人教版选修2（理科）导数同步练习题

这是一份人教版选修2（理科）导数同步练习题，共43页。试卷主要包含了设在内单调递增，，则是的，函数在区间，上的最小值是　 　等内容，欢迎下载使用。
1．（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A．3B．2C．1D．
2．（2007•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A．B．C．D．
3．（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A．1B．2C．3D．4
4．（2007•江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为
A．3B．C．2D．
5．（2007•江西）设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为
A．B．0C．D．5
6．（2007•江西）设在内单调递增，函数不存在零点则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2007•江西）设在内单调递增，，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2007•陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则必有
A．（b）（a）B．（a）（b）C．（a）（b）D．（b）（a）
9．（2007•海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题）
10．（2007•湖南）函数在区间，上的最小值是 ．
11．（2007•江苏）已知函数在区间，上的最大值与最小值分别为，，则 ．
12．（2007•湖北）已知函数的图象在，（1）处的切线方程是，（1）（1） ．
13．（2007•全国）函数在区间，单调减少，且，则的最大值为 ．
14．（2007•广东）函数的单调递增区间是 ．
15．（2007•浙江）曲线在点处的切线方程是 ．
三．解答题（共22小题）
16．（2007•湖南）已知函数在区间，，，内各有一个极值点．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当时，设函数在点，（1）处的切线为，若在点处穿过的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
17．（2007•安徽）设函数，其中，将的最小值记为．
（1）求的表达式；
（2）讨论在区间内的单调性并求极值．
18．（2007•浙江）设，对任意实数，记．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
19．（2007•福建）已知函数，
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：（1）（2）．
20．（2007•辽宁）已知函数，．
证明：当时，在上是增函数；
对于给定的闭区间，，试说明存在实数，当时，在闭区间，上是减函数；
证明：．
21．（2007•安徽）设，．
（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当时，恒有．
22．（2007•重庆）已知函数在处取得极值，其中，，为常数．
（1）试确定，的值；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
23．（2007•全国卷Ⅰ）设函数
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
24．（2007•海南）设函数
（1）讨论的单调性；
（2）求在区间，的最大值和最小值．
25．（2007•全国卷Ⅱ）已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）若，求的取值范围．
26．（2007•山东）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
27．（2007•全国卷Ⅱ）已知函数
（1）求曲线在点，处的切线方程
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：（a）
28．（2007•湖南）如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为，且，点到平面的距离．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用、从点到山脚修路的造价为万元，原有公路改建费用为万元、当山坡上公路长度为时，其造价为万元、已知，，，．
（Ⅰ）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．
（Ⅲ）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（Ⅱ）中得到的最小总造价，证明你的结论、
29．（2007•陕西）已知在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，又．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在区间，上恒有成立，求的取值范围．
30．（2007•山东）设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
31．（2007•天津）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（2）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
32．（2007•全国）设函数，实数，是常数．
（Ⅰ）若曲线的任意切线的斜率都不小于，则、的取值范围如何？
（Ⅱ）证明曲线是中心对称图形；并求出对称中心的坐标．
33．（2007•四川）设函数为奇函数，其图象在点，（1）处的切线与直线垂直，导函数
的最小值为．
（1）求，，的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在，上的最大值和最小值．
34．（2007•湖北）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用表示，并求的最大值；
（Ⅱ）求证：．
35．（2007•重庆）用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
36．（2007•全国卷Ⅰ）设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）若对任意的，，都有成立，求的取值范围．
37．（2007•海南）设函数
（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
2007年的导数题
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A．3B．2C．1D．
【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．
【解答】解：设切点的横坐标为，
曲线的一条切线的斜率为，
，解得或（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3
故选：．
【点评】考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为．
2．（2007•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A．B．C．D．
【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在，处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．
【解答】解：若，则，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是，，，围成的三角形面积为，故选．
【点评】函数在处的导数的几何意义，就是曲线在点，处的切线的斜率，过点的切线方程为：
3．（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用导数的几何意义，列出关于斜率的等式，进而得到切点横坐标．
【解答】解：已知曲线的一条切线的斜率为，，
，则切点的横坐标为1，
故选：．
【点评】函数在处的导数的几何意义，就是曲线在点，处的切线的斜率．应熟练掌握斜率与导数的关系．
4．（2007•江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为
A．3B．C．2D．
【分析】先求导，由可得，因为对于任意实数都有，所以结合二次函数的图象可得且，又因为，利用均值不等式即可求解．
【解答】解：，
；
对于任意实数都有，
且，
，
；
，
当时取等号．
故选：．
【点评】本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．
5．（2007•江西）设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为
A．B．0C．D．5
【分析】偶函数的图象关于轴对称，为极值点，是上以5为周期，也是极值点，极值点处导数为零
【解答】解：是上可导偶函数，
的图象关于轴对称，
在处取得极值，即，
又的周期为5，
（5），即曲线在处的切线的斜率0，
故选：．
【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件
6．（2007•江西）设在内单调递增，函数不存在零点则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由“在内单调递增”，可转化为“在上恒成立”，即在上恒成立，用判别式解．由“不存在零点”，可知相应方程无根．根据两个结果，用集合法来判断逻辑关系．
【解答】解：在内单调递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
即△，即；
不存在零点，
则△，即．
故成立不一定成立，成立一定成立，故是的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题主要考查常用逻辑用语，涉及了函数的单调性及函数零点问题．
7．（2007•江西）设在内单调递增，，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系求出的范围．
【解答】解：由题意得，
在内单调递增，
，即在定义域内恒成立，
由于，当且仅当，即时等号成立，故对任意的，必有
不能得出
但当时，必有成立，即在上成立
不是的充分条件，是的必要条件，即是的必要不充分条件
故选：．
【点评】本题考查函数导数与单调性的关系．属于函数恒成立问题，难度较大，综合性强，尤其是充分条件的证明是本题的难点，本题易因为判断不出最值而导致无法下手，本解答通过给出这一条件避免了利用导数求最值，从而达到判断两个命题之间关系的目的．做题时要注意掌握此类变通的技巧．
8．（2007•陕西）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则必有
A．（b）（a）B．（a）（b）C．（a）（b）D．（b）（a）
【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．
【解答】解：函数在上为常函数或递减，
又且非负，于是有：（a）（b）①②
①②两式相乘得：（b）（a），
故选：．
【点评】本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感．
9．（2007•海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A．B．C．D．
【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．
【解答】解析：依题意得，
因此曲线在点处的切线的斜率等于，
相应的切线方程是，
当时，
即时，，
切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：
．
故选：．
【点评】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
二．填空题（共6小题）
10．（2007•湖南）函数在区间，上的最小值是 ．
【分析】先对函数进行求导，然后令导函数等于0求出的值，然后判断端点值和极值的大小进而得到最小值．
【解答】解：，
，得，
，（3），，（2），
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数在闭区间上的最值．利用导数求函数在闭区间上的最值是一种常用的方法，要熟练掌握．
11．（2007•江苏）已知函数在区间，上的最大值与最小值分别为，，则 32 ．
【分析】先对函数进行求导，令导函数等于0求出，然后根据导函数的正负判断函数的单调性，列出在区间，上的单调性、导函数的正负的表格，从而可确定最值得到答案．
【解答】解：令，得或，
列表得：
可知，，．
故答案为：32
【点评】本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值．导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考，要引起重视．
12．（2007•湖北）已知函数的图象在，（1）处的切线方程是，（1）（1） 3 ．
【分析】先将代入切线方程可求出（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出（1）的值，最后相加即可．
【解答】解：由已知切点在切线上，所以（1），切点处的导数为切线斜率，所以，
所以（1）（1）
故答案为：3
【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．
13．（2007•全国）函数在区间，单调减少，且，则的最大值为 ．
【分析】先由函数单调递减转化为恒成立，再转化为线性规划问题求解．
【解答】由函数在区间，单调减少，
可得在，上恒成立，
即，
即，
又，得到
，
做出可行域如右图，
由图可知，当直线，
即平移和直线平行时，
取到最大值，最大值为．
本题容易受的影响，即点不在可行域内，
但可以在直线上另外取一点如代入求值也能得到取到最大值为．
【点评】当利用恒成立转化为线性规划问题后，题目的难度就降低了．同时提醒注意由恒成立命题向二次不等式组转化的这一数学模型，希望大家能理解记忆，以后碰到就可以直接应用．本题容易受的影响，即点不在可行域内，但可以在直线上另外取一点代入求值．
14．（2007•广东）函数的单调递增区间是 ， ．
【分析】求出的导函数，令导函数大于0列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围即为函数的单调递增区间．
【解答】解：由函数得：，
令即，根据得到此对数函数为增函数，
所以得到，即为函数的单调递增区间．
故答案为：，
【点评】此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，是一道中档题．
15．（2007•浙江）曲线在点处的切线方程是 ．
【分析】没有判断点与曲线的位置关系，导致运算较繁或找不到方法，先判断点与曲线的位置关系，然后求出函数在处的导数，得到切线的斜率，从而求出切线方程．
【解答】解：易判断点在曲线上，
故切线的斜率，
切线方程为，即
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，点与曲线的位置关系等有关基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
三．解答题（共22小题）
16．（2007•湖南）已知函数在区间，，，内各有一个极值点．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当时，设函数在点，（1）处的切线为，若在点处穿过的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
【分析】（Ⅰ）极值点处的导数为零，导数在区间，，，各有一根
（Ⅱ）切线在点处穿过的图象，切线在该点的一侧在的图象上边，切线在该点的另一侧在的图象下边，构造函数该点不是新函数的极值点求值．
【解答】解：因为函数在区间，，，内分别有一个极值点，所以在，，，内分别有一个实根，
设两实根为，，则，且．于是，，且当，，即，时等号成立．故的最大值是16．
解法一：由（1）知在点，（1）处的切线的方程是（1）（1），即，
因为切线在点，（1）处穿过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．
而，且．
若，则和都是的极值点．
所以，即．又由，得．故．
解法二：同解法一得．
因为切线在点，（1）处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在，．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由（1）知是的一个极值点，则．
所以．又由，得，故．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值，函数为极值的条件，构造函数能力．
17．（2007•安徽）设函数，其中，将的最小值记为．
（1）求的表达式；
（2）讨论在区间内的单调性并求极值．
【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与最值的关系求出函数的最小值，从而求出，
（2）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调性和极值的关系求出在区间内的单调性和极值．
【解答】解：（1）由题意得数
，
又由，可得，当时，取得最小值，
此时函数取得最小值，即，
（2），则，，
令可得，
列表如下：
易得在区间和，上为增函数，在区间，上为减函数，
当时，取极大值为4，
当时，取极小值为2．
【点评】熟练掌握函数的导数与单调性和极值的关系，并会熟练运用其相关性质．
18．（2007•浙江）设，对任意实数，记．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
【分析】首先求出函数的导数，然后令，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数的单调区间；
（ⅰ）由题意当时，，求出最小值，和的最大值，从而求证；
（ⅱ）由得，（2）（2）对任意正实数成立．即存在正实数，使得（2）（2）对任意正实数，然后再证明的唯一性．
【解答】解：解：．由，得．
因为当时，，
当时，，
当时，，
故所求函数的单调递增区间是，，
单调递减区间是．
证明：方法一：
令，则，
当时，由，得，
当时，，
所以在内的最小值是．
故当时，对任意正实数成立．
方法二：
对任意固定的，令，则，
由，得．
当时，．
当时，，
所以当时，取得最大值．
因此当时，对任意正实数成立．
方法一：．
由得，（2）（2）对任意正实数成立．
即存在正实数，使得（2）（2）对任意正实数成立．
下面证明的唯一性：
当，，时，，，
由得，，
再取，得，
所以，
即时，不满足对任意都成立．
故有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
方法二：对任意，，
因为关于的最大值是，所以要使
对任意正实数成立的充分必要条件是：，
即，①
又因为，不等式①成立的充分必要条件是，
所以有且仅有一个正实数，
使得对任意正实数成立．
【点评】本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．
19．（2007•福建）已知函数，
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：（1）（2）．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解不等式，
（2）是偶函数，只需研究对任意成立即可，即当时
（3）观察结论，要证（1）（2），即证（1）（2），变形可得（1）（2）（1），可证（1），（2），（1）．问题得以解决．
【解答】解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当，时，．
此时在，上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时，的变化情况如下表：
由此可得，在，上，．
依题意，，又，．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），，
（1），（2），（1）．
由此得，（1）（2）（1）（2）（1）
故，．
【点评】本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．
20．（2007•辽宁）已知函数，．
证明：当时，在上是增函数；
对于给定的闭区间，，试说明存在实数，当时，在闭区间，上是减函数；
证明：．
【分析】（1）由已知解出的值，进而得到的值，接下来采用分析证明法来分析，若证为上的增函数，只需证，即证，又因为，且，所以即证，再利用综合证明的方法写出来即可．
（2）若证明在，上的减函数，只需证明，即，，因为在闭区间，上连续，故有最大值，令这个最大值为实数即可．
（3）已知含有，可以把转换成关于的一元二次函数，通过配方，易得，再令，通过求解的单调性和最值，可以得到的最小值为1．就可以得出，即证．
【解答】解：证明：由题设易得，．又由，且得，
，即．由此可知，在上是增函数．
因为是为减函数的充分条件，所以只要找到实数，使得时，即在闭区间，上成立即可．因为在闭区间，上连续，故在闭区间，上有最大值，设其为，于是在时，在闭区间，上恒成立，即在闭区间，上为减函数．
设，即，
易得．令，则，易知．当时，；当时，．故当时，取最小值，．所以，
于是对任意的，，都有，即．
【点评】本小题主要考查二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
21．（2007•安徽）设，．
（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当时，恒有．
【分析】（1）先根据求导法求导数，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间及极值即可．
（2）欲证 ，即证，也就是要证（1），根据第一问的单调性即可证得．
【解答】解：（Ⅰ）根据求导法则有，
故，，
于是，
知在内是减函数，在内是增函数，
所以，在处取得极小值（2）．
（Ⅱ）证明：由知，的极小值（2）．
于是知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，（1），即．
故当时，恒有．
【点评】本题主要考查学生综合运用导数知识分析问题、解决问题的能力，本小题主要考查函数的导数，单调性，不等式等基础知识．
22．（2007•重庆）已知函数在处取得极值，其中，，为常数．
（1）试确定，的值；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）因为时函数取得极值得求出，然后令导函数求出即可；
（2）解出导函数为0时的值讨论的取值范围时导函数的正负决定的单调区间；
（3）不等式恒成立即的极小值，求出的解集即可．
【解答】解：（1）由题意知（1），因此，从而
又对求导得
由题意（1），因此，解得
（2）由知，令，解得
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为
（3）由知，在处取得极小值（1），此极小值也是最小值，
要使恒成立，只需
即，从而，解得或
所以的取值范围为
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．
23．（2007•全国卷Ⅰ）设函数
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求出的导函数，利用当且仅当时取等号．得到；
（Ⅱ）把不等式变形令并求出导函数令其得到驻点，在上求出的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）的导数．
由于，故．
（当且仅当时，等号成立）．
（Ⅱ）令，则，
（ⅰ）若，当时，，
故在上为增函数，
所以，时，，即．
（ⅱ）若，方程的正根为，
此时，若，则，故在该区间为减函数．
所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是，．
【点评】考查学生利用导数运算的能力，利用导数求闭区间上函数的最值的能力．
24．（2007•海南）设函数
（1）讨论的单调性；
（2）求在区间，的最大值和最小值．
【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；
（2）根据（1）知在区间，的最小值为求出得到函数的最小值，又因为，得到
在区间，的最大值为求出得到函数的最大值．
【解答】解：的定义域为，
（1）
当时，；
当时，；
当时，
从而，在区间，，，上单调递增，在区间上单调递减
（2）由（1）知在区间，的最小值为
又
所以在区间，的最大值为．
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数在闭区间上极值的能力．
25．（2007•全国卷Ⅱ）已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）求出的导函数，因为函数在和取得极值得到：，是导函数等于0的两个根．表示出导函数，因为函数为增函数，得到导函数大于0，根据不等式取解集的方法即可得到的范围；
（2）由得到导函数在、2时大于0，导函数在时小于0，得到如图所示的三角形，求出三个顶点的坐标即可得到相应的值，得到的取值范围即可．
【解答】解：求出函数的导函数．
（1）由函数在处取得极大值，
在处取得极小值，知，是的两个根．
所以
当时，为增函数，，
由，，得．
（2）在题设下，等价于，
即，
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：，，．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
【点评】本题考查学生会利用导数研究函数的极值，会利用数形结合法进行简单的线性规划．在解题时学生应注意利用数形结合的数学思想解决问题．
26．（2007•山东）设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
【分析】（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求出函数的导函数，利用二次函数的性质判定导函数的符号，从而确定函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）需要分类讨论，由（Ⅰ）可知分类标准为，，或．参数取某些特定值时，可只管作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决，另外要注意由求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为“极值点”．
（Ⅲ）先构造函数，然后研究在，上的单调性，求出函数的最小值，从而得到，最后令，即可证得结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域在
令，则在上递增，在上递减，
在上恒成立，
所以即当，函数在定义域上单调递增．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当时函数无极值点
（2）当时，，
，
时，函数在上无极值点
（3）当时，解得两个不同解
当时，，
，，此时在上有唯一的极小值点
当时，，，在，，都大于0，
在，上小于0，此时有一个极大值点和一个极小值点
综上可知，，时，在上有唯一的极小值点
时，有一个极大值点和一个极小值点
时，函数在上无极值点．
（Ⅲ）当时，．令上恒正
在，上单调递增，
当时，恒有
即当时，有，，对任意正整数，取
【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用和不等式的证明方法，属于中档题．
27．（2007•全国卷Ⅱ）已知函数
（1）求曲线在点，处的切线方程
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：（a）
【分析】（1）求出，根据切点为，，得到切线的斜率为，所以根据斜率和点坐标写出切线方程即可；
（2）设切线过点，则存在使，于是过点可作曲线的三条切线即为方程有三个相异的实数根．记，求出其导函数时的值，利用的值分区间讨论导函数的正负得到的单调区间，利用的增减性得到的极值，根据极值分区间考虑方程有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．
【解答】解：（1）求函数的导函数；．
曲线在点，处的切线方程为：，即；
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．
记，则．
当变化时，，变化情况如下表：
由的单调性，当极大值或极小值（a）时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当（a）时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即（a）．
【点评】考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的增减性得到函数的极值．
28．（2007•湖南）如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为，且，点到平面的距离．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用、从点到山脚修路的造价为万元，原有公路改建费用为万元、当山坡上公路长度为时，其造价为万元、已知，，，．
（Ⅰ）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．
（Ⅲ）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（Ⅱ）中得到的最小总造价，证明你的结论、
【分析】对于（Ⅰ）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．这是一个实际应用题，需要先把复杂的图形转化为清晰的几何图形，然后设．根据几何关系列出总造价为的函数表达式，再根据配方法求出最小值即为所求．
对于（Ⅱ）对于（Ⅰ）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．设，，总造价为万元，求出总造价的的函数表达式，求出其导函数的方法，通过判断在区间上正负问题，讨论区间单调性．然后根据单调性求极值即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）如图，，，，
由三垂线定理逆定理知，，
所以是山坡与所成二面角的平面角，
则，．
设，，
则，．
记总造价为万元，
据题设有
当，即时，总造价最小．
（Ⅱ）设，，总造价为万元，
根据题设有、
则，由，得．
当时，，在内是减函数；
当时，，在内是增函数．
故当，即时总造价最小，且最小总造价为万元．
【点评】此题主要考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．
29．（2007•陕西）已知在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，又．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在区间，上恒有成立，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由“在区间，上是增函数，在区间，上是减函数”，则有（1），再由
．求解．
（Ⅱ）首先将“，，成立”转化为“，，成立”求解．
【解答】解：（Ⅰ），由已知（1），
即
解得
，
，
，
．
（Ⅱ）令，即，
，
或．
又在区间，上恒成立，
．
【点评】本题主要考查利用函数的极值点和导数值来求函数解析式及不等式恒成立问题．
30．（2007•山东）设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
【分析】因为函数有没有极值点是由导函数等于0有没有根决定的，故转化为证时导函数等于0没有根；时，导函数有且只有一个根，且在根的两侧导函数不同号即可．
【解答】证明：因为，，所以的定义域为．．
当时，如果，，，在上单调递增；
如果，，，在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，
令，
得（舍去），，
当，时，，随的变化情况如下表：
从上表可看出，
函数有且只有一个极小值点，极小值为．
当，时，，随的变化情况如下表：
从上表可看出，
函数有且只有一个极大值点，极大值为．
综上所述，
当时，函数没有极值点；
当时，
若，时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．
若，时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及对分类讨论思想的考查．分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一，所以希望能加强这方面的训练．
31．（2007•天津）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（2）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
【分析】把代入，先对函数求导，然后求（2），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率（2），从而求出切线方程．
先对函数求导，分别解，，解得函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的极值．
【解答】解：
解：当时，．
又．
所以，曲线在点，（2）处的切线方程为，即．
解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到．当变化时，，的变化情况如下表：
所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且．
函数在处取得极大值（a），且（a）．
（2）当时，令，得到．当变化时，，的变化情况如下表：
所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值（a），且（a）．
函数在处取得极小值，且．
【点评】本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．
32．（2007•全国）设函数，实数，是常数．
（Ⅰ）若曲线的任意切线的斜率都不小于，则、的取值范围如何？
（Ⅱ）证明曲线是中心对称图形；并求出对称中心的坐标．
【分析】（Ⅰ）求出的导数，由题意，从而求出的取值范围，再由题意可得出的取值范围；
（Ⅱ）由两数和的立方公式，可得，平移后得到的新的曲线函数是关于原点对称的奇函数，可得曲线是中心对称图形，即可得到对称中心．
【解答】解：（Ⅰ）求导得，
所以对任意，等价于，
即的取值范围是；
由于与的切线斜率无关，故的取值范围是整个实数集．
（Ⅱ）证明：，
，
将的图象向右平移1个单位，向下（上平移个单位，
可得，
因为关于原点对称，
则曲线是中心对称图形；
得到对称中心坐标为．
【点评】本题考查了导数的几何意义，函数的性质，主要是对称性，考查运算能力，属于中档题．
33．（2007•四川）设函数为奇函数，其图象在点，（1）处的切线与直线垂直，导函数
的最小值为．
（1）求，，的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在，上的最大值和最小值．
【分析】（1）先根据奇函数求出的值，再根据导函数的最小值求出的值，最后依据在处的导数等于切线的斜率求出的值即可；
（2）先求导数，在函数的定义域内解不等式和，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
【解答】解：（1）为奇函数，
，即，．
的最小值为，．
又直线的斜率为，则（1），得，
，，；
（2）由（1）知，，
列表如下：
所以函数的单调增区间是和，．
，，（3），
在，上的最大值是（3），最小值是．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
34．（2007•湖北）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用表示，并求的最大值；
（Ⅱ）求证：．
【分析】（Ⅰ）设出两曲线的公共点坐标，分别求出和的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用表示出的式子，设等于表示出的式子，求出的导函数，令导函数大于0求出的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出的最大值即为的最大值；
（Ⅱ）设，求出的导函数，根据导函数的正负得到的单调区间，由大于0和函数的增减性得到的最小值为0，即大于等于0，得证．
【解答】解：（Ⅰ）设与在公共点，处的切线相同．
，，由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．
于是当，即时，；当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是（a）（a）（a），
故当时，有，即当时，．
【点评】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
35．（2007•重庆）用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
【分析】先设设长方体的宽为，利用长方体的体积公式求得其体积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可．
【解答】解：设长方体的宽为，则长为，高为．
故长方体的体积为．
从而．
令，解得（舍去）或，因此．
当时，；当时，，
故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值．
从而最大体积，此时长方体的长为，高为．
答：当长方体的长为时，宽为，高为时，体积最大，最大体积为．
【点评】利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，函数的最值要由极值和端点的函数值确定．当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．
36．（2007•全国卷Ⅰ）设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）若对任意的，，都有成立，求的取值范围．
【分析】（1）依题意有，（1），（2）．求解即可．
（2）若对任意的，，都有成立在区间，上成立，根据导数求出函数在，上的最大值，进一步求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有（1），（2）．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值（1），又，（3）．
则当，时，的最大值为（3）．
因为对于任意的，，有恒成立，
所以，
解得或，
因此的取值范围为，，．
【点评】本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题，而函数①在区间，上恒成立与②存在，，使得是不同的问题．①，②，在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题．在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用．
37．（2007•海南）设函数
（Ⅰ）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（Ⅱ）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
【分析】先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，，代入可求，代入的值，分别解，，求解即可．
由题意可得在区间上，有根，结合一元二次方程根的存在情况讨论该方程的△，求的取值范围，结合的取值，把极值点代入函数可得，
【解答】解：（Ⅰ），
依题意有，故．
从而．
的定义域为，
当时，；
当时，；
当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式△．
（ⅰ）若△，即，在的定义域内，函数单调递增，故无极值．
（ⅱ）若△，则或．
若，，
当时，，
当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若△，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，则
，，
，
，，
．
，
，从而在的定义域内没有零点，
故无极值．
当时，，
，．
，，
，，在的定义域内有两个不同的零点，
由根值判别方法知在，取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
由于，，
则的极值之和为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题时若含有参数，要对参数的取值进行讨论，而分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用．
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0
0
17

极值24
极值



，

，

0
0

增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
0
单调递减
极小值
单调递增
0
0
0

极大值

极小值（a）


，
0
极小值
，
0
极大值




0
0
极小值
极大值




0
0
增
极大值
减
极小值
增


，

，

0
0

增
极大
减
极小
增