2023-2024学年北京市重点中学数学九下模拟试题

这是一份2023-2024学年北京市重点中学数学九下模拟试题，共19页。试卷主要包含了下列关系式中，属于二次函数的是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，经过原点的⊙与轴分别交于两点，点是劣弧上一点，则（ ）
A．是锐角B．是直角C．是钝角D．大小无法确定
2．下列说法正确的是( )
A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
3．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ）
A．0.620B．0.618C．0.610D．1000
4．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．﹣2B．﹣4C．2D．4
5．矩形ABCD中，AB＝10，，点P在边AB上，且BP:AP=4:1，如果⊙P是以点P 为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（ ）
A．点B、C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内
C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B、C均在⊙P内
6．下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）
A．y=x2B．y=C．y=D．y=ax2+bx+c
7．如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC～△EDC的是（ ）
A．∠A＝∠EB．C．AB∥DED．
8．在下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE＝110°，则∠B＝（ ）
A．80°B．100°C．110°D．120°
10．已知正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标系中的图象如图，判断二次函数y＝ax2+k在坐系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，缩小后变为，其中、的对应点分别为、，点、、、均在图中格点上，若线段上有一点，则点在上对应的点的坐标为( )
A．B．C．D．
12．等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ）
A．B．2C．2D．3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为______米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515，cs31°=0.857，tan31°=0.601）
14．如图，点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为_____．
15．小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录．得到如下频数表：
估计小亮投一次篮，投中的概率是______．
16．在二次函数中，y与x的部分对应值如下表：
则m、n的大小关系为m_______n．（填“>”,“=”或“6, PC=>6
∴点B、C均在⊙P外
故答案为：A
本题考查了点和圆的位置关系的判定，根据点和圆心之间的距离和半径的大小关系作出判断即可
6、A
【详解】A. y=x2，是二次函数，正确；
B. y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C. y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D. y=ax2+bx+c，a=0时，，不是二次函数，错误．
故选A．
考点：二次函数的定义.
7、D
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【详解】A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项A不符合题意；
B、若，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项B不符合题意；
C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项C不符合题意；
D、若，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC～△EDC，故选项D符合题意；
故选：D．
本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键，判定时需注意找对对应线段.
8、C
【分析】根据中心对称图形的定义进行分析即可.
【详解】A、不是中心对称图形．故A选项错误；
B、不是中心对称图形．故B选项错误；
C、是中心对称图形．故C选项正确；
D、不是中心对称图形．故D选项错误．
故选C．
考点：中心对称图形．
9、C
【分析】直接利用圆内接四边形的性质分析得出答案．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，∠ADE＝110°，
∴∠B＝∠ADE＝110°．故选：C．
本题考查圆内接四边形的性质. 熟练掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；.圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键.
10、B
【解析】根据正比例函数y=ax与反比例函数y＝的函数图象可知：a＜0，k＞0，然后根据二次函数图象的性质即可得出答案．
【详解】正比例函数y=ax与反比例函数y＝的函数图象可知：a＜0，k＞0，
则二次函数y=ax2+k的图象开口向下，且与y轴的交点在y轴的正半轴，
所以大致图象为B图象．
故选B．
本题考查了二次函数及正比例函数与反比例函数的图象，属于基础题，关键是注意数形结合的思想解题．
11、D
【分析】根据A，B两点坐标以及对应点C，D点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．
【详解】解：∵△ABO缩小后变为△CDO，其中A、B的对应点分别为C、D，点A、B、C、D均在图中在格点上，
即A点坐标为：(4，6)，B点坐标为：(6，2)，C点坐标为：(2，3)，D点坐标为：(3，1)，
∴线段AB上有一点P(m，n)，则点P在CD上的对应点P′的坐标为：（）．
故选D．
此题主要考查了点的坐标的确定，位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．
12、B
【分析】先利用定理求得，再证得，利用对应边成比例，即可求得答案.
【详解】如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴，，
设，则，如图，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、6.2
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题.
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为6.2.
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.
14、1
【分析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．
【详解】由题意可知：a=0+（3-1）=1；b=0+（1-1）=1；
∴a+b=1．
故答案为：1.
此题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是得到各点的平移规律．
15、0.1
【分析】由小亮每次投篮的投中的频率继而可估计出这名球员投一次篮投中的概率．
【详解】解：∵0.75≈0.1，0.13≈0.1，0.12≈0.1，0.79≈0.1，…，
∴可以看出小亮投中的频率大都稳定在0.1左右，
∴估计小亮投一次篮投中的概率是0.1，
故答案为：0.1．
本题比较容易，考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率值即概率．概率=所求情况数与总情况数之比．
16、=
【分析】根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，即可得出答案．
【详解】解：由表格知：图象对称轴为：直线x＝，
∵m，n分别为点（1，m）和（2，n）的纵坐标，
两点关于直线x＝对称，
∴m=n，
故答案为：=．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．
17、-4
【分析】将(－3, m)代入y＝即可求出答案.
【详解】将(－3, m)代入y＝中，得-3m=12，∴m=-4，
故答案为：-4.
此题考查反比例函数的解析式，熟练计算即可正确解答.
18、1
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法、二次函数的性质和一次函数的性质可以求得各段对应的最小值，从而可以解答本题．
【详解】∵(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=x2+4x﹣5=(x+5)(x﹣1)，
∴当x=﹣5或x=1时，(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=0，
∴当x≥1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥1，
当x≤﹣5时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥18，
当﹣5＜x＜1时，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=﹣2x+8＞1，
由上可得：max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是1．
故答案为：1．
本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）列树状图求事件的概率即可.
【详解】解：（1）∵小明准备到巴马的水晶宫（记为A）、百魔洞（记为B）、百鸟岩（记为C）、长寿村（记为D）的一个景点去游玩，
∴小明选择去百魔洞旅游的概率=；
（2）画树状图分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，
所以小明和小华都选择去长寿村旅游的概率=.
此题考查概率的计算公式，列树状图求事件的概率，正确列树状图表示所有的等可能的结果是解题的关键.
20、在线段AB上且距离点A为1、6、处．
【分析】分∠DPC＝90°，∠PDC＝90，∠PDC＝90°三种情况讨论，在边AB上确定点P的位置，根据相似三角形的性质求得AP的长，使得以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形．
【详解】（1）如图，当∠DPC＝90°时，
∴∠DPA+∠BPC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠DPA+∠PDA＝90°，
∴∠BPC＝∠PDA，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=90°，
∴∠A＝∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴，
∵AB=7，BP=AB-AP，AD=2，BC=3，
∴，
∴AP2﹣7AP+6＝0，
∴AP＝1或AP＝6，
（2）如图：当∠PDC＝90°时，过D点作DE⊥BC于点E，
∵AD//BC，∠A=∠B=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝7，AD=BE=2，
∵BC＝3，
∴EC＝BC-BE=1，
在Rt△DEC中，DC2＝EC2+DE2＝50，
设AP＝x，则PB＝7﹣x，
在Rt△PAD中PD2＝AD2+AP2＝4+x2，
在Rt△PBC中PC2＝BC2+PB2＝32+（7﹣x）2，
在Rt△PDC中PC2＝PD2+DC2 ，即32+（7﹣x）2＝50+4+x2，
解方程得：．
（3）当∠PDC＝90°时，
∵∠BCD＜90°，
∴点P在AB的延长线上，不合题意；
∴点P的位置有三处，能使以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形，分别在线段AB上且距离点A为1、6、处．
本题考查了相似三角形的判定与性质及勾股定理，如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；解题时要认真审题，选择适宜的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键．
21、（1）一次函数表达式为y＝－x－1；反比例函数表达式为y＝－；（2）点P的坐标是(－3，0)或(1，0)；（3）-3＜x＜0或x＞0
【分析】(1)将A坐标代入双曲线解析式中求出m的值，确定出双曲线的解析式，再将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）求得直线与x轴的交点是(－1，0)，设点P的坐标是(a，0)，则的底为|a＋1|，利用三角形面积公式即可求得点P的坐标；
(3)根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可．
【详解】(1)∵双曲线 (m≠0)过点A(－3，2)，
∴m＝－3×2＝－6，
∴反比例函数表达式为.
∵点B(n，－3)在反比例函数的图象上，
∴n＝2，B(2，－3).
∵点A(－3，2)与点B(2，－3)在直线y＝kx＋b上，
∴解得
∴一次函数表达式为y＝－x－1；
(2)如解图，在x轴上任取一点P，连接AP，BP，由(1)知点B的坐标是(2，－3).
在y＝－x－1中令y＝0，解得x＝－1，则直线与x轴的交点是(－1，0).
设点P的坐标是(a，0).
∵△ABP的面积是5，
∴·|a＋1|·(2＋3)＝5，
则|a＋1|＝2，
解得a＝－3或1.
则点P的坐标是(－3，0)或(1，0).
(3) 根据图象得： -3＜x＜0或x＞0
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法及数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22、（1）y＝x，；（2）存在，Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）2+1
【分析】（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），待定系数法可求它们解析式；
（2）由点Q在y＝x上，设出Q点坐标，表示△OBQ，由反比例函数图象性质，可知△OAP面积为1，则根据面积相等可构造方程，问题可解；
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
【详解】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，
将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k＝，所以正比例函数解析式为y＝x，
同样可得，反比例函数解析式为；
（2）当点Q在直线OM上运动时，
设点Q的坐标为Q（m，m），
于是S△OBQ＝OB•BQ＝×m×m＝m2，
而S△OAP＝|（﹣1）×（﹣2）|＝1，
所以有，m2＝1，解得m＝±2，
所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，
而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），
由勾股定理可得OQ2＝n2+＝（n﹣）2+1，
所以当（n﹣）2＝0即n﹣＝0时，OQ2有最小值1，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP＝，
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）＝2（+2）＝2+1．
（或因为反比例函数是关于y＝x对称，所以当Q在反比例函数时候，OQ最短的时候，就是反比例与y＝x的交点时候，联立方程组即可得到点Q坐标）
此题考查一次函数反比例函数的图象和性质，解答关键是运用数形结合思想解决问题．
23、=,= −．
【分析】方程整理后，利用因式分解法即可得出结果．
【详解】方程整理得：3x(1x+1)−1(1x+1)=0，
分解因式得：(3x−1)(1x+1)=0，
可得3x−1=0或1x+1=0，
解得：=,= −.
24、x1＝，x2＝．
【分析】观察方程为一般形式，找出此时二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于1，故利用求根公式可得出方程的两个解．
【详解】解：x2﹣x﹣3＝1，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞1，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
此题考查了利用公式法来求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出相应的a，b及c的值，代入b2-4ac中求值，当b2-4ac≥1时，可代入求根公式来求解．
25、（3）点D的坐标为（3，3）；（3） 抛物线的解析式为；（3） 符合条件的点P有两个，P3（3，0）、P3（3，-4）.
【分析】（3）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．
（3）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．
（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．
【详解】（3） ∵四边形OABC为矩形，C（0，3）
∴BC∥OA，点D的纵坐标为3．
∵直线与BC边相交于点D，
∴． ∴点D的坐标为（3，3）．
（3） ∵若抛物线经过A（6，0）、D（3，3）两点，
∴
解得：，∴抛物线的解析式为
（3） ∵抛物线的对称轴为x=3，
设对称轴x=3与x轴交于点P3，∴BA∥MP3，
∴∠BAD=∠AMP3．
①∵∠AP3M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP3．
∴P3（3，0）．
②当∠MAP3=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP3．
∴∠AP3M=∠ADB
∵AP3=AB，∠AP3P3=∠ABD=90°
∴△AP3P3≌△ABD
∴P3P3=BD=4
∵点P3在第四象限，∴P3（3，-4）．
∴符合条件的点P有两个，P3（3，0）、P3（3，-4）．
26、（1）（1）不存在
【分析】（1）由题意可得△≥0，即[﹣（1k+1）]1﹣4（k1+1k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；
（1）假设存在实数k使得x1·x1-x11-x11≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x1=1k+1,x1·x1=k1+1k，然后利用完全平方公式可以把x1·x1-x11-x11≥0转化为3x1·x1-（x1+x1）1≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值．
【详解】（1）∵原方程有两个实数根，
∴△≥0
即[﹣（1k+1）]1﹣4（k1+1k）≥0，
∴4k1+4k+1﹣4k1﹣8k≥0 ，
∴1﹣4k≥0，
∴k≤，
∴当k≤时，原方程有两个实数根；
（1）假设存在实数k使得x1·x1-x11-x11≥0成立，
∵x1，x1是原方程的两根，
∴x1+x1=1k+1,x1·x1=k1+1k，
由x1·x1-x11-x11≥0，
得3x1·x1-（x1+x1）1≥0
∴3（k1+1k）﹣（1k+1）1≥0，
整理得：﹣（k﹣1）1≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立；
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得x1·x1-x11-x11≥0成立.
投篮次数
20
40
60
80
120
160
200
投中次数
15
33
49
63
97
128
160
投中的频率
0.75
0.83
0.82
0.79
0.81
0.8
0.8
x
-1
0
1
2
3
4
y
-7
-2
m
n
-2
-7