河南省焦作市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(原卷版+解析版)
展开1.本试卷共4页,三个大题,满分120分,考试时间100分钟.
2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上.答在试卷上的答案无效.
一、选择题(每题3分,共30分)
1. 如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC( )
A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE=150°,AB=AE,由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE=∠AEB=15°,再运用三角形的外角性质即可得出结果.
【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD,∠BAF=45°,
∵△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=60°,AD=AE,
∴∠BAE=90°+60°=150°,AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB=(180°−150°)=15°,
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°;
故选:B.
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质;熟练掌握正方形和等边三角形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
2. 下列各式:① ,②,③,④ 中,最简二次根式有( )
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可.
【详解】解:∵①不能化简,是最简二次根式;
可化简,故不是最简二次根式;
③可化简,故不是最简二次根式;
④可化简,故不是最简二次根式;
故答案为A.
【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意:(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式.
3. 如图,菱形中,,则、两点之间的距离为( )
A. 15B. C. 7.5D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理;关键是掌握菱形对角线互相平分、垂直且平分每一组对角,菱形四边形相等.连接、,交于,只要证明是等边三角形即可解决问题.
【详解】解:连接、,交于.
四边形是菱形,
,,,
,
,
是等边三角形,
,,
,
由勾股定理得,,
,
故选:D.
4. 下列各式计算正确的是( )
A. B. (a>0)
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解:A.,运算正确,故本选项正确;
B.,原式计算错误,故本选项错误;
C.=6,原式计算错误,故本选项错误;
D.,原式计算错误,故本选项错误.
故选A.
5. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm,则另一条直角边的长是( )
A. 4cmB. cmC. 6cmD. cm
【答案】C
【解析】
【详解】如图,∠C=90°,∠B=30°,AC=2cm,
∴AB=2AC=4cm,
BC==6cm,
故选C.
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和勾股定理,解决此题的关键是正确的计算.
6. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解:由,得
,
解得.
2xy=2×2.5×(-3)=-15,
故选:A.
7. 如图,在中,分别为中点,且,则的周长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,三角形中位线,掌握以上知识是解题的关键.先利用勾股定理求解,再利用直角三角形斜边上的中线求解,再利用三角形中位线求解,从而可得答案.
【详解】解:,
,
分别为中点,
,是的中位线,
,
故选:B.
8. 如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分以a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )
A. 12≤a≤13B. 12≤a≤15C. 5≤a≤12D. 5≤a≤l3
【答案】A
【解析】
【分析】最短距离就是饮料罐的高度,最大距离可根据勾股定理解答.
【详解】解:a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理,得:=13.
即a的取值范围是12≤a≤13.
故选:A.
9. 如图,等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上,且与E,若,则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质,含30度角的直角三角形的特征,全等三角形的判定和性质,解题的关键是灵活运用等边三角形的性质证明三角形全等.由题可证,,则,由直角三角形的性质得,,因为,所以.
【详解】解:,
,
,
同理,
又,,
,,,
,
,
,
,
故选:C.
10. 如图,在正方形中,对角线是上任意一点,过M作,垂足分别为,则的值为( )
A. 20B. 10C. 15D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质与等腰三角形的判定,由四边形是正方形,则,由,,
得到,是等腰三角形,进而得到即可.
【详解】由四边形是正方形,则,由,,
,
是等腰三角形
,
.
故选:D.
二、填空题(每题3分,共15分)
11. 如图,在菱形中,对角线相交于点O,不添加任何辅助线,请你添加一个条件__________,使四边形是正方形(填一个即可).
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定:先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角.根据有一个直角的菱形为正方形添加条件.
【详解】解:四边形为菱形,
当时,四边形为正方形.
故答案为:.
12. 如图所示,,数轴上点表示的数是_______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用,利用勾股定理求出线段的长,结合数轴即可.
【详解】解:点到数轴的线段交于点.
由图可知点到数轴的距离为,点距离点的横向距离为.
在中,
点表示的数为
故答案为:.
13. 若整数x满足|x|≤3,则使为整数的x的值是___(只需填一个).
【答案】﹣2(答案不唯一)
【解析】
【详解】解:∵|x|≤3,
∴﹣3≤x≤3.
∵x为整数,∴x=﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3.
分别代入可知,只有x=﹣2,3时为整数.
∴使为整数的x的值是﹣2或3(填写一个即可).
故答案为:
14. 若一个直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边长比斜边长短1cm,则该直角三角形的斜边长为 ________.
【答案】25cm
【解析】
【分析】设直角三角形的斜边长是xcm,则另一条直角边长是(x-1)cm,根据勾股定理列方程求解.
【详解】解:设直角三角形的斜边长是xcm,则另一条直角边长是(x-1)cm.
根据勾股定理,得 ,
解得x=25,
则斜边长是25cm.
故答案为:25cm
【点睛】本题考查勾股定理的应用,熟记公式正确列方程求解是解题关键.
15. 如图,在正方形内作等边三角形,则的度数为____________.
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质,根据等边三角形的性质可得,根据正方形的性质可得,根据即可求解.
【详解】解:是等边三角形,
,
四边形是正方形,是对角线,
,
.
故答案为:.
三、解答题(8道题,共75分)
16. 计算:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质,分母有理化以及二次根式的混合运算,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
(1)先进行分母有理化以及运用二次根式的性质化简,得出,再合并同类二次根式,即可作答.
(2)先运用多项式除以单项式法则展开,再运算除法,即可作答.
【小问1详解】
解:
;
【小问2详解】
解:
.
17. 如图,在四边形中,点是对角线上两点,且.
(1)如果四边形是平行四边形,求证:是平行四边形.
(2)如果四边形是菱形,求证:也是菱形.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质,菱形的判定和性质:
(1)连接.设相交于点O,根据平行四边形的性质可得,再由,可得,即可求证;
(2)连接.设相交于点O,根据菱形的性质可得,再由,可得,即可求证.
【小问1详解】
证明:如图,连接.设相交于点O,
因为四边形是平行四边形,
所以.
因为,
所以,
所以四边形是平行四边形;
小问2详解】
证明:如图,连接.设相交于点O,
因为四边形是菱形,
所以.
因为,
所以,
所以四边形是平行四边形,
因为,
所以四边形是菱形.
18. 如图正方形ABCD的边长为4,E、F分别为DC、BC中点.
(1)求证:△ADE≌△ABF.
(2)求△AEF的面积.
【答案】(1)详见解析(2)6
【解析】
【分析】(1)、根据正方形的性质以及中点得出DE=DF,结合正方形的性质得出△ADE和△ABF全等;
(2)、利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积得出△AEF的面积.
【详解】(1)、∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠=90°,DC=CB,
∵E、F为DC、BC中点,
∴DE=DC,BF=BC,
∴DE=BF,
∵在△ADE和△ABF中,
,
∴△ADE≌△ABF(SAS);
(2)、由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形, 且AB=AD=4,DE=BF=×4=2,CE=CF=×4=2,
∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2=6.
【点睛】(1)、三角形全等;(2)、面积计算.
19. 在军事上,常用时钟表示方向角(读数对应的时针方向),如正北为12点方向,北偏西30°为11点方向.在一次反恐演习中,甲队员在A处掩护,乙队员从A处沿12点方向以40米/分的速度前进,2分钟后到达B处.这时,甲队员发现在自己的1点方向的C处有恐怖分子,乙队员发现C处位于自己的2点方向(如图).假设距恐怖分子100米以外为安全位置.
(1)乙队员是否处于安全位置?为什么?
(2)因情况不明,甲队员立即发出指令,要求乙队员沿原路后撤,务必于15秒内到达安全位置.为此,乙队员至少应用多快的速度撤离?(结果精确到个位.参考数据: ,.)
【答案】(1)乙队员不安全.(2)乙队员至少应以3米/秒的速度撤离.
【解析】
【分析】(1)根据题意得出AB=80,根据角度之间关系得出BC=AB=80,从而得出答案;
(2)过点C作CD⊥AB,垂足为D,在AB边上取一点B1,使CB1=100米,根据Rt△CBD得出BD和CD的长度,根据Rt△CDB1中的勾股定理求出B1D的长度,从而得出BB1的长度.
【详解】解:(1)乙队员不安全.
易求AB=80米,
∵∠DBC=60°,∠BAC=30°,
∴∠BCA=∠BAC=30°,
∴BC=AB=80米<100米,
∴乙队员不安全.
(2)过点C作CD⊥AB,垂足为D,在AB边上取一点B1,使CB1=100米,
在Rt△CBD中,∠CBD=60°,BC=80米,则BD=40米,CD=40米,
在Rt△CDB1中,由勾股定理知B1D==20米,
则BB1=(20﹣40)米,
而≈2.13(米/秒),
依题意结果精确到个位,所以乙队员至少应以3米/秒的速度撤离.
点睛:本题主要考查的是直角三角形的勾股定理,属于中等难度的题型.通过添加辅助线构造直角三角形是解决这个问题的关键.
20.
已知是关于x,y的二元一次方程的解.求(a+1)(a-1)+7的值
【答案】9
【解析】
【分析】根据已知是关于x,y的二元一次方程x=y+a的解,代入方程即可得出a的值,再利用二次根式的运算性质求出.
【详解】解:∵是关于x,y的二元一次方程x=y+a的解,
∴2=+a,
∴a=,
∴(a+1)(a-1)+7=a2-1+7=3-1+7=9.
21. 如图,在平行四边形 中,点 、 分别在边 和 上,且 .
(1)求证:;
(2)求证:.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
【分析】(1)由平行四边形的性质即可证明;
(2)由(1)两个三角形全等,由全等三角形的性质即可得到结论.
【小问1详解】
解:四边形 是平行四边形,
,.
在和中,
.
【小问2详解】
解:,
.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,掌握它们是关键.
22. 已知:如图,在ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF、EG、AG,∠1=∠2.
(l)若CF=2,AE=3,求BE的长;
(2)求证:.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
【分析】(1)根据平行四边形对边相等的性质,由已知,经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长,从而由已知的AE长,应用勾股定理可求得BE的长.
(2)过点GH∥BC交AE于点H,则∠CEG=∠EGH,通过△CEG≌△CDF得到点G为CD的中点,从而确定GH是AE的垂直平分线,根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质,得到GA=GE,进而根据等腰三角形三线合一的性质,得∠EGH=∠AGH,从而得证.
【详解】解:(1)∵CF=2,点F为CE的中点,∴CE=4.
∵CE=CD,∴CD=4.
∵四边ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4.
∵ AE⊥BC,AE=3,∴.
(2)如图,过点GH∥BC交AE于点H,则∠CEG=∠EGH.
∵∠1=∠2,∠C=∠C,CE=CD,
∴△CEG≌△CDF(AAS).∴CG=CF.
∵点F为CE的中点,∴点G为CD的中点.
∴点H为AE的中点,即GH是AE的垂直平分线.
∴GA=GE.∴∠EGH=∠AGH.
∴.
23. 已知BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC,
(1)证明ABDF是平行四边形;
(2)若AF=DF=5,AD=6,求AC的长.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】(1)先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD,从而得到∠ADF=∠BAD,所以AB∥FD,因为BD⊥AC,AF⊥AC,所以AF∥BD,即可证得.
(2)先证得平行四边形是菱形,然后根据勾股定理即可求得.
【详解】(1)证明:∵BD垂直平分AC,
∴AB=BC,AD=DC,
在△ADB与△CDB中,
,
∴△ADB≌△CDB(SSS)
∴∠BCD=∠BAD,
∵∠BCD=∠ADF,
∴∠BAD=∠ADF,
∴AB∥FD,
∵BD⊥AC,AF⊥AC,
∴AF∥BD,
∴四边形ABDF是平行四边形,
(2)解:∵四边形ABDF是平行四边形,AF=DF=5,
∴▱ABDF是菱形,
∴AB=BD=5,
∵AD=6,
设BE=x,则DE=5-x,
∴AB2-BE2=AD2-DE2,
即52-x2=62-(5-x)2
解得:x=,
∴,
∴AC=2AE=.
考点:1.平行四边形的判定;2.线段垂直平分线的性质;3.勾股定理.
24. 牧羊人在某天发现了一个有水有草的神秘三角地带,(如图)便想在公路边上找一点,安营扎寨,进行牧羊.使每天牧羊时到草地边上吃草,然后到小河边处喝水,再跑回出发地休息.为使所跑路程最短,请你为牧羊人在公路上找一个合适的位置,并画出线路图.
【答案】P点为安营扎寨处,图见解析
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质.过点C作于P,过点P分别作和的对称点,连接分别交和于点,此时P点为安营扎寨处.路线图为.
【详解】解:如图,P点为安营扎寨处.
路线图为.
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