安徽省淮北市2024届高三第二次质量检测数学试题

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注意尚项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一、选怪题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={1,3,5},则A∪∁UB=
A.{2}
B.{1,2,4}
C.{1,2,3,5}
D.{1,3,4,5}
2.若复数z=cs2π3+isin2π3(i为虚数单位),则z2=
A.−12−32i
B.12−32i
C.−12+32i
D.12+32i
3.已知a,b∈R,下列命题正确的是
A.若ab=1,则a+b≥2
B.若1ab
C.若a>b,则lna−b>0
D.若a>b>0,则a+1b>b+1a
4.函数fx=sinxcsx的大致图像为
5.某次考试一共5道判断题,有三名考生参加考试,每人均答对4道题,答错一道题,三人回答具体情况记录如下:
则这5道题的正确答案依次为
A.FFFTT
B.FTFTT
C.TFFTF
D.TFFTT
6.若函数fx=ax+lnex+1是偶函数(e是自然对数的底数),则实数a的值为
A.12
B.−12
C.1e
D.−1e
7.已知A为双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右顶点,O为坐标原点,B,C为双曲线E上两点,且AB+AC=2AO,直线AB,AC的斜率分别为4和12,则双曲线E的离心率为
A.3
B.52
C.62
D.2
8.当实数t变化时,函数fx=x2+t,x∈−4,4最大值的最小值为
A.2
B.4
C.6
D.8
二、多项选择题:木题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若an=2n−1,Tn=2n+1−2,则
A.S10=100
B.b10=1024
C.1anan+1的前10项和为919
D.1bn的前10项和为10231024
10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是棱AB,CC1的中点,下列结论正确的是
A.MN//AC1
B.MN⊥CD1
C.棱BC的中点在平面D1MN内
D.四面体MNA1D1的体积为1
11.如图所示的钟表中,时针初始指向“12”,每次掷一枚均匀的硬币,若出现正面则时针按顺时针方向旋转150∘,若出现反面则时针按逆时针方向旋转150∘,用Xn表示暤n次后时针指向的数字,则
A.EX1=6
B.PX2=12=14
C.PX7=7=35128
D.EX8>6
三、填空题:木题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知向量a=1,2,b=1,t,若2a+b与a+2b共线,则实数t= .
13.在3×3的方格中,每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一,若每个2×2的方格中的四个小方格的颜色都不相同,则满足要求的不同涂色方法的种数为 .
14.在等腰梯形ABCD中,AB//CD,DA⊥DB,若AB=4,则梯形周长的最大值为,梯形面积的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c−b=2csin2A2(I)试判断△ABC的形状;
(II)若c=1,求△ABC周长的最大值.
16.(本题满分15分)如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,点E,F分别在BB1,DD1上,且.AE⊥A1B,AF⊥A1D
(I)求证:A1C⊥平面AEF;
(II)求平面AEF与平面D1B1BD夹角的余弦值.
(第16题图)
17.(本题满分15分)塔山石榴，产自安徽省淮北市烈山区塔山，种植迄今已有千年历史.为了进一步发展高效农业,丰富石榴品种,壮大石榴产业,当地政府委托某种业科研公司培育了A,B两种新品石榴,将它们分别种植在两块土质和大小相同的试验田内,并从收获的果实中各随机抽取300个,按质量(单位:g)将它们分成4组:[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),得到如下频率分布直方图:
(I)分别估计A,B品种石榴单个果实的质量;
（II）经笠选检测,除去坏果和瑕疪果,两种石榴的合格率如下表:
已知A品种混放在一个库房,B品种混放在另一个库房,现分别从两个库房中随机各抽取2个石榴,其中合格石榴的总个数记为X,求X的分布列及数学期望.
18.(本题满分17分)如图,已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1,a>b>0的左右焦点为F1,F2,短轴长为6,A为Γ上一点,G1,12为△AF1F2的重心.
(I)求椭圆Γ的方程;
(II)椭圆Γ上不同三点B,C,D,满足CF2⊥OF2,且.BF2,CF2,DF2成等差数列,线段BD中垂线交y轴于E点,求点E纵坐标的取值范围;
(III)直线l:y=kx−2与Γ交于M,N点,交y轴于P点,若PM=λPN,求实数λ的取值范围.
(第18题图)
19.(本题满分17分)已知函数fx=acs2x+x2−a,其中a∈R
(I)若a=1,记gx=f′x,试判断gx在0,π2上的单调性;
(II)求证:当a≤12时,fx≥0;
(III)若对∀x∈R,不等式cs2sinx≤12fx+a−12x2恒成立,求实数a的取值范围.题号
1
2
3
4
5
考生甲
T
F
F
F
T
考生乙
T
T
F
T
T
考试丙
F
F
F
T
T
[50,70)
[70,90)
[90,110)
110,130
A品种合格率
0.7
0.8
0.7
0.8
B品种合格率
0.7
0.8
0.8
0.9