江苏省连云港市七校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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满分150分 考试时间120分钟
一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机变量分布列的定义即可得到答案.
【详解】由题意得，则，
故选：B.
2. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A. 1B. 10C. 40D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】利用通项求解可得.
【详解】通项公式为，
当时，，
所以项的系数为80.
故选：D
3. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同选购方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解.
【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选：A
4. 已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出面的法向量为，则到平面的距离，即可得出答案.
【详解】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

所以，
，
设面的法向量为，
，
所以，
令，则，
所以，
，
所以到平面的距离，
故选：C.
5. 长方体中，，E为与的交点，F为与的交点，又，则长方体的高等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，设长方体的长为，表示出，由空间向量的坐标表示代入求解即可得出答案.
【详解】设长方体的长为，由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
由可得，所以，
解得：.
故选：C.

6. 在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量是一个没有人为编造的首位非零数字，则， 则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：，）（ ）
A. 0.046B. 0.051C. 0.058D. 0.067
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合对数运算求解．
【详解】由题意可得：,
故选：B
7. 若能被13整除，则可以是（ ）
A. 0B. 1C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式定理展开，然后根据整除列式计算即可.
【详解】因为
，
又因为能被13整除，
所以能被13整除，观察选项可知可以是.
故选：B.
8. 甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据取到甲、乙、丙袋分三种情况结合全概率公式求解.
【详解】设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“取出的是丙袋”为事件，“该球为红球”为事件，
则
，
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（ ）
A. 为7B. 所有项的二项式系数和为64
C. 二项式系数最大的项为第4项D. 没有常数项
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二项式展开式的特征求出，即可判断A，再由二项式系数和为，可判断B，由二项式系数的特征可判断C，写出展开式的通项，即可判断D.
【详解】对A,因为二项式的展开式中共有7项，所以，即，故A错误；
对B,二项式中，所有项的二项式系数和为，故B正确；
对C,因为二项式的展开式中共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故C正确；
对D,二项式的通项为，
令，得，不满足题意，故D正确.
故选：BCD.
10. 某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（ ）
A. 若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法
B. 若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法
C. 若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法
D. 若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，采用捆绑法进行求解；B选项，利用排列知识进行求解；C选项，采用插空法进行求解；D选项，分两种情况，前2个节目都是语言类节目和前2个节目中有1个是语言类节目，分别求出排法后相加即可.
【详解】A选项，若3个歌唱节目排在一起，则有种情况，将3个歌唱节目看为一个整体，和2个语言类节目进行排列，则有种情况，
综上，共有种情况，A错误；
B选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有种情况，B正确；
C选项，若2个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有种情况，再将语言类节目插入到3个节目形成的4个空格中，有种，
综上，共有种情况，C正确；
D选项，前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况，
前2个节目中有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况，
综上，有种不同的排法，D正确.
故选：BCD
11. 玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合古典概型，条件概型的计算公式，分别求出有关事件的概率，再进行判断.
【详解】对A，由题意，第一次取得黑球的概率，
第一次取得白球的概率，
第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，
第一次取得白球、第二次取得白球的概率，
则，所以A错误；
对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，
第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，
则，所以B正确；
对C，由，
得，所以C正确；
对D，由，得，所以D正确．
故选：BCD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12. 已知，则__________.
【答案】3或5
【解析】
【分析】根据组合数公式的性质，直接列式解可得答案．
【详解】根据题意，若，
必有，或，
解可得或3；经检验均符合题意.
故答案为:3或5．
13. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解.
【详解】因为，，
可得，
又因为三点共线，可设，即，
因为不共线，可得，解得，
所以实数的值为.
故答案为：.
14. 小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码，如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码______．
【答案】24
【解析】
【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案.
【详解】依题意，将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，
所以共有不同的密码个数是.
故答案为：24
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求：
（1）在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率；
（2）第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可；
（2）根据概率乘法公式计算即可.
【小问1详解】
设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，
第一个人摸出个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球，
故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率.
【小问2详解】
设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球，
事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件，
所以
16. 如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面的夹角余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由（1）的坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
在正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
于是，显然，
则，而平面；
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知平面一个法向量为，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
17. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
（1）六位奇数；
（2）个位数字不是5的六位数；
（3）不大于4 310四位偶数.
【答案】（1）288；（2）504；（3）110.
【解析】
【分析】（1）先排个位，再排首位，其余的位任意排，根据分步计数原理；
（2）2因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0；
（3）需要分类，不大于4310的四位偶数，即是小于等于4310的偶数，当千位小于4，当百位小于3，当十位小于1时，然后根据分类计数原理可得．
【详解】（1）先排个位数，有种，因为0不能在首位，再排首位有种，最后排其它有，根据分步计数原理得，六位奇数有；
（2）因为0是特殊元素，分两类，个位数字是0，和不是0， 当个位数是0，有， 当个位不数是0，有，根据分类计数原理得，个位数字不是5的六位数有；
（3）当千位小于4时，有种， 当千位是4，百位小于3时，有 种， 当千位是4，百位是3，十位小于1时，有1种， 当千位是4，百位是3，十位是1，个位小于等于0时，有1种， 所以不大于4310的四位偶数4有.
【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置，要优先考虑，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题
18. 在的展开式中，
（1）求展开式中所有有理项；
（2）展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项
【答案】(1) 有理项有：,,,；
(2) 绝对值最大的项是第6、7项; 系数最大的项为,系数最小的项为
【解析】
【分析】(1)由展开式的通项公式中的指数为整数求解即可.
(2)设第项系数的绝对值最大,再根据第项系数大于等于前后两项的系数求解不等式即可.再分析正负判断系数最大的项和系数最小的项即可.
【详解】(1)由题展开式中的第项.
即.故当为整数时为有理项.故当时成立,
分别为,,,
.
即,,,
(2)由知,当系数的绝对值最大的项即最大.
故.
故绝对值最大的项是第6、7项.
其中系数最大的项为,
系数最小的项为
【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,需要根据二项式的通项公式分析求解,属于中等题型.
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．

（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）当点为的中点时，有平面.
【解析】
【分析】（1）作平面，结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解.
（2）分别算出与平面的法向量，再由公式即可求解.
（3）若平面，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，待定系数即可求解.
【小问1详解】
作平面，又，所以以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：

因为平面平面，平面平面，且，平面，
所以平面，
又因为为的中点，，且，，，
所以由题意有，
所以有
不妨设平面的法向量为，
所以有，即，
取，解得，
所以点到平面的距离为.
【小问2详解】
如图所示：

由题意有，
所以有
不妨设平面的法向量为，
所以有，即，
取，解得，
不妨设直线与平面所成角为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
【小问3详解】
如图所示：

由题意有
所以，
由题意不妨设，
所以，
又由（2）可知平面的法向量为，
若平面，则，
即，解得，
所以当点为的中点时，有平面.