，分两种情况，点P在点A的右侧，点P在OA之间．
【解答】解：（1）①∵点P1表示的数是-14，点P2与P1关于原点对称，
∴点P2表示的数是14，
∵点A表示的数是1，
∴P2A＝1-14=34，P2O=14，
∴P2=P2OP2A=1434=13，
②∵点P1表示的数是-14，
∴P1A＝1﹣（-14）=54，P1O=14，
∴P1=P1OP1A=1454=15，
∵1＜P3＜2，
∴1＜P3O＜2，0＜P3A＜1，
∴P3=P3OP3A＞1，
∴P1＜P2＜P3，
故答案为：①13，②P1＜P2＜P3；
（2）分两种情况：
当点M在原点的右侧，
∵OM=13OA，
∴OM=13，
∴点M表示的数为：13，
∴MO=13，MA＝1-13=23，
∴M̂=MOMA=1323=12，
当点M在原点的左侧，
∵OM=13OA，
∴OM=13，
∴点M表示的数为：-13，
∴MO=13，MA＝1﹣（-13）=43，
∴M̂=MOMA=1343=14，
∴M̂的值为：12或14；
（3）∵P̂＜100且P̂为整数，
∴P̂=POPA为整数，
∴PO＞PA且PO为PA的倍数，
当P̂=POPA=1时，
∴PO＝PA，
即点P为OA的中点，
∴p=12，
∴当P̂=1时，p的值为12，
当P̂=POPA=2时，
∴PO＝2PA，
当点P在OA之间，
∴p＝2（1﹣p），
∴p=23，
当点P在点A的右侧，
∴p＝2（p﹣1），
∴p＝2，
∴当P̂=2时，p的值为：2或23，
当P̂=POPA=3时，
∴PO＝3PA，
当点P在OA之间，
∴p＝3（1﹣p），
∴p=34，
当点P在点A的右侧，
∴p＝3（p﹣1），
∴p=32，
∴当P̂=3时，p的值为：34或32，
当P̂=POPA=4时，
∴PO＝4PA，
当点P在OA之间，
∴p＝4（1﹣p），
∴p=45，
当点P在点A的右侧，
∴p＝4（p﹣1），
∴p=43，
∴当P̂=4时，p的值为：45或43，
…
当P̂=POPA=99时，
∴PO＝99PA，
当点P在OA之间，
∴p＝99（1﹣p），
∴p=99100，
当点P在点A的右侧，
∴p＝99（p﹣1），
∴p=9998，
∴当P̂=99时，p的值为：99100或9998，
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
2+32+12+43+23+54+34+...+10099+9899
＝2+（32+12）+（43+23）+（54+34）+...+（10099+9899）
＝2+2+2+2+...+2
＝2×99
＝198，
故答案为：198．
【点评】本题考查了数轴，有理数的混合运算，理解题目中的定义，线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作P̂，是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
15．如图，数轴上从左到右排列的A，B，C三点的位置如图所示．点B表示的数是3，A和B两点间的距离为8，B和C两点间的距离为4．
（1）求A，C两点分别表示的数；
（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．
①当点P运动到与点B和点C的距离相等时，求t的值；
②若同时，有M，N两动点分别从点B，C同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，把点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，当PM+PN取最小值时，求t的最大值和最小值．
【考点】数轴；列代数式；两点间的距离．
【专题】分类讨论；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）A，C两点表示的数分别是：﹣5、7；
（2）①t的值为：5；
②t的最大值为4，最小值为83．
【分析】（1）B表示的数是3，AB＝8，A在B左边，则A为3﹣8＝﹣5，由于BC＝4，C在B右侧，则C为3＝4＝7；
（2）①根据题意t s时，P表示的数为﹣5+2t，因为点P运动到与点B和点C的距离相等时，故P为BC中点，可得3+7＝2（﹣5+2t），解方程即可；
②根据题意可得t s时，M表示的数是3﹣t，N表示的数是7﹣t，P表示的数是：﹣5+2t，则PM=，PN=，可得PM+PN=+，分类讨论即可解决．
【解答】解：（1）∵B表示的数是3，AB＝8，
∴A表示的数是3﹣8＝﹣5，
∵BC＝4，
∴C表示的数是3+4＝7，
∴A，C两点表示的数分别是：﹣5、7；
（2）∵A点表示的数是：﹣5，
∴动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，
∴t秒时，P表示的数是﹣5+2t，
①当点P运动到与点B和点C的距离相等时，
∵B表示的数是3，C表示的数是7，
∴3+7＝2（﹣5+2t），
解得：t＝5，
故t的值为：5；
②∵B表示的数是3，C表示的数是7，
∴M，N两动点分别从点B，C同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿着数轴向左运动，
∴t秒时，M表示的数是3﹣t，N表示的数是7﹣t，
∵P表示的数是：﹣5+2t，
∴PM==，
PN==，
∴PM+PN=+，
当t＜83时，PM+PN=+=8﹣3t+12﹣3t＝20﹣6t＜4，
当83≤t≤4时，PM+PN=+=3t﹣8+12﹣3t＝4，
当t＞4时，PM+PN=+=3t﹣8+3t﹣12＝6t﹣20＞4，
故当PM+PN最小值为4，此时83≤t≤4，
∴t的最大值为4，最小值为83．
【点评】本题考查列代数式以及两点间的距离，分类讨论是解决问题的关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
5．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
6．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
7．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
8．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
9．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
10．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
﹣2
+7
﹣9
+10
+4
﹣5
﹣8
第一次
第二次
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