江西省南昌市2024届高三第二次模拟测试数学试题（Word版附答案）

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1. 已知向量，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
3. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. ，异面直线，B. ，是相交直线，
C. ，是异面直线，与不垂直D. ，是相交直线，与不垂直
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格:
甲校样本
乙校样本
（参考公式及数据:）.
则下列判断中正确的是（ ）
A. 样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B. 样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C. 根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D. 根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
10. 已知，则下列说法中正确的是（ ）
A. 在上可能单调递减
B. 若在上单调递增，则
C. 是的一个对称中心
D. 所有的对称中心在同一条直线上
11. 已知，为上一点，且满足. 动点满足，为线段上一点，满足，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则为线段BC的中点
B. 当时，的面积为
C. 点到的距离之和的最大值为5
D. 的正切值的最大值为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对的边分别为，若，则_____________.
13. 一次知识竞赛中，共有五个题，参赛人每次从中抽出一个题回答（抽后不放回）. 已知参赛人甲A题答对的概率为，B题答对的概率为，题答对的概率均为，则甲前3个题全答对的概率为___________.
14. 如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列前项和为，且满足.
（1）当时，求;
（2）若，设，求的通项公式.
16. 一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值（单位:）服从正态分布.
（1）生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间和内各一只的概率;（精确到）
（2）根据统计学的知识，从服从正态分布的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布. 某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000，1007，1012，1013，1013（单位：Ω）. 你认为这时生产线生产正常吗？说明理由．（参考数据：若，则，，.）
17. 已知椭圆经过点为椭圆的右顶点，为坐标原点，的面积为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过点作直线与椭圆交于A，B，A关于原点的对称点为，若，求直线AB的斜率.
18. 已知且.
（1）当时，求证：在上单调递增;
（2）设，已知，有不等式恒成立，求实数的取值范围.
19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，AB是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面ABCD，且与底面所成二面角为，图一中，点是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点，图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为，且均在直径AB的同一侧.
（1）当时，求的长度；
（2）（i）当时，若图二中，点将半圆均分成7等份，求；
（ii）证明:.
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
15
5
20
女性
8
12
20
合计
23
17
40
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
70
30
100
女性
45
55
100
合计
115
85
200
0.1
0.01
0.001
2706
6.635
10828