河北省保定市第十三中学2023-2024年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共16个小题，1－10每小题3分，11－16每小题2分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，得出正确选项．
【详解】解：因为由不在同一直线上三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，
所以A，C，D错误，只有B符合，
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是三角形的定义，解题关键是准确理解掌握三角形定义．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、完全平方公式、单项式与单项式相除、合并同类项，掌握每一种运算法则的正确应用是解题关键．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
故选：C．
3. 如图，在线段、、、中，长度最小的是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段D. 线段
【答案】B
【解析】
【分析】由垂线段最短可解．
【详解】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选B．
【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．
4. 肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示计算即可；
【详解】数字0.00000071科学记数法表示为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，准确分析判断是解题的关键．
5. 以下列各组数为边长不可能构成一个三角形( )
A. 4，5，9B. 6，2，6C. 4，6，8D. 5，7，11
【答案】A
【解析】
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：A、4+5=9，不能构成三角形，故此选项符合题意；
B、2+6＞6，能构成三角形，故此选项不合题意；
C、4+6>8，能构成三角形，故此选项不合题意；
D、5+7>11，能构成三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
6. 要画一个面积为长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别为（ ）
A. 常量为30，变量为x、yB. 常量为30、y，变量为x
C. 常量为30、x，变量为yD. 常量为x、y，变量为30
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
【详解】解：由题意，得，
常量为30，变量为.
故选：A．
【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
7. 如图，已知直线，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两直线平行，同位角相等，即可得出结果．
【详解】解：∵a∥b，
∴∠2=∠1=70°（两直线平行，同位角相等）．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8. 在中，作出边上的高，正确的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线垂足为，
纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，
④符合高线的定义．
故选：D
9. 如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
10. 为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程”，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程改造道路长度y（千米）与时间x（天）之间的关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查从函数的图像中获取信息，设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为，得，且，根据三个阶段的速度进行判断得到答案．
【详解】施工队的施工分为三个阶段，正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段
设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为
得，且
∵B的图像分成三个阶段，且第一阶段的速度小于第三阶段的速度，第二阶段的速度为0，与实际施工情况相符合
∴B正确
∵C的图像没有停工期
∴C错误
∵A和D的图形均是随着时间x（天）的增加，改造道路里程y（公里）越来越少，与实际情况不符合
∴A、D错误
故选：B．
11. 如图，直线分别与直线，相交于点，，已知，平分交直线于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
求出，根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
，
故选：B．
12. 某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是（ ）
A. 用电量每增加千瓦时，电费增加元
B. 若用电量为千瓦时，则应缴电费元
C. 若应缴电费为元，则用电量为千瓦·时
D. 若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦时
【答案】D
【解析】
【分析】根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可．
【详解】解：A、若用电量每增加千瓦时，则电费增加元，故本选项叙述正确，不符合题意；
B、若用电量为千瓦时，则应缴电费元，故本选项叙述正确，不符合题意；
C、若应缴电费为元，则用电量千瓦时，故本选项叙述正确，不符合题意；
D、若小明的应缴电费比小红多元，则小明的用电量比小红的用电量多千瓦·时，故本选项叙述错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系．
13. 若多项式是一个完全平方式，则k值是( )
A. 10B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，按照完全平方式的形式对原式因式分解，把因式分解形式展开后再按照多项式相等的定义求解即可．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
，
，
解得．
故选：B．
14. 如果，则①，②，③，上述结论中正确的是（ ）
A. 只有①B. 只有②C. 只有③D. ①②和③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质．由得，即可得出答案．
【详解】解：
是由推出的，故由不能推出，进而也不能得到
故选：A．
15. 下列结论正确的是（ ）
A. 直角三角形高只有一条
B. 三角形的高至少有一条在三角形内部
C. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
D. 钝角三角形的三条高都在三角形外部
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的高，中线，角平分线的概念．根据题意，逐项判断即可．
【详解】解：A.直角三角形的高有3条，不是只有1条，此项错误；
B.三角形的高至少有一条在三角形内部，此项正确；
C.三角形的角平分线，中线在三角形内部，但三角形的高可能在三角形的外部，此项错误；
D.钝角三角形有2条高在三角形的外部，有1条在三角形内部，此项错误．
故选：B．
16. 如图，已知，若按图中规律，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质．根据题意，由图1可得，后面的图的规律是角的和为角的个数减1个，具体见详解．
【详解】解：如下图
图1 图2 图3 图
如图1，
；
如图2，过点作
即；
如图3，作
同理可得
同理得；
如图，根据上面的推理规律可得
．
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分）
17. 谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是________．
【答案】冰的厚度
【解析】
【分析】、根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案．
【详解】解：谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是冰的厚度．
故答案为：冰的厚度．
【点睛】本题考查了变量与常量的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
18. 如图，一块含有30°角的直角三角板，两个顶点分别在直尺的一对平行边上，∠α＝110°，∠β＝_____°．

【答案】50
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到∠1＝70°，再根据平角的定义即可得出∠β＝50°．
【详解】解：∵直尺的两边平行，∠α＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠α＝70°，
∴∠β＝180°﹣70°﹣60°＝50°．
故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.
19. 如图，、分别是边，上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】，所以求出三角形的面积和三角形的面积即可，因为，，且，就可以求出三角形的面积和三角形的面积
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明或演算步骤）
20. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，整式的运算．
（1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再算加减即可；
（2）先算同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，再算加减即可；
（3）先去括号，再算加减即可；
（4）利用平方差和完全平方公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
原式
；
【小问4详解】
原式
．
21. 先化简，再求值：，其中，
【答案】，．
【解析】
【分析】先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式完成化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．
22. 将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点B. E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1=∠2，∠A=∠F.
求证：∠C=∠D.
证明：因为∠1=∠2(已知).
又因为∠1=∠ANC(______)，
所以______(等量代换).
所以______∥______(同位角相等，两直线平行).
所以∠ABD=∠C(______).
又因为∠A=∠F(已知)，
所以______∥______(______).
所以______(两直线平行，内错角相等).
所以∠C=∠D(______)
【答案】见解析.
【解析】
【详解】分析：根据对顶角相等可知∠1=∠ANC，根据同位角相等，两直线平行，可知DB∥EC，再根据平行线的性质可知∠ABD=∠C，再根据平行线的性质以及判定即可得出答案．
详解：证明：∵∠1=∠2(已知).
又∵∠1=∠ANC(对顶角相等)，
∴∠2=∠ANC(等量代换).
∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行).
∴∠ABD=∠C(两直线平行，同位角相等)
又∵∠A=∠F(已知)，
∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠D=∠ABD(两直线平行，内错角相等).
∴∠C=∠D(等量代换).
点睛：考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法与性质定理是解题的关键.
23. 如图，点是边上一点．
（1）在的左侧作；（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据上面所作的图形，你认为和一定平行吗？请说明理由．
【答案】（1）见详解 （2），理由见详解
【解析】
【分析】本题考查尺规作图，平行线的判定．
（1）理由尺规作图作一个角等于已知角即可；
（2）根据内错角相等，两直线平行来判定即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求
【小问2详解】
，理由如下：
．
24. 甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速（甲车的速度大于乙车的速度）前往地和地，在途中的服务区两车相遇，休整了2h后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离（km）和所用时间（h）之间的关系图象如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）两地相距距离 ；
（3）求图中的值以及甲车的速度．
【答案】（1）时间；两车之间的距离
（2）900 （3）；甲车速度
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象与实际问题．
（1）根据图象的横坐标、纵坐标即可得知自变量与因变量；
（2）根据图象的纵坐标可得；
（3）根据甲乙再在服务区相遇可求得甲乙的速度和，再根据图中的数值可求得的值及甲的速度，具体见详解．
【小问1详解】
解：由图知，图中的自变量是时间，因变量是两车之间的距离，
故答案为：时间，两车之间的距离；
【小问2详解】
由图可知，两地相距距离为，
故答案为：900；
【小问3详解】
，
，
解得，
，
所以，甲车速度为．
25. 规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空： ， ；
（2）若，，，试探究a，b，c之间存在的数量关系；
（3）若，求t的值．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据新定义运算，求解即可；
（2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解；
（3）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
故答案为：，
【小问2详解】
，理由如下：
∵，，
∴，，
∵
∴，即
∴
【小问3详解】
设，，，则，，
由可得
∴
【点睛】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算．
26. 【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中包括垂直这种特殊位置关系．
图1 备用图
图2 备用图
【应用】
（1）如图1，，，分别在，上，平分交于点，是直线上一点，平分交于点．
①当D在点B的右侧，且，， ，
；
②过点作，垂足为，记度，度，直接写出与的关系式．
【拓展】
（2）中欧班列是高质量共建“一带一路”的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，B两座可旋转探照灯．如图2，假定主道路是平行的，即 ，连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是3度秒，灯转动的速度是9度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时的值．
【答案】（1）①，；②；
（2），，，．
【解析】
【分析】（1）①根据三角形的外角的性质得出，根据角平分线的定义得到，进而根据，以及平行线的性质即可求解；
②分点在点的右侧，与在点的左侧，分别讨论，根据平行线的性质即可求解；
（2）分三种情形讨论，①未到时，②从返回时，③第2次从出发，根据平行线的性质，利用与互相垂直，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）①，
．
平分，
，
．
，，
，
又平分，
．
②如图所示，点在点的右侧，
平分交于点，平分交于点．
，，
设，，记度，度，
，
，，
即，
，
，
，
即，
，
，
点在点的左侧，
平分交于点，平分交于点．
，，
设，，记度，度，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2）如图所示，
①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，
与互相垂直时，
，
，，
，
解得：；
②如图所示，当返回时，
，
，，
，，，
，
解得：；
或如图所示，当返回时，
，
，，
，，，
，
解得：；
③当第2次从出发，与垂直时，如图所示，
，
，
，，
，
解得：．
综上所述，，，，．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，垂直的定义，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．用电量（千瓦时）
…
应缴电费（元）
…