2024年吉林省长春市南关区九年级下学期质量调研题数学试题（一模）

这是一份2024年吉林省长春市南关区九年级下学期质量调研题数学试题（一模），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ）
A．B．C．0.5D．4
2．国家统计局2024年2月29日发布了《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》．初步核算，全年国内生产总值为1260582亿元．1260582这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．榫卯是我国古代木制建筑、家具等的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，、、、四点均在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了简车的工作原理，简车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆的半径长为6米，．则简车盛水桶到达的最高点到水面的距离是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，矩形的边在轴正半轴上，边在第一象限，，．当点在反比例函数的图象上时，的中点也恰好在的图象上．则的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．因式分解______．
10．位于天定山的长春冰雪新天地2023年底普通成人票价为150元/位，大学生票价为50元/位，则位普通成人和位大学生的总票价为______元．
11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值是______．
12．如图，将一副直角三角板按图中方式摆放，保持两条斜边互相平行，则的度数为______．
13．我国木雕艺术历史悠久，如图的实物木雕图可以看作扇环形，其中，，，则此木雕所用扇环形木板材的面积为______．（结果用分数表示，保留）
14．掷实心球是中考体育考试项目之一．小明在训练馆试掷时，鹰眼系统记录了他掷出的实心球在空中运动的轨迹，运动轨迹是抛物线的一部分（如下图）．根据运动的轨迹得到实心球运动的水平距离（米）与竖直高度（米）的数据如下表①：
表①
表②
长春市中考体育考试评分标准（男生版）如上表②，依此标准小明此次试掷的中考得分是______．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中．
16．（6分）今年是甲辰龙年，同时也是中国红十字会成立120周年，为此中国邮政发行了特种含龙图案的邮票2枚和纪念邮票1枚．如图，现有三张正面印有这三枚邮票图案的不透明卡片、、，卡片除正面图案不同外其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小宇从中随机抽取两张卡片．请用画树形图或列表的方法，求小宇抽出的两张卡片都是龙图案的概率．
17．（6分）刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为，比返回时大巴车行驶的路程多，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．
18．（7分）如图，在中，，是的角平分线，点是的中点．过点作，作射线交于点，连结．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，直接写出矩形的面积．
19．（7分）3月11日邯郸3名初中生杀人埋尸案发生后，为加强学生法治观念，某校开展了“普法知识”竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中，，，，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级组同学的分数分别为：94，91，93，90；
八年级组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空：______，______，______．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“普法知识”竞赛中，哪个年级学生成绩更好？请说明理由．（至少写出两条理由）
（3）该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人数．
20．（7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中画的中线．
（2）在图②边上找一点，连结，使平分的面积．
（3）在图③中的内部找一点，使．
21．（8分）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里．她把碗按下图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如下表：
【建立模型】
（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律．
（2）求与的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度．
【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
22．（9分）【问题提出】如图①，在正方形中，、分别是边和对角线上的点，，从而，______．
【思考探究】如图②，在矩形中，，，、分别是边和对角线上的点，，若，求的长．
【拓展延伸】如图③，在菱形中，，对角线，交的延长线于点，、分别是菱形高和对角线上的点，，，直接写出的长．
23．（10分）如图，为菱形对角线的交点，，．动点从点出发，先沿以每秒5个单位长度的速度运动，然后沿以每秒个单位长度的速度继续运动．当点不与点、、重合时，过点作交于点，分别过点、作、的垂线，这两垂线相交于点．设点的运动时间为秒．
（1）求点到的距离并写出的正弦值．
（2）用含的代数式表示的长．
（3）当点在的内部时，求的取值范围．
（4）当点在菱形的一边上时，直接写出的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（、是常数）经过点、，点在该抛物线上．
（1）求该抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标．
（2）当点关于轴的对称点在直线上时，求的值．
（3）过点作轴于点，当时，在线段上取点，点坐标为，当的周长最小时，求这个最小值以及点的坐标．
（4）点也在该抛物线上，当抛物线在两点之间部分（含、两点）对应的函数最大值与最小值差为时，直接写出所有满足条件的的值．
南关区2023-2024学年度下学期九年级质量调研题
数学参考答案
一、1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．D 8．D
二、9．．10．．11．．
12．13．．14．7.2．
三、15．解：
当时，
16．解：
所以，（两张卡片都是龙图案）．
17．解：设大巴车的平均速度为．
由题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：大巴车的平均速度为．
18．（1）证明：，
，．
点是的中点，
．．
．
四边形是平行四边形．
又，是的角平分线，
．
四边形是矩形．
注：其它证法相应给分．
（2）矩形的面积为60．
19．解：（1），，．
（2）八年级竞赛成绩更好，因为八年级的中位数、优秀率均高于七年级．
（3）．
答：估计这两个年级优秀学生的总人数约为565人．
20．（1）
（2）
（3）注：不连不扣分；在线段上取点（端点除外）都给分，但必须有作平行线的痕迹．
21．解：【建立模型】
（1）如图，
这些点在一条直线上．
（2）设与之间的函数关系式为．
将点、代入，得
解得
与之间的函数关系式为．
时，．
当碗的个数为12个时，这摞碗的总高度为22厘米．
【结论应用】时，，
所以一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．
22．【问题提出】．
【思考探究】解：如图②，在矩形中，
，，
，
，，
．．
．
，
，．
，，
．
【拓展延伸】．
23．（1）如图①，过点作，为垂足．
，，
．
又，
，．
（2）如图①，当（或在上）时，．
如图②，当（或在上）时，．
如图③，当（或在上）时，．
（3）如图④，．
（4）如图⑤、图②、图③，，，．
24．（1），．
（2）点关于轴的对称点为，
直线的函数表达式为．
，．
（3）如图，点关于的对称点为，关于轴的对称点为，
与的交点为，与轴的交点为时，的周长最小．
最小值为．
直线的函数表达式为，
解直线与直线的交点．
（4），．
注：多写错误答案累计扣1分．水平距离（米）
0
2
4
5
6
7
竖直高度（米）
2.25
5.25
6.25
6
5.25
4
等级
单项得分
中考得分
掷实心球（米）
优秀
100
8.0
9.6
95
7.6
9.3
90
7.2
9
良好
85
6.8
8.7
80
6.4
8.4
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
95
八
91
93
碗的个数（个）
1
2
3
4
5
这摞碗的总高度（厘米）
5.5
7
8.5
10
11.5