北京市第五十五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份北京市第五十五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题，文件包含北京市第五十五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题原卷版docx、北京市第五十五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

1. 已知数列中，，，则等于
A. 18B. 54C. 36D. 72
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得：数列等比数列，公比为，利用等比数列通项公式即可求解．
【详解】解：数列中，，，
数列是等比数列，公比．
则．
故选B．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2. 函数的导数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式得结论．
【详解】．
故选：B．
3. 已知函数，则=（ ）
A. 8B. 6C. 3D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先求得导函数，然后求得.
【详解】，
所以.
故选：B
4. 已知等差数列中，，公差，如果，，成等比数列，那么等于（ ）
A. 2或B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式，进行基本量代换，求出公差d即可.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即，
因为，所以，解得：d=2（d=0舍去）.
故选：C
5. 从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 48B. 36C. 24D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用乘法分步原理分三步计算即得解.
【详解】从中选一个数字，有种方法；
从中选两个数字，有种方法；
组成无重复数字的三位数，有个.
故选：B
6. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间.
【详解】函数的定义域为，，
因为，由可得，
因此，函数的单调递增区间是.
故选：D.
7. 由实数组成的等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】若{an}是等比数列，则，
若，则，即成立，
若成立，则，即，
故“”是“”的充要条件，
故选：C.
8. 函数的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为时，,所以舍B,C；令；当时, ； 当时, ；故选A.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
9. 《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ）

A. 1235B. 1800C. 2600D. 3000
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意良马每天路程构成以为首项，为公差的等差数列，驽马每天路程构成以为首项，为公差的等差数列，故利用等差数列的求和公式可直接求得结果．
【详解】因为长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．
驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，
所以前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，属于基础题．
10. 函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①；②；③函数在区间上是增函数.其中正确的判断是（ ）
A. ①B. ②C. ②③D. ①②
【答案】C
【解析】
【分析】，由题意可得是的极大值点，是的极小值点，则，且与是方程的两个不同的根，再利用韦达定理可求出的符号，再逐一分析判断即可得解.
【详解】，
∵函数，且在与处取得极值，
由图可知，是的极大值点，是的极小值点，
所以函数是开口向上的二次函数，
∴，且与是方程的两个不同的根，
即，，
则，，
∵由图象可知，∴，故①不正确，
∵，且，
∴，故②正确；
是开口向上，
对称轴为，
∴函数在区间上是增函数，故③正确，
故正确的命题是②③.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据由题意可得到，且与是方程的两个不同的根，是解决本题的关键.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上）
11. 设是等比数列的前项和，，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据，求出的公比，再用等比数列的前项和公式记得.
【详解】根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则，则，
则.
故答案为：
12. 的展开式中的系数是________，二项式系数的和是________.
【答案】 ①. 10 ②. 32
【解析】
【分析】写出二项式展开式的通项公式，令即可求出的系数，二项式系数的和为，代入的值即可求解．
【详解】的展开式的通项公式为，
令，得的系数为，
二项式系数的和为.
故答案为：10；32.
13. 写出一个公比的递增等比数列的通项公式________.
【答案】（首项负数即可）.
【解析】
【分析】根据结合等比数列的单调性可得，从而可取符合题意的答案.
【详解】若等比数列为递增的，则
由于公比，则首项，取，可得，
故答案为：（首项为负数即可）.
14. 已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】对进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.
【详解】当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
当时，，在上递增，无极值.
当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
故答案为：；
15. 已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列四个关于数列的结论中：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是 ________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据直接求出即可判断①；由且知只要确定函数在时的取值是否大于1即可判断②；由②即可判断③；对变形并结合知只要判断是否大于1即可判断④.
【详解】对于①，，故①正确；
对于②，∵，
∴，当时，，在单调递增，
∴，
∵，∴，
∴，故②正确；
对于③，∵，∴，故③错误；
对于④，令，，
∴，
∴在单调递增，所以，
∴，则，
∴，
即，
∴，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的性质结合数列递推关系式研究数列相关性质问题；求解关键是能够发现数列关系式与函数的性质之间的关系.
三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16. 已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设是等比数列的前项和，若，，求.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据，计算等差数列的基本量和，即可得的通项公式；
（2）由，求出等比数列的基本量和，利用等比数列的前项和公式即可得到.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
因，.
∴，，
解得，，
所以
【小问2详解】
设等比数列的公比为，，，
联立解得或，
当时，
当时，.
故或
17. 已知函数.
（1）求函数的单调增区间和减区间；
（2）当时，求函数最值.
【答案】（1）单调增区间，；减区间为.
（2）最大值为7；最小值为.
【解析】
【分析】（1）利用导数求函数单调区间；
（2）利用函数单调性求函数的最值.
【小问1详解】
函数.
，
令，解得，.
令，解得，或.
令，解得.
∴函数的单调增区间为，；减区间为.
【小问2详解】
由（1）可得：函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
可得：时，函数取得极大值；时，函数取得极小值.
又，，，.
∴时，函数取得最大值为7；时，函数取得最小值为.
18. 已知数列中，，___________，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求证：数列是等比数列；
（3）求数列的前n项和.
从①前n项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）选①，根据与的关系即可得出答案；
选②，根据与的关系结合等差数列的定义即可得出答案；
选③，利用等差中项法可得数列是等差数列，再求出公差，即可得解；
（2）求出数列的通项公式，再根据等比数列的定义即可得证；
（3）求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.
【小问1详解】
解：选①，
当时，，
当时，也成立，
所以；
选②，
因为，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列，
所以；
选③且，
因为，所以数列是等差数列，
公差，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）得，
则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
【小问3详解】
解：，
，①
，②
由①②得，
所以.
19. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）极大值1，无极小值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）求导，列出随x的变化，和的情况表，进而求得极值；
（Ⅱ）令（），求导，由得，则，进而得出函数单调性，由此得证；
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知符合题意，再令，分及均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围.
【详解】（Ⅰ）因为，定义域，所以.令，解得.
随x的变化，和的情况如下：
由表可知函数在时取得极大值，无极小值；
（Ⅱ）证明：令（），
.
由得，于是，故函数是上的增函数.
所以当时，，即；
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意.
令，.
当时，若，，则在上是减函数.
所以时，，不合题意.
当时，，则在上是减函数，所以，不合题意.
综上所述，实数a的取值范围.
【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式，求参数的范围，关键在于构造合适的函数，求其导函数的正负，得出其函数的单调性，从而得出所构造的函数的图象趋势，可以解决函数的极值、最值、不等式等相关问题，属于难度题.
20. 已知函数.
（1）若，求在点处的切线方程；
（2）若在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
（3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率及方程；
（2）求导，可得函数单调区间与极值点，再根据极值点范围可得参数范围；
（3）由不等式恒成立可知恒成立，，即，求函数的最值即可.
【小问1详解】
当时，，，
所以，，
所以切线方程为.
【小问2详解】
由，得.
令，得，.
①若，则，在上恒成立，
因此，在上单调递增，无极值，不符合题意.
②若，则，与的情况如下：
因此，在，上单调递增，在上单调递减.
若在上有且只有一个极小值点，则需，
所以.
综上，的取值范围是.
【小问3详解】
因为，
所以，即.
又因为，
所以，即.
令，所以.
因为，所以，
又，所以，
所以为上减函数，所以，所以
综上，实数的取值范围为.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
21. 已知有穷数列：满足，且当时，，令.
（1）写出所有可能的值；
（2）求证：一定为奇数；
（3）是否存在数列，使得？若存在，求出数列；若不存在，说明理由.
【答案】（1）1，；
（2）证明见解析 （3）不存在数列，使得，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据可利用得，即可由的定义求解，
（2）根据得或，即可由递推迭代法得，结合即可求证，
（3）利用（2）的结论，即可根据假设得矛盾求解.
【小问1详解】
解：由题意，,所以，故满足条件的数列的所有可能情况有：
0，1，0，此时；
0，-1，0，此时；
综上所述，的所有可能取值为1，-1；
【小问2详解】
证明：由，可设，则或（，），
所以，
因为，所以，
设中有个1，个，则，
故为奇数；
【小问3详解】
为奇数，是由个1和个构成的数列，
，
则当的前项取1，后项取时，最大，
此时，不符合题意；
如果的前项中恰有项取，后项中恰有项取1，
则，
若，则，
因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，
因此不存在数列，使得.
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
x
0
0
增
极大值
减
极大值
极小值