高中数学人教版选修2（理科）导数课时练习

这是一份高中数学人教版选修2（理科）导数课时练习，共39页。试卷主要包含了曲线在点处的切线方程是，在区间，上的最大值是，在下列四个函数中，满足性质，设函数，其中，求的单调区间等内容，欢迎下载使用。

1．（2006•安徽）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
A．B．C．D．
2．（2006•四川）曲线在点处的切线方程是
A．B．C．D．
3．（2006•全国卷Ⅱ）过点作抛物线的切线，则其中一条切线为
A．B．C．D．
4．（2006•浙江）在区间，上的最大值是
A．B．0C．2D．4
5．（2006•全国）已知和是上的可导函数，对任意实数，都有和，那么，当时，必有
A．（b）（b）B．（a）（a）
C．（b）（b）D．（a）（a）
6．（2006•江西）若是定义在上的可导函数，且满足，则必有
A．（2）（1）B．（2）（1）
C．（2）（1）D．（2）（1）
7．（2006•天津）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2006•北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，，恒成立”的只有
A．B．C．D．
二．填空题（共1小题）
9．（2006•江苏）对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 ．
三．解答题（共22小题）
10．（2006•山东）设函数，其中，求的单调区间．
11．（2006•湖南）已知函数．
讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若曲线上两点、处的切线都与轴垂直，且线段与轴有公共点，求实数的取值范围．
12．（2006•全国卷Ⅰ）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围．
13．（2006•四川）已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：
（Ⅰ）当时，；
（Ⅱ）当时，．
14．（2006•重庆）设函数的图象与直线相切于点．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．
15．（2006•重庆）已知函数，其中，为常数．
若，讨论函数的单调性；
若，且，试证：．
16．（2006•福建）已知函数，．
（Ⅰ）求在区间，上的最大值；
（Ⅱ）是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
17．（2006•江西）已知函数在与时都取得极值．
（1）求、的值与函数的单调区间；
（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．
18．（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围．
19．（2006•湖北）设是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求与的关系式（用表示，并求的单调区间；
（Ⅱ）设，．若存在，，使得成立，求的取值范围．
20．（2006•广东）设函数分别在、处取得极小值、极大值．平面上点、的坐标分别为，、，，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点．求
（Ⅰ）求点、的坐标；
（Ⅱ）求动点的轨迹方程．
21．（2006•辽宁）已知，其中，设，，．
（1）写出（1）；
（2）证明：对任意的，，，恒有．
22．（2006•陕西）已知函数，且存在，使．
（1）证明：是上的单调增函数；
（2）设，；，，其中，2，，证明：；
（3）证明：．
23．（2006•北京）已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ），，的值．
24．（2006•辽宁）已知函数，，其中，，设为的极小值点，为的极值点，，并且，将点，，，，，，依次记为，，，．
（1）求的值；
（2）若四边形为梯形且面积为1，求，的值．
25．（2006•天津）已知函数，其中，为参数，且．
（Ⅰ）当时，判断函数是否有极值；
（Ⅱ）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
26．（2006•陕西）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的极小值大于0，求的取值范围．
27．（2006•全国）设函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间和最小值；
（Ⅱ）又设，求证：．
28．（2006•湖北）设函数在处取得极值，试用表示和，并求的单调区间．
29．（2006•福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升关于行驶速度（千米小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米．
（Ⅰ）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
30．（2006•山东）设函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）讨论的极值．
31．（2006•四川）已知函数，，其中是的导函数．
（Ⅰ）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点．
2006年的导数题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2006•安徽）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
A．B．C．D．
【分析】切线与直线垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程．
【解答】解：设切点，，
直线与直线垂直，且直线的斜率为，
直线的斜率为4，
即在点，处的导数为4，
令，得到，进而得到，
利用点斜式，得到切线方程为．
故选：．
【点评】熟练应用导数的几何意义，考查两条直线垂直，直线的斜率的关系
2．（2006•四川）曲线在点处的切线方程是
A．B．C．D．
【分析】已知点在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．
【解答】解：，
，
曲线在点处的切线的斜率为，
即利用点斜式求出切线方程是，
故选：．
【点评】本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可．
3．（2006•全国卷Ⅱ）过点作抛物线的切线，则其中一条切线为
A．B．C．D．
【分析】这类题首先判断某点是否在曲线上，（1）若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程（2）若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程．此题属于第二种．
【解答】解：，设切点坐标为，，
则切线的斜率为，
且
于是切线方程为，
因为点在切线上，
可解得或，当时，；时，，这时可以得到两条直线方程，验正正确．
故选：．
【点评】函数在处的导数的几何意义，就是曲线在点，处的切线的斜率，过点的切线方程为：
4．（2006•浙江）在区间，上的最大值是
A．B．0C．2D．4
【分析】由题意先对函数进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．
【解答】解：，
令可得或舍去），
当时，，
当时，，
当时，取得最大值为．
故选：．
【点评】此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确．
5．（2006•全国）已知和是上的可导函数，对任意实数，都有和，那么，当时，必有
A．（b）（b）B．（a）（a）
C．（b）（b）D．（a）（a）
【分析】利用已知条件，构造新函数然后判断其单调性，再利用单调性，分类讨论去掉分母得到相应的结论，
【解答】由已知可得，恒成立，令，
则，则函数在上单调递减，
由可得，（a）（b），
即
又对任意实数，都有，则或
对①式的分母分类讨论如下：
当时，去掉分母可得：
（a）（a），或（b）（b），或（a）（b）（b）（a），选；
当时，去掉分母也可得：
（a）（a），或（b）（b），或（a）（b）（b）（a），选；
综上所述，选；
故选：．
【点评】本题目的难点之一利用题目条件想到是构造函数，难点之二是挖掘题目中的隐含条件得到只有正负两种取值，故分类讨论得到结论．
6．（2006•江西）若是定义在上的可导函数，且满足，则必有
A．（2）（1）B．（2）（1）
C．（2）（1）D．（2）（1）
【分析】对分段讨论，解不等式求出的符号，判断出的单调性，利用函数的单调性比较出函数值，（2）与（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．
【解答】解：
时，；时，
在为增函数；在上为减函数
（2）（1）
（1）
（2）（1）
时，，（2）（1），
综上：（2）（1）
故选：．
【点评】利用导函数的符号能判断函数的单调性，当导函数大于0则函数递增；当导函数小于0则函数单调递减．
7．（2006•天津）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由图象得：导函数有3个根，只有在附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．
【解答】解：由图象得：导函数有3个根，
只有在附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，
故函数只有1个极小值点，
故选：．
【点评】本题考察了函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．
8．（2006•北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，，恒成立”的只有
A．B．C．D．
【分析】首先分析题目要求选择满足：“对于区间上的任意实数，，恒成立”的函数．故可以把4个选项中的函数分别代入不等式分别验证是否成立即可得到答案．
【解答】解：在区间上的任意实数，，分别验证下列4个函数．
对于，（因为，在区间上，故大于故成立．
对于，（因为故和大于故对于等于号不满足题意，故不成立．
对于，．不成立．
对于，不成立．
故选：．
【点评】此题主要考查绝对值不等式的应用问题．对于此类型的题目需要对题目选项一个一个做分析，然后用排除法作答即可．属于中档题目．
二．填空题（共1小题）
9．（2006•江苏）对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 ．
【分析】欲求数列的前项和，必须求出在点处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即得直线方程进而得到切线与轴交点的纵坐标．最后利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．
【解答】解：，
曲线在处的切线的斜率为
切点为，
所以切线方程为，
令得，
令．
数列的前项和为．
故答案为：．
【点评】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前项和的公式．解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点．否则容易出错．
三．解答题（共22小题）
10．（2006•山东）设函数，其中，求的单调区间．
【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案．
【解答】解：由已知得函数的定义域为，且，
（1）当时，，函数在上单调递减，
（2）当时，由，解得．、随的变化情况如下表
从上表可知
当时，，函数在上单调递减．
当时，，函数在上单调递增．
综上所述：
当时，函数在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增．
【点评】本题主要考查导函数的正负和原函数的增减性的关系．属基础题．
11．（2006•湖南）已知函数．
讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若曲线上两点、处的切线都与轴垂直，且线段与轴有公共点，求实数的取值范围．
【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减进行讨论．
（2）由题意可值点应是函数的极值点，再根据线段与轴有公共点可知以，从而得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知．
令．
当时，
若，则，
所以在区间上是增函数；
若，则，
所以在区间上是减函数；
若，则，
所以在区间上是增函数；
当时，
若，则，
所以在区间上是减函数；
若，则，
所以在区间上是增函数；
若，则，
所以在区间上是减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点、的纵坐标为函数的极值，
且函数在处分别是取得极值，．
因为线段与轴有公共点，所以．
即．
所以．
故，且．
解得或．
即所求实数的取值范围是，，．
【点评】本题主要考查导函数的正负和原函数的增减性、极值点的关系．属中档题．导数是高考的必考点，要给予重视．
12．（2006•全国卷Ⅰ）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围．
【分析】先对函数进行求导得到一个二次函数，根据二次函数的图象和性质令在和成立，解出的值．
【解答】解：，其判别式△．
（ⅰ）若△，即，当，或，时，
，在为增函数．
所以．
（ⅱ）若△，恒有，在为增函数，
所以，
即，，
（ⅲ）若△，即，
令，
解得，．
当，或，时，，为增函数；
当，时，，为减函数．依题意且．
由得，解得
由得，解得，从而，
综上，的取值范围为，，，，
即，，．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
13．（2006•四川）已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：
（Ⅰ）当时，；
（Ⅱ）当时，．
【分析】（1）将，代入整理，再由基本不等式可证．
（2）先对函数进行求导，将，代入整理变形，转化为证明对任意两个不相等的正数，，有恒成立，从而得证．
【解答】解：证明：（Ⅰ）由
得
而①
又
②
，
③
由①、②、③得，
即．
（Ⅱ）证法一：由，得
下面证明对任意两个不相等的正数，，有恒成立
即证成立
设，
则，
令得，列表如下：
对任意两个不相等的正数，，恒有
证法二：由，
得
，是两个不相等的正数
设，
则，列表：
即
即对任意两个不相等的正数，，恒有
【点评】本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力．
14．（2006•重庆）设函数的图象与直线相切于点．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解．
（Ⅱ）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．
【解答】解：（Ⅰ）求导得．
由于的图象与直线相切于点，
所以（1），（1），即：
，
解得：，．
（Ⅱ）由，得：
令，解得或；
又令，解得．
故当时，是增函数，
当时，也是增函数，
但当时，是减函数．
【点评】考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间．
15．（2006•重庆）已知函数，其中，为常数．
若，讨论函数的单调性；
若，且，试证：．
【分析】（1）可用导数的知识求其单调性，注意到对题目中条件的运用，即保证导函数有两个零点，再进行计算．
（2）注意到，则上述极限式变形为，再结合不等式求解．
【解答】解：求导得
因．故方程即有两根．
令．解得或
又令．解得
故当时，是增函数；当，时，也是增函数；
但当，时，是减函数
易知，，因此
所以，由已知条件得，因此
解得．
【点评】本题中给定了不等式关系，减小了题目的难度，避免了对导函数是否有零点和有几个零点的讨论，此外，对于导数定义的考查也在本题中体现出来．注意到其中代换的技巧．
16．（2006•福建）已知函数，．
（Ⅰ）求在区间，上的最大值；
（Ⅱ）是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）本题考查的是定函数与动区间的问题，是一元二次函数中的一动一定的问题，解题时要针对于二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，即对称轴在区间上，或是在区间的左边或右边．
（2）遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题，一般是构造新函数，题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的极值，把函数的最值同0进行比较，得到结果．
【解答】解：．
当，即时，在，上单调递增，
；
当，即时，（4）；
当时，在，上单调递减，
．
综上，
函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，
即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
，
，
当时，，是增函数；
当时，，是减函数；
当时，，是增函数；
当，或时，．
（1），（3）．
当充分接近0时，，当充分大时，．
要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即．
存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为．
【点评】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．
17．（2006•江西）已知函数在与时都取得极值．
（1）求、的值与函数的单调区间；
（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）求出，因为函数在与时都取得极值，所以得到且（1）联立解得与的值，然后把、的值代入求得及，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于，恒成立求出函数的最大值值为（2），代入求出最大值，然后令（2）列出不等式，求出的范围即可．
【解答】解；（1），
由解得，
，函数的单调区间如下表：
所以函数的递增区间是和，递减区间是，．
（2），
当时，为极大值，而（2），所以（2）为最大值．
要使对，恒成立，须且只需（2）．
解得或．
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．
18．（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到的定义域，求出，利用的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到的单调区间；
（Ⅱ）若对任意恒有即要讨论当时，当时，当时三种情况讨论得到的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，，．对求导数得．
（ⅰ）当时，，在，和均大于0，
所以在，为增函数．
（ⅱ）当时，，在，为增函数．
（ⅲ）当时，，令，
解得，．
当变化时，和的变化情况如下表：
在，，，为增函数，在，为减函数．
（Ⅱ）（ⅰ）当时，由（Ⅰ）知：对任意恒有．
（ⅱ）当时，取，则由（Ⅰ）知
（ⅲ）当时，对任意，恒有且，得．
综上当且仅当，时，对任意恒有．
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数恒成立时所取的条件．
19．（2006•湖北）设是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求与的关系式（用表示，并求的单调区间；
（Ⅱ）设，．若存在，，使得成立，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出，因为是函数的一个极值点得到（3）即可得到与的关系式；令，得到函数的极值点，用的范围分两种情况分别用极值点讨论得到函数的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，得到在区间，上的值域，又在区间，上是增函数，求出的值域，最大减去最小得到关于的不等式求出解集即可．
【解答】解：（Ⅰ），
由（3），得，即得，
则
．
令，得或，
由于是极值点，
所以，那么．
当时，，则
在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数；
在区间上，，为减函数．
当时，，则
在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数；
在区间上，，为减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，
那么在区间，上的值域是，（4），（3），
而，（4），（3），
那么在区间，上的值域是，．
又在区间，上是增函数，
且它在区间，上的值域是，，
由于，
所以只须仅须且，
解得．
故的取值范围是．
【点评】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
20．（2006•广东）设函数分别在、处取得极小值、极大值．平面上点、的坐标分别为，、，，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点．求
（Ⅰ）求点、的坐标；
（Ⅱ）求动点的轨迹方程．
【分析】令求出的解，然后根据驻点分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，得到、的坐标；
（Ⅱ）设，，由，得，又因为的中点在上，得消去、即可得到动点的轨迹方程．
【解答】解：（Ⅰ）令，
解得：或
当时，，
当时，，
当时，
所以，函数在处取得极小值，在取得极大值，
故，，，（1）
所以，点、的坐标为，．
（Ⅱ）设，，
，
，即，
又的中点在上，
所以
消去，得
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会用平面内两个向量数量积的运算，以及会求动点的轨迹方程的能力．
21．（2006•辽宁）已知，其中，设，，．
（1）写出（1）；
（2）证明：对任意的，，，恒有．
【分析】（1）把代入即得；
（2）第一种方法：利用函数的增减性和奇偶性，根据已知设，，得到，所以在，上为增函数因函数为偶函数，所以在，上为减函数，求出得到结论即可；
第二种方法：前面和第一问方法一样，最后处理方法不一样得到结论即可；第三种方法：利用导数处理最后得证即可．
【解答】解：（1）由已知推得，从而有（1）
（2）证法1：当 时，
当时，
所以在，上为增函数
因函数为偶函数，所以在，上为减函数
所以对任意的，，，（1）
（1）
，2，3，，
因此结论成立．
证法2：当 时，
当时，
所以在，上为增函数
因函数为偶函数
所以在，上为减函数
所以对任意的，，，
又因（1）
所以（1）
（1）
因此结论成立．
证法3：当时，
当时，
所以在，上为增函数
因函数为偶函数
所以在，上为减函数
所以对任意的，，，
由
对上式两边求导得
（1）．
因此结论成立．
【点评】本小题考查导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
22．（2006•陕西）已知函数，且存在，使．
（1）证明：是上的单调增函数；
（2）设，；，，其中，2，，证明：；
（3）证明：．
【分析】（1）证明函数在上的单调增，只需证其导函数在上恒大于零即可；
（2）先验证时是否成立，假设当时有，再验证时是否成立；
（3）利用基本不等式进行化简，利用整体的思想转化成二次函数，再根据二次函数性质求函数的最值即可．
【解答】解：（1），
是上的单调增函数．
（2），即．又是增函数，
．即．
又，，
综上，．
用数学归纳法证明如下：
①当时，上面已证明成立．
②假设当时有．
当时，
由是单调增函数，有，
由①②知对一切，2，都有．
（3）
．
由（Ⅱ）知．
，
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及用数学归纳法证明不等式，属于中档题．
23．（2006•北京）已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ），，的值．
【分析】（1）观察图象满足的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出的值；
（2）根据图象可得（1），（2），（1），建立三个方程，联立方程组求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，在上，在上．
在上．
故在，上递增，在上递减．
因此在处取得极大值，所以．
（Ⅱ），
由（1），（2），（1），
得
解得，，．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及观察图形的能力，属于基础题．
24．（2006•辽宁）已知函数，，其中，，设为的极小值点，为的极值点，，并且，将点，，，，，，依次记为，，，．
（1）求的值；
（2）若四边形为梯形且面积为1，求，的值．
【分析】（1）先对函数进行求导，讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出的值；
（2）讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极小值，求出的值，再根据，是的两个根求出，，然后分别求出，，，四个点的坐标，由四边形是梯形及与不平行，得，以及四边形为梯形且面积为1建立两个等量关系即可求得，的值．
【解答】解：（1），
令，
由得或
，．
当时，，
当时，
所以在处取极小值，即
（2）解：
，
在处取得极小值，即，
由，即，
，，，
，
，，，
由四边形是梯形及与不平行，得．
即
由四边形的面积为1，得
即得，
从而得，
【点评】本小题考查多项式函数的导数，函数极值的判定，二次函数与二次方程等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力．
25．（2006•天津）已知函数，其中，为参数，且．
（Ⅰ）当时，判断函数是否有极值；
（Ⅱ）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
【分析】（1）先求函数的导数，在上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．
（2）先求出极值点，的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出极小值，使函数的极小值大于零建立不等关系，求出参数的取值范围即可．
（3）由知，函数在区间与内都是增函数，只需是区间与的子集即可．
【解答】解：解：当时，则在内是增函数，
故无极值．
解：，令，
得．
由及，只需考虑的情况．
当变化时，的符号及的变化情况如下表：
因此，函数在处取得极小值，且．
要使，必有，
可得，所以
解：由知，函数在区间与内都是增函数．
由题设，函数在内是增函数，
则须满足不等式组或
由，参数时，．要使不等式关于参数恒成立，必有．
综上，解得或．
所以的取值范围是．
【点评】本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
26．（2006•陕西）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的极小值大于0，求的取值范围．
【分析】（1）先分类讨论，当时是二次函数，单调区间很快求出，当时利用导数在函数的定义域内解不等式和，可求得函数的单调区间．
（2）讨论，显然不存在极小值，当时，根据第一问的单调性可知的极小值，建立不等关系，求出变量的范围即可．
【解答】解：当时，
的单调增区间为，，单调减区间，．
当时，
的单调增区间为，，，，单调减区间为，．
当时，函数不存在最小值．
当时，依题意，
即，由条件，所以的取值范围为
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
27．（2006•全国）设函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间和最小值；
（Ⅱ）又设，求证：．
【分析】（Ⅰ）先求导，再根据导数和函数的单调性求出单调区间，再求出最小值，
（Ⅱ）先判断出，，再利用放缩法结合（Ⅰ）的结论即可证明．
【解答】解：（Ⅰ），
，
令，解得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
；
证明（Ⅱ），
，，
，
，
由（Ⅰ）知，当且时，，
令，则当且时，，
，
又，
，
．
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及不等式的证明，考查了运算能力和转化能力，属于难题．
28．（2006•湖北）设函数在处取得极值，试用表示和，并求的单调区间．
【分析】根据题意，先求导，由函数在处取得极值，的（1），（1），可得用表示和；令导数，比较根的大小，确定函数的单调区间．
【解答】解：依题意有（1），（1），而（1），
故解得
从而．
令，得或．
由于在处取得极值，故，即．
若，即，
则当时，；
当时，；
当时，；
从而的单调增区间为；单调减区间为
若，即，
同上可得，的单调增区间为；单调减区间为
【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值，即函数在某点取得极值的条件，体现方程的思想，特别讨论函数的单调性，比较两根的大小，体现了分类讨论的思想方法，属难题．
29．（2006•福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升关于行驶速度（千米小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米．
（Ⅰ）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【分析】把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量即可．
求出耗油量为与速度为的关系式，再利用导函数求出的极小值判断出就是最小值即可．
【解答】解：当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗油（升．
答：当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
当速度为千米小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得，．
令，得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
当时，取到极小值．
因为在，上只有一个极值，
所以它是最小值．
答：当汽车以80千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
【点评】本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
30．（2006•山东）设函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）讨论的极值．
【分析】先求导数，求出的值，然后讨论与两种情形，再讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数的单调区间；
讨论与两种情形，根据可知的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数的极值．
【解答】解：由已知得，
令，解得，．
（Ⅰ）当时，，在上单调递增
当时，，，随的变化情况如下表：
从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当时，函数没有极值．
当时，函数在处取得极大值1，在处取得极小值．
【点评】本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
31．（2006•四川）已知函数，，其中是的导函数．
（Ⅰ）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点．
【分析】将对满足的一切的值成立，转化为令，成立解决．
（Ⅱ）函数的图象与直线只有一个公共点．关键是画出函数的图象，方法是先分①当时，的图象与直线只有一个公共点②当时，求得极值，明确关键点，再利用图象间的关系求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意
令（a），，
对，恒有，即（a）
，即，解得
故时，对满足的一切的值，都有．
（Ⅱ）
①当时，的图象与直线只有一个公共点
②当时，
又的值域是，且在上单调递增
当时函数的图象与直线只有一个公共点．
当时，恒有，
由题意得，即，
解得，
综上，的取值范围是．
【点评】本小题主要考查函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运算能力和综合应用数学知识的能力．
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