江西省重点中学盟校2024届高三第二次联考数学试题（Word版附答案）

这是一份江西省重点中学盟校2024届高三第二次联考数学试题（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，5万辆，已知复数，，下列结论正确的有，设函数在处的切线与直线平行，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
2.已知，，为非零的平面向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是
A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势B．这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C．这六年增长率最大的为2019年至2020年D．2020年销量高于这六年销量的平均值
4.直线l过抛物线C：（）的焦点，且与C交于A，B两点，若使的直线l恰有2条，则p的取值范围为
A．B．C．D．
5.已知等差数列与等比数列的首项均为，且，则数列
A．既有最大项又有最小项B．只有最大项没有最小项
C．只有最小项没有最大项D．没有最大项也没有最小项
6.在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
7.已知定义在R上的函数满足，当时，.若，则实数a的取值范围是
A．，B．，
C．，D．，
8.在△ABC中，若，则的取值范围为
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数，，下列结论正确的有
A．若，则或
B．若，则
C．若，则
D．若，则的最大值为
10.设函数（）在处的切线与直线平行，则
A．B．函数存在极大值，不存在极小值
C．当时，D．函数有三个零点
11.如图，在棱长都是4的直四棱柱中，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则
A．点P的轨迹的长度为B．直线AP与平面所成的角为定值
C．点P到平面的距离的最小值为D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 .
13.已知函数（，）的图象在y轴上的截距为，在y轴右侧的第一个零点为，当时，若方程恰有三个不同的根，分别记为，，，则零点为的取值范围为 .
14.法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程的两个根，₂不同幂的和时，发现了，，…，由此推算 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
如图所示的五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体，，，D为的中点，E，F分别为，的中点.
（1）判断BF和CE是否垂直，并说明理由；
（2）设（），是否存在，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
16.（本小题满分15分）
将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为a，b，设表示不超过实数x的最大整数，的值为随机变量X.
（1）求在的条件下，方的概率；
（2）求X的分布列及其数学期望.
17.（本小题满分15分）
设函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
18.（本小题满分17分）
已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
19.（本小题满分17分）
随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
（1）试求，的值；
（2）设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；
（3）设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
江西省重点中学盟校2024届高三第二次联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A
由得，所以，因为，所以对恒成立，所以.故选A．
2.B
若，则，在方向上的投影向量相等，但与不一定相等；若，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选B
3.D
A显然正确；对于B，因为，所以销量的第60百分位数为536.5，故B正确；对于C，因为2019年至2020年的增长率为，超过其他年份的增长率，故C正确；对于D，这六年销量的平均数为，故D错误.故选D．
4.A
当AB垂直于x轴时，A，B两点坐标为，此时，所以.故选A．
5.A
设的公差为d，的公比为q，则，；，，所以，，，当时，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数.设（），则.当时，，；当时，，，即数列从到递增，从往后递减，又，，，所以中，最大，又，，所以是最小项.故选A．
6.C
易得该椭圆的对称中心为，且关于直线对称，将代入方程，解得两交点的坐标为，，将代入方程，解得两交点的坐标为，，所以该椭圆的长半轴长，短半轴长，所以半焦距，所以其离心率为.故选C．
7.D
因为，所以为奇函数；又因为，所以关于直线对称；由知的一个周期为4.因为当时，，所以在上单调递增，函数的图象如图所示，根据图象可知，若，则，，解得实数a的取值范围是，.故选D．
8.B
由得，所以，又，所以B，C均为锐角，即，..因为，所以，设，则，因为，当且仅当时等号成立，所以，，.故选B．
9.ABD
对于A，因为，所以或，即或，故A正确；对于B，因为，所以，即，则或，所以或，所以，故B正确；对于C，设，，a，b，c，，所以，，因为，所以，则，整理得.所以不一定为0，故C错误；对于D，因为，所以复数在复平面内所对应的点在圆上，复数在复平面内所对应的点在圆上，因为两圆的圆心距为，所以的最大值为，故D正确.故选ABD．
10.AC
对于A，，故，解得，故A正确；对于B．因为，所以函数在上单调递减，不存在极值，故B错误；对于C，令（），则，由，故，故在上单调递减，所以.即当时，，故C正确；对于D，因为，当时，；当时，，又，在同一坐标系中作出与的图象，如图所示，所以函数有且只有1个零点，故D错误.故选AC．
11.BC
易得，设，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O垂直于底面的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.点P在四边形及其内部运动，设，，，由，得，即（，），所以点P的轨迹为yOz平面内，以O为圆心，2为半径的半圆弧，所以点P的轨迹的长度为，故A错误；平面的法向量为，，设直线AP与平面所成的角为，则，又，则，所以直线AP与平面，所成的角为定值，故B正确；，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，，，所以点P到平面的距离，，所以时，所以点P到平面的距离的最小值为，故C正确；，，，其几何意义为点到点距离的平方减12，由，点到点距离的最小值为，的最小值为，故D错误.故选BC．
12.120
由于，所以的展开式中含的项为，其系数为120.
13.
将代入得到，又，所以，令，解得，所以.令，由可得：，依题可知方程在时恰有三个不同的根，记为，，，则（，2，3），画出与在上的图象.由图象易知，关于直线对称，则，又由图知，则，又，即，解得.
14.123
因为，，，，所以，所以，所以.
15.解：
（1）BF和CE不垂直，理由如下：
以点C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
因为，
所以BF和CE不垂直.
（2）假设存在使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为，因为，所以，
显然平面ABC的一个法向量为，
，设平面PBF的法向量为，
则，
即，
取，得.
设平面ABC与平面PBF的夹角为，
则，
解得或（舍去），
所以存在实数，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为.
16.解：
（1）记抛掷骰子的样本点为，则样本空间为，样本空间容量为36，
设事件A为：，事件B为：，
则，且其包含的样本点数为21，
而，其包含的样本点数为14，
根据条件概率得.
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
，，，
，，，，
所以其分布列为：
所以数学期望
17.解：
（1），，
当时，在上恒成立，故在上单调递减；
当时，令，则，
所以时，；时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）不等式化简得，
设，，
则，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在上，，且，
当，即时，，在上单调递减，，不合题意，舍去.
当，即时，
若且，即，，使得，当时，，在内单调递减，，不符合题意，舍去，
若且，即，，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以恒成立，符合题意；
若且，即，恒成立，
在上单调递增，则，符合题意.
综上，实数a的取值范围为.
18.
（1）解：连接OM，
由题意可得，且M为的中点，又O为的中点，
所以，且|.
因为线段的中垂线与直线相交于点T，
所以，
所以，
由双曲线的定义知动点T的轨迹是以，为焦点的双曲线.
设其方程为（，），则，，，
故曲线C的方程为.
（2）证明：由（1）知
依题意直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，
由，得，
，由，得，
所以，.
则
，
整理得，
即，
解得或，
当时，直线l的方程为，
直线l过定点；
当时，直线l的方程为，
直线l过定点，不合题意，舍去.
综上所述，直线l过定点.
19.解：
（1）易得，
不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，
不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，
不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，
所以，.
（2）在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个，
因此.
由p，q是两个不同的素数，得，，
在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个，
于是，
所以.
（3）根据（2）得，
所以，
，
两式相减，得，
所以，
故.
X
0
1
2
3
4
5
6
P