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河南省南阳市西峡县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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注意事项：
1、本作业共6页，三大题，23小题，满分120分，时间100分钟．
2、请将答案填写在答题卡上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色笔迹的水笔填写．
3、答题前请将答题卡上的学校、班级、姓名、座号、学生编号填涂完整．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 要使分式有意义，则的取值应满足( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，是分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选：D．
2. 下列各点中，位于平面直角坐标系第四象限的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点所在的象限，根据各象限点的坐标符号特征逐项判断即可．
【详解】因为在第一象限，所以A不符合题意；
因为在第二象限，所以B不符合题意；
因为在第四象限，所以C符合题意；
因为在第三象限，所以D不符合题意；
故选：C．
3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此即可得解．
【详解】0.00000201用科学记数法表示为,
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于正确的确定a和n的值．
4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：．是最简分式；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意；
故选A．
5. 如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A. 和平行且相等B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴和平行且相等，，，故A，B，C正确；
∵与不一定相等，故C错误．
故选C．
6. 已知关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，再求出方程的解，然后根据增根求出k的值．
【详解】去分母，得，
移项，合并同类项得．
∵原方程有增根，
∴，
解得．
故选：C．
7. 如图图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A. 1B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义：对于任意自变量值，有唯一确定的函数值与之对应．即可得到答案.
【详解】解：属于函数的有：
∴y是x的函数的个数有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的定义，理解对任意自变量的值，函数值的唯一确定性是解题的关键．
8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质： 比较反比例函数值或自变量的大小，先把，，都代入，算出，，的值，再作比较，即可作答．
【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上，
∴把，，都代入，
得
∴
故选：A
9. 函数和函数，且为常数在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据反比例函数所在的象限确定反比例函数的比例系数的符号，然后根据的符号确定所在的象限,即可作出判断．
【详解】解： A、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，由一次函数与轴的交点可知，两结论矛盾故本选项错误．
C、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，由一次函数与轴的交点可知，两结论矛盾，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，由一次函数与轴的交点可知，，故本选项正确；
故选D．
【点睛】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
10. 如图1，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图1，过A点作于E，连接，
根据图2知：当点P与点B重合时，，
当P与E重合时，，
∴，
∴，
当点P到达点C时，，
∴EC＝，
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请你写出一个图象过点（1，2），且y随x的增大而减小的一次函数解析式_____．
【答案】y=﹣x+3
【解析】
【分析】将点（1，2）代入一次函数解析式为y=kx+b，得到k+b=2，又因为y随x的增大而减小，可得出k小于0，取k=-1，可得出b=3，确定出满足题意的一次函数解析式,本题答案不唯一.
【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，
将x=1，y=2代入得：k+b=2，
又此一次函数y随x的增大而减小，
∴k＜0，
若k=-1，可得出b=3，
则一次函数为y=-x+3．
故答案为y=-x+3
【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．此外本题的答案不唯一，只要满足k为负数，且k+b=2即可．
12. 计算：___________．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加法即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1．
13. 如图，正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用两条直线的交点求不等式的解集，先求出点的横坐标，找到直线在直线上方时的取值范围即可．
【详解】解：∵正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，
∴，
∴，
∴，
由图象可知：不等式的解集是；
故答案为：．
14. 如图所示，在中，轴，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，若的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式；根据平行四边形的性质求得的面积是解题的关键．
设点的横坐标为，代入求得点、的坐标，求得，，根据平行四边形的对边平行且相等可求得点、的坐标，求得，推得，结合平行四边形的平行和三角形的面积公式可求得的值，结合图象即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，
故设点的横坐标为，
将代入得，
∴设点的坐标为，
∵轴，点在轴上，
∴点的坐标为，
故，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
即，
结合图象可得点的横坐标为：，
将代入得，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴轴，
又∵点在轴上，
∴点的坐标为，
故，
∴；
连接，如图：
在中，点、在轴上，
∴是的对角线，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴．
故答案为：．
15. 一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了______ 小时．
【答案】4或或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论：当时，当时，当时．根据数量关系即可求解，该题解答过程比较复杂，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：．
设两车出发后两车相距．
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
当两车相距时，两车出发了小时或小时或小时．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算（直接写出结果）
（1）______．
（2）______．
（3）______．
（4）______．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据分式的乘方，即可求解，
（2）根据分式的乘法，即可求解，
（3）根据分式的加减混合运算，即可求解，
（4）根据分式的除法，即可求解，
本题考查了，分式的乘方，分式的乘法，分式的除法，分式的加减混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【小问1详解】
解：，
【小问2详解】
解：，
【小问3详解】
解：，
【小问4详解】
解：．
17. 解方程∶
（1）．
（2）．
【答案】（1）原方程无解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据解分式方程的基本步骤求解即可．
（2）根据解分式方程的基本步骤求解即可．
【小问1详解】
两边乘得到
，
去括号得：，
解得：，
时，，
是原分式方程的增根，
原方程无解．
【小问2详解】
方程两边都乘以，
去分母得，
即，
解得，
检验：当时，，
是原方程的解，
故原分式方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
18. 先化简：，再从中选择一个合适数作为x代入求值．
【答案】，时，原式
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，进行计算，再选取一个使分式有意义的值，代入计算即可．
【详解】解：
；
∵，时，原分式无意义，
∴
∴当时，原式．
19. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，
∵AB=CD，FD=BE，
∴CF=AE，
在△COF和△AOE中，
∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF．
20. 某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过时，计价器保持在元；当行驶里程超过时，计价器开始变化，行驶里程x（）与车费y（元）之间的关系如图所示．
（1）当行驶里程超过时，求y与x之间的函数关系式；
（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：由图象得出租车的起步价是元．
当时，设y与x之间的函数关系式为，
由函数图象过点，
得解得
故当行驶里程超过时，y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：，
令，即，解得．
答：这位乘客乘车的里程是．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
21. 一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，画函数图象：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数解析式即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
解得，
∴反比例函数解析式，
把代入中得：，解得，
∴，
把、代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解；如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或．
22. 某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？
【答案】（1）每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元
（2）购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元
【解析】
【分析】（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围，再设商店共获利w元，利用总利润每个的利润销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题，
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式．
【小问1详解】
解：设每个乙款篮球进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴
故答案为：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元．
【小问2详解】
解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，
根据题意得：，
解得：，
设商店共获利w元，则，即
∵，
∴w随m的增大而增大，且，
∴当时，w取得最大值，最大值500．
故答案为：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，，，求的面积；
（3）是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）5 （3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）先求出点的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出，，的面积，利用即可得到答案；
（3）分三种情况，当，时；当，时；当，时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵是线段的中点，∴，
∵，
∴点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
，
，
∴；
【小问3详解】
解：存在
分三种情况，∵，
∴直线的表达式为．
①如图1，当，时，
设点，则
∵
∴平分．
∴，解得
∴
∴；
②如图2，当，时，设点．
∵平分，
∴，
∴
∴
∴
∴；
③如图3，当，时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，
综上所述，存在点使得是等腰直角三角形，其坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况求出点的坐标．
注意事项：
1、本作业共6页，三大题，23小题，满分120分，时间100分钟．
2、请将答案填写在答题卡上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色笔迹的水笔填写．
3、答题前请将答题卡上的学校、班级、姓名、座号、学生编号填涂完整．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 要使分式有意义，则的取值应满足( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，是分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选：D．
2. 下列各点中，位于平面直角坐标系第四象限的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点所在的象限，根据各象限点的坐标符号特征逐项判断即可．
【详解】因为在第一象限，所以A不符合题意；
因为在第二象限，所以B不符合题意；
因为在第四象限，所以C符合题意；
因为在第三象限，所以D不符合题意；
故选：C．
3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此即可得解．
【详解】0.00000201用科学记数法表示为,
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于正确的确定a和n的值．
4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：．是最简分式；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意；
故选A．
5. 如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A. 和平行且相等B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴和平行且相等，，，故A，B，C正确；
∵与不一定相等，故C错误．
故选C．
6. 已知关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母，再求出方程的解，然后根据增根求出k的值．
【详解】去分母，得，
移项，合并同类项得．
∵原方程有增根，
∴，
解得．
故选：C．
7. 如图图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A. 1B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义：对于任意自变量值，有唯一确定的函数值与之对应．即可得到答案.
【详解】解：属于函数的有：
∴y是x的函数的个数有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的定义，理解对任意自变量的值，函数值的唯一确定性是解题的关键．
8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质： 比较反比例函数值或自变量的大小，先把，，都代入，算出，，的值，再作比较，即可作答．
【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上，
∴把，，都代入，
得
∴
故选：A
9. 函数和函数，且为常数在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据反比例函数所在的象限确定反比例函数的比例系数的符号，然后根据的符号确定所在的象限,即可作出判断．
【详解】解： A、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，由一次函数与轴的交点可知，两结论矛盾故本选项错误．
C、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，由一次函数与轴的交点可知，两结论矛盾，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，，由一次函数的图象可知，由一次函数与轴的交点可知，，故本选项正确；
故选D．
【点睛】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
10. 如图1，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x运动时y随x变化的关系图象，则的长为（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图1，过A点作于E，连接，
根据图2知：当点P与点B重合时，，
当P与E重合时，，
∴，
∴，
当点P到达点C时，，
∴EC＝，
∴．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请你写出一个图象过点（1，2），且y随x的增大而减小的一次函数解析式_____．
【答案】y=﹣x+3
【解析】
【分析】将点（1，2）代入一次函数解析式为y=kx+b，得到k+b=2，又因为y随x的增大而减小，可得出k小于0，取k=-1，可得出b=3，确定出满足题意的一次函数解析式,本题答案不唯一.
【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，
将x=1，y=2代入得：k+b=2，
又此一次函数y随x的增大而减小，
∴k＜0，
若k=-1，可得出b=3，
则一次函数为y=-x+3．
故答案为y=-x+3
【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．此外本题的答案不唯一，只要满足k为负数，且k+b=2即可．
12. 计算：___________．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加法即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1．
13. 如图，正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用两条直线的交点求不等式的解集，先求出点的横坐标，找到直线在直线上方时的取值范围即可．
【详解】解：∵正比例函数（k是常数，）的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，
∴，
∴，
∴，
由图象可知：不等式的解集是；
故答案为：．
14. 如图所示，在中，轴，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，若的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式；根据平行四边形的性质求得的面积是解题的关键．
设点的横坐标为，代入求得点、的坐标，求得，，根据平行四边形的对边平行且相等可求得点、的坐标，求得，推得，结合平行四边形的平行和三角形的面积公式可求得的值，结合图象即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，
故设点的横坐标为，
将代入得，
∴设点的坐标为，
∵轴，点在轴上，
∴点的坐标为，
故，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
即，
结合图象可得点的横坐标为：，
将代入得，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴轴，
又∵点在轴上，
∴点的坐标为，
故，
∴；
连接，如图：
在中，点、在轴上，
∴是的对角线，
故，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴．
故答案为：．
15. 一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了______ 小时．
【答案】4或或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论：当时，当时，当时．根据数量关系即可求解，该题解答过程比较复杂，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：．
设两车出发后两车相距．
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
当两车相距时，两车出发了小时或小时或小时．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算（直接写出结果）
（1）______．
（2）______．
（3）______．
（4）______．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据分式的乘方，即可求解，
（2）根据分式的乘法，即可求解，
（3）根据分式的加减混合运算，即可求解，
（4）根据分式的除法，即可求解，
本题考查了，分式的乘方，分式的乘法，分式的除法，分式的加减混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【小问1详解】
解：，
【小问2详解】
解：，
【小问3详解】
解：，
【小问4详解】
解：．
17. 解方程∶
（1）．
（2）．
【答案】（1）原方程无解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据解分式方程的基本步骤求解即可．
（2）根据解分式方程的基本步骤求解即可．
【小问1详解】
两边乘得到
，
去括号得：，
解得：，
时，，
是原分式方程的增根，
原方程无解．
【小问2详解】
方程两边都乘以，
去分母得，
即，
解得，
检验：当时，，
是原方程的解，
故原分式方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
18. 先化简：，再从中选择一个合适数作为x代入求值．
【答案】，时，原式
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，进行计算，再选取一个使分式有意义的值，代入计算即可．
【详解】解：
；
∵，时，原分式无意义，
∴
∴当时，原式．
19. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB，
∵AB=CD，FD=BE，
∴CF=AE，
在△COF和△AOE中，
∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF．
20. 某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过时，计价器保持在元；当行驶里程超过时，计价器开始变化，行驶里程x（）与车费y（元）之间的关系如图所示．
（1）当行驶里程超过时，求y与x之间的函数关系式；
（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把代入（1）中解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：由图象得出租车的起步价是元．
当时，设y与x之间的函数关系式为，
由函数图象过点，
得解得
故当行驶里程超过时，y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：，
令，即，解得．
答：这位乘客乘车的里程是．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
21. 一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，画函数图象：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据（1）所求画出对应的函数解析式即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
解得，
∴反比例函数解析式，
把代入中得：，解得，
∴，
把、代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解；如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或．
22. 某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？
【答案】（1）每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元
（2）购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元
【解析】
【分析】（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围，再设商店共获利w元，利用总利润每个的利润销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题，
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式．
【小问1详解】
解：设每个乙款篮球进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴
故答案为：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元．
【小问2详解】
解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，
根据题意得：，
解得：，
设商店共获利w元，则，即
∵，
∴w随m的增大而增大，且，
∴当时，w取得最大值，最大值500．
故答案为：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接，，，求的面积；
（3）是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）5 （3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）先求出点的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出，，的面积，利用即可得到答案；
（3）分三种情况，当，时；当，时；当，时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可知，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵是线段的中点，∴，
∵，
∴点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
，
，
∴；
【小问3详解】
解：存在
分三种情况，∵，
∴直线的表达式为．
①如图1，当，时，
设点，则
∵
∴平分．
∴，解得
∴
∴；
②如图2，当，时，设点．
∵平分，
∴，
∴
∴
∴
∴；
③如图3，当，时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，
综上所述，存在点使得是等腰直角三角形，其坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况求出点的坐标．
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