2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省新乡市封丘一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z=2+4i1−3i，则z−=( )
A. −1+iB. −1−iC. 1−iD. 1+i
2.如图所示的矩形ABCD中，E，F满足BE=EC，CF=2FD,G为EF的中点，若AG=λAB+μAD，则λμ的值为( )
A. 12
B. 23
C. 34
D. 2
3.已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为( )
A. 12πB. 16πC. 48πD. 96π
4.若a=(1, 3),|b|= 3,|a−2b|=2，则向量a与b的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
5.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC= 22AA1=1，则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为( )
A. 23
B. 53
C. − 33
D. 33
6.已知平面向量a=(1, 2),b=(2, 2)，则向量a在b上的投影向量为( )
A. bB. 12bC. 13bD. 23b
7.设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，则“l/​/m”是“α/​/β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=60°，则b的取值范围是( )
A. (0,6)B. (0,2 3)C. ( 3,2 3)D. ( 3,6)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. z⋅z−=|z|2，z∈C
B. i2024=−1
C. 若|z|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1
D. 若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
10.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，C1E=3EC，平面ABE将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为Ω上，下部分对应的几何体为Ω下，则( )
A. Ω下的体积为2
B. Ω上的体积为12
C. Ω下的外接球的表面积为9π
D. 平面ABE截该正四棱柱所得截面的面积为2 5
11.下列说法正确的是( )
A. 设e1,e2是两个不共线的向量，若向量m=−e1+ke2(k∈R)与向量n=e2−2e1共线，则k=12
B. 设a=(2,3),b=(6,t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为(−4,9)∪(9,+∞)
C. 设a=(−1,1),b=(2,3)，且(a+mb)//(a−b)，则m=−1
D. 若O是△ABC内的一点，满足3OA+OB+4OC=0，则S△AOC：S△ABC=5：8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为10π和7π，则这两个平面之间的距离为______．
13.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且a=1,A=π6，则△ABC面积的最大值为______．
14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC=π3，|AD|=2 3，则2b+c的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°．
(1)求|2a−b|；
(2)若向量b+ka与b−ka相互垂直，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知复数z1=−1+3i,z2=1+2i,1z=1z1+1z2．
(1)求z；
(2)在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA,OB，其中O是原点，求∠AOB的大小．
17.(本小题15分)
棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，截去三棱锥A1−ABD，求：
(1)求截去的三棱锥A1−ABD的表面积；
(2)剩余的几何体A1B1C1D1−DBC的体积．
18.(本小题17分)
已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sin(π3+B)cs(π6+B)，a