2023年四川省雅安市汉源县第二中学中考数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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本试卷全卷满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了倒数，两数的乘积为1，这两个数互为倒数，据此解答即可
【详解】解：的倒数是
故选：D
2. 下列几何体中，俯视图为四边形的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据俯视图的定义.找到从上面看所得到的图形即可.
【详解】从上面看易得A、B、C、D的俯视图分别为五边形、三角形、圆、四边形．故选D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图.熟练运用三视图的定义判断是解题的关键.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 和不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4. 一次招聘活动中，共有 8 人进入复试，他们的复试成绩（百分制）如下：，，，，，，，．对于这组数据，下列说法正确的是
A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 极差是
【答案】B
【解析】
【分析】根据表中数据，分别利用中位数、众数、极差、平均数的定义即可求出它们，然后就可以作出判断．
【详解】解：∵，故A选项不正确；
∵出现次数最多的是90，共出现3次，则众数为90，故B选项正确．
∵中位数是，故C选项不正确；
∵极差100-70=30．故D选项不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、极差等定义，熟练掌握相关定义是解答关键．
5. 如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于（ ）
A. 35°B. 45°C. 55°D. 25°
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直的定义得到∠∠BCE=90°，根据平行线的性质求出∠BCD=55°，计算即可．
【详解】解：∵BC⊥AE，
∴∠BCE=90°，
∵CD∥AB，∠B=55°，
∴∠BCD=∠B=55°，
∴∠1=90°-55°=35°，
故选A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和垂直的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6. 已知点在第四象限，则m取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】由点在第四象限，得，
即：，
则不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：

故选：B．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（ ）
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质、基本作图，过点作于，根据题意可知平分，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于．
由题意可知：平分，
∵，，即，
∴，
∵，
∴的面积，
故选：B．
8. 九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，．故选C．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
9. 给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据新定义得出，利用直接开平方法求解可得．
【详解】解：由题意可知，即，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10. 如图，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意x均有．正确的有（ ）个．

A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数抛物线的开口方向判断出，再根据抛物线与轴的交点，即可得时，的取值范围是，令，即可判定的值，进而对结论①进行判断；求出抛物线的对称轴为，得，即可对结论②和④进行判断；由时，得的取值范围，即可对结论③进行判断．
【详解】解：由题意得二次函数抛物线开口向上，
，
又二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，
当时，，
时，，
，故结论①正确；
抛物线的对称轴为，
，
，
，故结论②正确；
当时，，
当时，，故结论③正确；
抛物线的对称轴为，，
当时，二次函数的值最小，
，即，故结论④正确；
综上所述得正确的结论有①，②，③，④，
故选：D．
11. 如图，扇形AOB中，OA=2，C为弧AB上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC可知△AOC是等边三角形，可得∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐角三角函数的定义得出AD=OA•sin60°=2×=，因此可求得S阴影=S扇形AOB﹣2S△AOC=﹣2××2×=﹣2．
故选D．
点睛：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．
12. 如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE根据等底等高三角形面积相等得出.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD
∴OA=OD=OC=OB
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°.
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°.
∴∠DOC=60°.
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形.
∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°.
∴∠DAC=∠ACB=30°.
∴AC=2AB.
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC.
∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°.
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°.
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE.
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD.
∴BE=BO.
∴∠BOE=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=135°.
∴③正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等可知，
∴④正确；
故正确答案是C.
【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上．
13. 如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和为_______
【答案】##度
【解析】
【分析】此题考查了正多边形的内角和与外角和，先由每个外角都是，三角形外角和为求出正多边形的边上，再用多边形的内角和公式求解即可.
【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都是，外角和为，
∴正多边形边数为，
∴这个多边形的内角和为，
故答案为：
14. 在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据概率的计算公式求解，明确等可能结果的数量．
【详解】解：令白球个数为x，则,
解得，，经检验，是方程的解；
故答案为：3
【点睛】本题考查概率的计算，明确等可能结果的数量是解题的关键．
15. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为，第二个三角数记为，第个三角数记为，计算，，，···由此推算的值为________．
【答案】3600
【解析】
【分析】分别计算，，，……，得到，由此计算即可得到答案．
【详解】解：∵=1+3=4=22，
=3+6=9=32，
=6+10=16=42，
∴，
∴=602=3600，
故答案为：3600．
【点睛】此题考查了有理数的规律计算，正确理解计算规律并总结运用是解题的关键．
16. 如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=__．
【答案】
【解析】
【分析】连接B、C，可得∠ACB=90°，根据同弧对等角有∠D=∠A，在△ABC中根据正切定义可求出tanD.
【详解】如图所示，连接B、C，因为AB是直径，所以∠ACB=90°
在Rt△ABC中BC=，tanA=，
而BC弧所对的∠D=∠A，所以tanD= tanA=.
【点睛】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、勾股定理，连接BC构造直角三角形是解题的关键.
17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，且则k的值为_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．计算根的判别式，由题意得关于的不等式，求解得出的取值范围；利用根与系数的关系，用含的代数式表示出两根的和与积，代入关系式得关于的方程，求解即可．
【详解】解：关于的方程有两个实数根．
，
解得．
，，
，
即，
，，
∵，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共个7小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
18. （1）．
（2）先化简，再求值：，请你从的范围内选取一个你喜欢的整数作为x的值．
【答案】（1）；（2），时，原式
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值、实数的混合运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键
（1）计算算术平方根、零指数幂、实数绝对值、特殊角的三角函数值，再进行四则混合运算即可；
（2）先计算括号内的减法，再计算除法即可得到化简结果，再根据分式有意义的条件选取合适的字母值代入化简结果计算即可．
【详解】解：（1）
（2）
在的范围内的整数有，
根据分式有意义的条件可知，
∴，
当时，
原式
19. 如图，四边形中，，平分，交于．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，在根据角平分线的性质及等腰三角形的判定即可求证结论．
（2）利用等角对等边的性质可得，在利用等腰三角形的判定及三角形内角和即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，，
又∵平分，
，
，
，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
直角三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
又三角形内角和为，
，
，
为直角三角形．
【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和三角形的内角和，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
20. 中秋佳节时，我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了60名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．
（注：参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为__________度；条形统计图中，很喜欢“豆沙”月饼的学生有__________人；
（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有__________人．
（3）甲同学最爱吃云腿月饼，乙同学最爱吃豆沙月饼，现有重量、包装完全一样的云腿、豆沙、莲蓉、蛋黄四种月饼各一个，让甲、乙每人各选一个，请用画树状图法或列表法，求出甲、乙两人中有且只有一人选中自己最爱吃的月饼的概率．
【答案】（1）126°，4（2）675（3）
【解析】
【分析】（1）根据“很喜欢”的部分占的百分比，计算所对应的圆心角；
（2）用样本估计总体思想即可解决问题．
（3）画出树状图，根据概率的定义即可解决．
【详解】解：（1）∵“很喜欢”的部分占的百分比为：1﹣25%﹣40%=35%，
∴扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为：360°×35%=126°；
∵“很喜欢”月饼的同学数：60×35%=21（人），
∴条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生数：21﹣6﹣3﹣8=4（人），
故答案分别为126°，4．
（2）900名学生中“很喜欢”的有900×35%=315人，900名学生中“比较喜欢”的有900×40%=360人，
∴估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有675人．
故答案为675．
（3）为了表示方便，记云腿、豆沙、莲蓉、蛋黄四种月饼分别为A、B、C、D．画出的树状图如图所示，
∴甲、乙两人中有且只有一人选中自己最爱吃的月饼的概率==
21. 某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）

【答案】8+8
【解析】
【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．
【详解】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，
∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，
∵AB=32m，
∴AD=CD=16m，BD=AB•cs30°=m，
∴BC=CD+BD=（+16）m，
则BH=BC•sin30°=m，
答：这架无人飞机的飞行高度为m．
【点睛】考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
22. 如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知A（3，1），点B的坐标为（m，-2）．
（1）直接写出反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PDC与△CDO相似？若存在求P点的坐标，若不存在说明理由．
【答案】（1）反比例解析式为y=
（2）一次函数解析式为y=x-1
（3）存在，P的坐标为（0，0）或（0，）．
【解析】
【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）把B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，由A与B坐标，利用待定系数法确定出直线AB解析式即可；
（3）在y轴上，存在一点P，使得△PDC与△CDO相似，理由为：过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，如图所示，根据直线AB解析式确定出C与D坐标，得到OC，OD，DC的长，由三角形PDC与三角形CDO相似，得比例求出PD的长，由DP-OD求出OP的长，即可确定出P坐标．
【小问1详解】
解：把A（1，3）代入反比例解析式得：3=，即k=3，
则反比例解析式为y=；
【小问2详解】
解：∵B（m，-2）在反比例函数y=上，
∴-2=，即m=-，即B（-，-2），
把A与B坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，
则一次函数解析式为y=x-1；
【小问3详解】
解：若P与O重合，显然成立；
若P与O不重合，在y轴上存在一点P，使得△PDC与△CDO相似，理由为：过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，如图所示，
∵C、D两点在直线y=x-1上，
∴C、D的坐标分别为C（，0），D（0，-1），
∴OC=，OD=1，DC=，
∵△PDC∽△CDO，
∴=，即=，
解得：PD=，
∴OP=DP-OD=-1=，
则点P的坐标为（0，）．
综上所示，P的坐标为（0，0）或（0，）．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式与一次函数解析式，相似三角形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23. 如图，是的直径，经过圆上点的直线恰使．
（1）求证：直线是的的切线；
（2）过点作直线的垂线交的延长线于点，且，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，只要证明即可；
（2）根据勾股定理求得，则由可列比例式求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
又 ∵是的半径，
∴直线是的的切线．
【小问2详解】
解：在中，
∵，，
∴根据勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即．
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线的判定定理，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
24. 如图，已知抛物线过三点，点P是x轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图甲所示，连接，是否存在点P，使四边形为等腰梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点H是题中抛物线对称轴l上的动点，如图乙所示，求四边形周长的最小值．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由抛物线过三点，得，，再分两种情况进行讨论解答即可；
（3）过点A作抛物线对称轴的对称点，过点B作 x轴的对称点，连接，分别交抛物线对称轴和x轴于点H和点P，则这两点即为所求，得到，进一步求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵抛物线过三点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
不存在，理由如下：
∵抛物线过三点，
∴，，
①若，过点B作，过点A作轴，交点为点E，

∴
当时，
∴
∴，
∴点P的坐标为；
∴
∴
∴此点不符合要求，舍去，
②若，过点A作轴，过点C作轴，交点为点E，过点B作轴，

当时，，
∴
∴，
∴点P与点O重合；
∴
∴此点不符合要求，舍去；
【小问3详解】
过点A作抛物线对称轴的对称点，过点B作 x轴的对称点，连接，分别交抛物线对称轴和x轴于点H和点P，则这两点即为所求，
∴，
∴

∵抛物线的对称轴为，，
∴，
∴，
∴四边形周长的最小值为
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、等腰梯形的判定和性质、四边形周长问题等知识，数形结合和分类讨论是解题得关键．