2024年中考数学复习探究性试题---无理数与实数

这是一份2024年中考数学复习探究性试题---无理数与实数，共40页。试卷主要包含了阅读下面的文字，解答问题，材料一，探索与应用，观察下列各式，阅读感悟等内容，欢迎下载使用。

1．甲同学用如图方法作出C点，表示数13，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O，A，C在同一数轴上，OB＝OC
（1）请说明甲同学这样做的理由；
（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示-29的点A．
2．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答下列问题：
（1）求出3+2的整数部分和小数部分；
（2）已知：10+5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．
3．如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点，AB表示点A与点B的距离．
（1）求AB，BC的值；
（2）若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数；
（3）动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…，在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次．
4．材料一：若a是正整数，a除以13的余数为1，则称a是“映辰数”例如：14是正整数，且14÷13＝1⋯1⋅，则14是“映辰数”；41是正整数，且41÷13＝3…2，则41不是“映辰数”
材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，规定：F（p）=a+c-22b+10d．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）判断：300，1029是不是“映辰数”，并说明理由．
（2）若有一四位正整数q是“映辰数”，q的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，且F(q)是有理数，求所有满足条件的q．
5．已知多项式x3﹣3xy2﹣4的常数项是a，次数是b
（1）直接写出a，b，并将这两个数在数轴上所对应的点A、B表示出来；
（2）数轴上A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|，设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|+|PB|＝13时，直接写出x的值 ；
（3）若点A、点B同时沿数轴向正方向运动，点A的速度是点B的2倍，且3秒后，32AO＝OB，求点B的速度．
6．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+x＝0，则有：1x2+1y2+1z2=|1x+1y+1z|．
例如：122+132+152=122+132+1(-5)2=|12+13+1(-5)|=1930，请解决下列问题：
（1）求122+142+162的值．
（2）设S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120192+120202，求s的整数部分．
（3）已知x+y+x＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当1x2+1y2+1z2+|1x-1y-1z|取得最小值时，求1x的取值范围．
7．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10≈3.16，则1000≈ ；
②已知3.24=1.8，若a=180，则a＝ ；
（3）拓展：已知312≈2.289，若3z=0.2289，则z＝ ．
8．观察下列各式
（1）根据你发现的规律填空： ＝ ；
（2）猜想n-nn2+1（n≥2，n为自然数）等于什么，并通过计算证实你的猜想．
9．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究2的近似值，以下是他的探究过程：
面积为2的正方形边长为2，可知2＞1，因此设2=1+r，画出如图的示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝r2+2×1•r+1，另一方面S正方形＝2，则r2+2×1•r+1＝2，由于r2较小故略去，得2r+1≈2，则r≈0.5，即2≈1.5．
（1）仿照康康上述的方法，探究7的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
（2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的7的近似值的基础上，再探究一次，使求得的7的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
（3）综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜b＜n+1，且b＝n2+m，试用含n和b的式子表示b的估算值．
10．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．
11．如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
12．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：已知10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
13．阅读下列解题过程：1-34=14=(12)2=12；1-59=49=(23)2=23；1-716=916=(34)2=34；…
（1）1-925= ，1-1564= ．
（2）观察上面的解题过程，则1-2n+1(n+1)2= （n为自然数）
（3）利用这一规律计算：(1-34)(1-59)(1-716)⋯(1-992500)．
14．如图1，数轴上O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边）．
（1）若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合，直尺AB的长为 个单位长度．
（2）若直尺AB在数轴上移动，且满足BC＝5OA，请借助图2求此时点A对应的数；
（3）如图3，在数轴前面放一个以OC为边不透明的长方形挡板，将直尺AB放在挡板后数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到直尺完全被看到．
①若向左移动所经历时间是向右移动所经历时间的2倍，求直尺起初放置时点A对应的数为多少？
②若不透明的挡板与直尺AB同时出发，挡板沿数轴以1个单位/秒的速度向右移动，当点A对应的数为多少时，向左、向右移动所经历的时间相差2秒？
15．给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：7-38=7×38+4，故(7，38)是一对“相关数”．
（1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是 ；
（2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值；
（3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由．
2024年中考数学复习探究性试题---无理数与实数
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．甲同学用如图方法作出C点，表示数13，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O，A，C在同一数轴上，OB＝OC
（1）请说明甲同学这样做的理由；
（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示-29的点A．
【考点】实数与数轴；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得到点C表示的数；
（2）由29＝25+4，依据勾股定理即可做出表示-29的点．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OB=OA2+OB2=22+32=13，
∵OB＝OC，
∴OC=13．
∴点C表示的数为13．
（2）如图所示：
取OB＝5，作BC⊥OB，取BC＝2．
由勾股定理可知：OC=OB2+BC2=52+22=29．
∵OA＝OC=29．
∴点A表示的数为-29．
【点评】本题主要考查的是实数与数轴、勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
2．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答下列问题：
（1）求出3+2的整数部分和小数部分；
（2）已知：10+5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．
【考点】估算无理数的大小；实数的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先估算出3的范围，求出3+2的范围，即可得出答案；
（2）先估算出5的范围，再求出10+5的范围，求出x、y的值，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵1＜3＜2，
∴3＜3+2＜4，
∴3+2的整数部分是1+2＝3，3+2的小数部分是3-1；
（2）∵2＜5＜3，
∴12＜10+5＜13，
∴10+5的整数部分是12，10+5的小数部分是10+5-12=5-2，
即x＝12，y=5-2，
∴x﹣y＝12﹣（5-2）＝12-5+2＝14-5，
则x﹣y的相反数是5-14．
【点评】本题考查了估算出无理数的范围，能估算出3和5的范围是解此题的关键．
3．如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点，AB表示点A与点B的距离．
（1）求AB，BC的值；
（2）若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数；
（3）动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…，在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 2或29 次．
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力．
【答案】（1）3；9；
（2）17或5；
（3）2或29．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AB、BC的值；
（2）设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可；
（3）设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x＝﹣16或0，再根据点P的移动规律可得答案．
【解答】解：（1）AB＝|﹣1﹣（﹣4）|＝3，
BC＝|8﹣（﹣1）|＝9；
（2）设点P表示的数是x，
则PB＝|x+1|，PC＝|x﹣8|，
∴|x+1|＝2|x﹣8|，
解得x＝17或5；
（3）设点P表示的数是x，
则PA＝|x+4|，PC＝|x﹣8|，
∴|x﹣8|＝2|x+4|，
解得x＝﹣16或0，
根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，
它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次．
故答案为：2或29．
【点评】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
4．材料一：若a是正整数，a除以13的余数为1，则称a是“映辰数”例如：14是正整数，且14÷13＝1⋯1⋅，则14是“映辰数”；41是正整数，且41÷13＝3…2，则41不是“映辰数”
材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，规定：F（p）=a+c-22b+10d．
请根据以上材料，解决下列问题：
（1）判断：300，1029是不是“映辰数”，并说明理由．
（2）若有一四位正整数q是“映辰数”，q的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，且F(q)是有理数，求所有满足条件的q．
【考点】算术平方根；整式的加减．
【专题】新定义；推理能力．
【答案】（1）300是“映辰数”，1029不是“映辰数”，理由见解答部分；
（2）符合题意的q的值为1236或1288．
【分析】（1）根据“映辰数”的定义进行判断即可；
（2）由题意可知，q＝1000a+100b+10c+d，根据“q的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4”可得出a，b的值，再根据“映辰数”的定义可得关于c，d的方程，再进行讨论即可．
【解答】解：（1）300是“映辰数”，1029不是“映辰数”，理由如下：
300是正整数，且300÷13＝23⋯1，则300是“映辰数”；
1029是正整数，且1029÷13＝79…2，则1029不是“映辰数”；
（2）由题意可知，q＝1000a+100b+10c+d，
∵q的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，
∴a＝b﹣1＞0且a+b≤4，
解得1＜b≤2.5，
∴b＝2，a＝1，
∴q＝1200+10c+d＝13×92+4+10c+d，
∵q是“映辰数”，
∴10c+d+4是“映辰数”，
设10c+d+4＝13k+1，
整理得，13k＝10c+d+3，
∵F(q)是有理数，
∴F（q）≥0．
∴﹣22×2+10d≥0，解得d≥4.4；
当k＝0时，不合题意；
当k＝1时，c＝1，d＝0＜4.4，不合题意；
当k＝2时，c＝2，d＝3＜4.4，不合题意；
当k＝3时，c＝3，d＝6，q＝1236，F（q）=a+c-22b+10d=1+3-22×2+60=14=（12）2，符合题意；
当k＝4时，c＝4，d＝9，q＝1249，F（q）=a+c-22b+10d=1+4-22×2+90=546，不符合题意；
当k＝5时，c＝6，d＝2＜4.4，不合题意；
当k＝6时，c＝7，d＝5，q＝1275，F（q）=a+c-22b+10d=1+7-22×2+50=43，不符合题意；
当k＝7时，c＝8，d＝8，q＝1288，F（q）=a+c-22b+10d=1+8-22×2+80=14=（12）2，符合题意；
当k＝8时，c＝10，d＝0，不合题意，舍．
综上，符合题意的q的值为1236或1288．
【点评】此题主要考查了新定义，不等式的应用，灵活应用新定义是解本题的关键．
5．已知多项式x3﹣3xy2﹣4的常数项是a，次数是b
（1）直接写出a，b，并将这两个数在数轴上所对应的点A、B表示出来；
（2）数轴上A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|，设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|+|PB|＝13时，直接写出x的值 6或﹣7 ；
（3）若点A、点B同时沿数轴向正方向运动，点A的速度是点B的2倍，且3秒后，32AO＝OB，求点B的速度．
【考点】实数与数轴；单项式；多项式；一元一次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据多项式中常数项及多项式的次数的定义即可求解；
（2）根据|PA|+|PB|＝13列出方程，解方程即可；
（3）设点B的速度为v，则A的速度为2v，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论．
【解答】解：（1）∵多项式x3﹣3xy2﹣4的常数项是a，次数是b，
∴a＝﹣4，b＝3，
点A、B在数轴上如图所示：
（2）根据题意得
|x﹣（﹣4）|+|x﹣3|＝13，
点P在A点左边，﹣x﹣4﹣x+3＝13，解得x＝﹣7；
点P在A点右边，x+4+x﹣3＝13，解得x＝6．
故x的值为6或﹣7；
（3）设B速度为v，则A的速度为2v，3秒后点，A点在数轴上表示的数为（﹣4+6v），B点在数轴上表示的数为3+3v，
当A还在原点O的左边时，由32OA＝OB可得32（4﹣6v）＝3+3v，解得v=14；
当A在原点O的右边时，由32OA＝OB可得32（6v﹣4）＝3+3v，v=32．
故点B的速度为14或32．
故答案为：6或﹣7．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
6．若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+x＝0，则有：1x2+1y2+1z2=|1x+1y+1z|．
例如：122+132+152=122+132+1(-5)2=|12+13+1(-5)|=1930，请解决下列问题：
（1）求122+142+162的值．
（2）设S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120192+120202，求s的整数部分．
（3）已知x+y+x＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当1x2+1y2+1z2+|1x-1y-1z|取得最小值时，求1x的取值范围．
【考点】估算无理数的大小；实数的运算；规律型：数字的变化类；分式的加减法．
【专题】数与式；运算能力．
【答案】（1）712；
（2）2019；
（3）x≥13．
【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2）将1+112+122+1+122+132+⋯+1+120192+120202进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为|1x+3|+|1x-3|，再根据|1x+3|+|1x-3|取最小值时，确定x的取值范围．
【解答】解：（1）122+142+162=122+142+1(-6)2
＝|12+14+1(-6)|
=712；
（2）S=1+112+122+1+122+132+⋯+1+120192+120202
=112+112+1(-2)2+112+122+1(-3)2+⋯+112+120192+1(-2020)2
＝|1+1-12|+|1+12-13|+…+|1+12019-12020|
＝1+1-12+1+12-13+1+13-14+⋯+1+12019-12020
＝2020-12020，
故整数部分为2019；
（3）由题意得，
1x2+1y2+1z2+|1x-1y-1z|
＝|1x+1y+1z|+|1x-1y-1z|
＝|1x+y+zyz|+|1x-y+zyz|，
又y+z＝3yz，
原式＝|1x+3|+|1x-3|，
因为|1x+3|+|1x-3|取最小值，
所以﹣3≤1x≤3，而x＞0，
因此，x≥13，
答：x的取值范围为x≥13．
【点评】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点．
7．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
（1）表格中x＝ 0.1 ；y＝ 10 ；
（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10≈3.16，则1000≈ 31.6 ；
②已知3.24=1.8，若a=180，则a＝ 32400 ；
（3）拓展：已知312≈2.289，若3z=0.2289，则z＝ 0.012 ．
【考点】算术平方根；立方根．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）①1000≈31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012．
【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．
8．观察下列各式
（1）根据你发现的规律填空： 12526 ＝ 5526 ；
（2）猜想n-nn2+1（n≥2，n为自然数）等于什么，并通过计算证实你的猜想．
【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）12526，5526；
（2）猜想：n-nn2+1=nnn2+1，理由见解析．
【分析】（1）根据已知3个等式的规律解答即可；
（2）先将被开方数通分，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵①2-25=235=225，
②3-310=3310=3310，
③4-417=4317=4417，
∴5-526=5326=5526，
故答案为：12526，5526；
（2）猜想：n-nn2+1=nnn2+1，
验证如下：当n≥2，n为自然数时，
原式=n3+nn2+1-nn2+1
=n3n2+1
＝nnn2+1．
【点评】本题主要考查数字的变化规律及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究2的近似值，以下是他的探究过程：
面积为2的正方形边长为2，可知2＞1，因此设2=1+r，画出如图的示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝r2+2×1•r+1，另一方面S正方形＝2，则r2+2×1•r+1＝2，由于r2较小故略去，得2r+1≈2，则r≈0.5，即2≈1.5．
（1）仿照康康上述的方法，探究7的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
（2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的7的近似值的基础上，再探究一次，使求得的7的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
（3）综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜b＜n+1，且b＝n2+m，试用含n和b的式子表示b的估算值．
【考点】估算无理数的大小；实数的运算；完全平方公式的几何背景．
【专题】数形结合；实数；整式；推理能力．
【答案】（1）2.75；（2）2.650；（3）n+b-n22n．
【分析】（1）由题目类比可得7的近似值以及精确值．
（2）由（1）和题目给出的例子，可以推断出要使7的推断值更准确，只能选取2与3之间的数继续估算．所以可以选取2.5继续估算．
（3）由（1）（2）可以推倒出估算b的一般估算公式．
【解答】解：（1）面积为7的正方形边长为7，可知7＞2，因此设7=2+x，
画出示意图：
正方形面积可表示为：7＝x2+4x+4，
∵x较小可忽略，得4x≈3，
∴x≈0.75，
即7≈2.75．
故答案为：2.75．
（2）面积为7的正方形边长为7，可知7＞2.5，因此设7=2.5+y，
画出示意图：
正方形面积可表示为7＝6.25+5y+y2，
∵y较小可忽略，得5y≈0.75
∴y≈0.150
即7≈2.650．
故答案为：2.650．
（3）∵b＝n2+m
同理由上述得b≈n+b-n22n．
故答案为：n+b-n22n
【点评】本题考查了类比推理的运用以及估算能力，关键在于理解题意并作出分析．
10．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ﹣11 ．
【考点】实数的运算；一元一次方程的应用；解二元一次方程；二元一次方程组的应用．
【专题】整体思想；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣1，5；
（2）36元；
（3）﹣11．
【分析】（1）将两方程相加可求x+y的值，将两方程相减可求x﹣y的值；
（2）设每只铅笔m元，每块橡皮n元，每本日记p元，由题意列出方程组，即可求解；
（3）由题意列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②，
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
由13（①+②）可得：x+y＝5．
故答案为：﹣1，5；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴6m+6n+6p＝6×6＝36．
答：购买6支铅笔、6块橡皮、6本日记本共需36元；
（3）依题意得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
11．如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
【考点】立方根．
【专题】几何图形问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高，进而利用长方体体积求出即可；
（2）利用球的体积公式，进而开立方求出即可．
【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x•2x•4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）设该小球的半径为rcm，则：
43πr3=160×16 000，
∴r3=160×16 000×34，
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．
【点评】此题主要考查了立方根的计算以及立方体体积公式，熟练记忆球体以及立方体体积公式是解题关键．
12．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2-1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：已知10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意的方法，估计3的大小，易得10+3的范围，进而可得x﹣y的值；再由相反数的求法，易得答案．
【解答】解：∵1＜3＜2，
∴1+10＜10+3＜2+10，
∴11＜10+3＜12，
∴x＝11，
y＝10+3-11=3-1，
x﹣y＝11﹣（3-1）＝12-3，
∴x﹣y的相反数3-12．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
13．阅读下列解题过程：1-34=14=(12)2=12；1-59=49=(23)2=23；1-716=916=(34)2=34；…
（1）1-925= 45 ，1-1564= 78 ．
（2）观察上面的解题过程，则1-2n+1(n+1)2= nn+1 （n为自然数）
（3）利用这一规律计算：(1-34)(1-59)(1-716)⋯(1-992500)．
【考点】算术平方根．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答．
（2）根据（1），利用算术平方根，进行解答；
（3）先分别计算出减法，再进行乘法计算，最后利用算术平方根即可解答．
【解答】解：（1）1-925=1625=45，1-1564=4964=78，故答案为：45，78．
（2）观察上面的解题过程，则1-2n+1(n+1)2=(n+1)2-2n-1(n+1)2=n2(n+1)2=nn+1，故答案为：nn+1；
（3）原式=14×49×916×⋯×24012500
=12500
=150．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
14．如图1，数轴上O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边）．
（1）若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合，直尺AB的长为 30 个单位长度．
（2）若直尺AB在数轴上移动，且满足BC＝5OA，请借助图2求此时点A对应的数；
（3）如图3，在数轴前面放一个以OC为边不透明的长方形挡板，将直尺AB放在挡板后数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺AB沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到直尺完全被看到．
①若向左移动所经历时间是向右移动所经历时间的2倍，求直尺起初放置时点A对应的数为多少？
②若不透明的挡板与直尺AB同时出发，挡板沿数轴以1个单位/秒的速度向右移动，当点A对应的数为多少时，向左、向右移动所经历的时间相差2秒？
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；推理能力．
【答案】（1）30；（2）﹣15或10；（3）①50；②46.8或37.2．
【分析】（1）线段OA、AB、BC长度相等以及线段OC的长度，求出线段AB的长度；
（2）需对直尺AB与点O、点C的位置进行分类讨论，表示出线段BC与OA的长度，利用方程求点A表示的数；
（3）①由“速度×时间＝路程”，结合线段长度求A对应的数；
②利用追击问题和相遇问题，求点A表示的数．
【解答】解：（1）∵将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合，
∴OC＝3OA＝3AB＝3BC，
∵O点与C点对应的数分别是0、90，
∴OC＝90，
∴AB＝OA＝BC＝30（单位长度），
故答案为：30．
（2）设点A表示的数为x，则：点B表示的数为（30+x），
①如图（1），当点A在点O左侧时，
OA＝﹣x，BC＝90﹣（30+x）＝60﹣x，
∵BC＝5OA，
∴60﹣x＝﹣5x，
解得：x＝﹣15，
∴点A表示的数为﹣15．
②如图（2），当点A在点O右侧，点B在点C左侧时，
OA＝x，BC＝60﹣x，
∵BC＝5OA，
∴60﹣x＝5x，
解得：x＝10，
∴点A表示的数为10．
③如图（3），当点B在点C右侧时，
很显然，OA＞BC，
∴BC＝5OA不成立．
综上所述：当点A对应的数为﹣15或10时，BC＝5OA．
（3）①∵向左、向右移动的速度相同，向左的时间是向右时间的2倍，
∴向左的路程是向右路程的2倍，即：OB＝2AC，
设OB＝2a，AC＝a，则：
2a+a﹣30＝90，
解得：a＝40，
∴OB＝80，
∴OA＝80﹣30＝50，
∴点A表示的数为50．
②设点A对应的数为m，点B对应的数为（m+30），则：
OA＝m，BC＝60﹣m，
（i）当左移时间大于右移时间时，
30+m5+1-90-m5-1=2，解得：m＝46.8，
（ii）当左移时间小于右移时间时，
90-m5-1-30+m5+1=2，解得：m＝37.2，
综上所述：点A对应的数为46.8或37.2时，右移和左移时间相差2秒．
【点评】本题以数轴为背景，主要考查了学生对行程问题中追及问题和相遇问题的掌握情况．在解题的时候要注意直尺平移方向的不同，会有不同的结果，要求学生学会分类讨论．注意在用数轴上的数表示线段长度的时候要注意数字的大小，不知道大小的时候可以用绝对值表示．例如，点A表数a，点B表示数b，则AB＝|a﹣b|．
15．给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：7-38=7×38+4，故(7，38)是一对“相关数”．
（1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是 （0，﹣4） ；
（2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值；
（3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由．
【考点】实数．
【专题】新定义；实数；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据“相关数”的意义，分别计算验证即可；
（2）根据“相关数”的意义，列方程求解即可；
（3）利用反证法，先承认（m，n）和（n，m）都是“相关数”，任何得出矛盾的结论，得出结论．
【解答】解：（1）∵1﹣1≠1×1+4，因此一对实数（1，1）不是“相关数”，
∵﹣2﹣（﹣6）≠（﹣2）×（﹣6）+4，因此一对实数（﹣2，﹣6）不是“相关数”，
∵0﹣（﹣4）＝0×（﹣4）+4，因此一对实数（0，﹣4）是“相关数”，
故答案为：（0，﹣4）；
（2）由“相关数”的意义得，x﹣（﹣3）＝﹣3x+4
解得，x=14
答：x=14；
（3）不存在．
若（m，n）是“相关数”，则，m﹣n＝mn+4，
若（n，m）是“相关数”，则，n﹣m＝nm+4，
若（m，n）和（n，m）都是“相关数”，则有m＝n，而m＝n时，m﹣n＝0≠mn+4，因此不存在．
【点评】考查有理数的运算，新定义“相关数”的意义的理解，理解“相关数”的意义是正确解答的关键．
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号3a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数：有理数正有理数0负有理数无理数正无理数负无理数 或 实数：正实数0负实数
4．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
5．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
7．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
8．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
9．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
10．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
11．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
12．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
13．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
14．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
15．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
16．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
17．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
18．绝对值
绝对值．
定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点之间的距离，记作|a|．对于任意的实数a，a和|a|的关系可以从下式中看出：
|a|=a;(a＞0)0;;(a=0)-a;;(a＜0)
性质1|a|≥0
由绝对值的概念可知：|a|指的是数轴上表示 a 的点与原点之间的距离，既然|a|代表的是一个长度，那么|a|表示的一定是一个非负数．
性质2|x•y|＝|x|•|y|，|xy|=|x||y|（y≠0）．
性质3||x|﹣|y||≤|x+y|≤|x|+|y|，
||x|﹣|y||≤|x﹣y|≤|x|+|y|．a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
(1)2-25=85=225(2)3-310=2710=3310(3)4-417=6417=4417⋯
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
(1)2-25=85=225(2)3-310=2710=3310(3)4-417=6417=4417⋯