北京市八一学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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本试卷共4页，120分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知等差数列，若，，则公差为（ ）
A. B. 4C. 1D. 2
2. 已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数导数为（ ）
A. B. C. D.
4. 从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为
A. 24B. 18C. 12D. 6
5. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. 52B. 68C. 96D. 108
6. 设函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（ ）
A. 4秒钟B. 5秒钟C. 6秒钟D. 7秒钟
8. 函数恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
9. 函数的图像大致是
A B.
C. D.
10. 已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共70分）
二、填空共5小题，每小题5分，共25分.
11 __________.
12. 在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数积等于_____________.
13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B不相邻，则不同的摆法有_____________种.
14. 已知数列的通项公式为，若对任意的都有，则实数c的取值范围是______．
15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论：
① 当时，；
② 在区间上单调递减；
③ 区间上存在极小值；
④ 在区间上存在极小值.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题（本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知等差数列的前项和为，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
条件①：；条件②：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 已知函数，.
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）求的单调区间．
18. 已知函数.
（1）当时，求点处的切线方程；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）判断当时，是否存在三个实数，满足，并说明理由.
19. 设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．