宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题（原卷版+解析版）

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满分：150分 考试时长：120分
一、选择题(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合，则与集合的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把集合A用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项.
【详解】
故选：B
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项.
【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
3. 命题“,”的否定是
A. ,B. ,
C. ,D. ,
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用特称命题的否定为全称命题的定义，即可得答案.
【详解】∵命题“,”，
∴命题的否定为：,.
故选：D.
【点睛】本题考查特称命题的否定，考查对概念的理解与应用，求解时注意将存在改成任意，同时对结论进行否定.
4. 一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（ ）
一百零八塔全景
A. 第5行，呈葫芦状B. 第6行，呈葫芦状
C. 第7行，呈宝瓶状D. 第8行，呈宝瓶状
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意算出佛塔依山势自上而下前6行的总数，然后确定编号为26的佛塔所在层数和塔体形状即可.
【详解】因为，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．
故选：C
5. 已知向量，若，则（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据向量的坐标表示出,然后根据坐标形式下向量的平行关系列出对应的等式，求解出的值即可.
【详解】因为，
所以，
又因为，所以，
所以解得：，
故选：B.
【点睛】本题考查根据坐标形式下向量的平行关系求解参数，难度较易.已知，则有.
6. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平方关系求出，然后由余弦的两角差公式可得.
【详解】因为，，，，
所以，
所以.
故选：A
7. 某班有学生人，现将所有学生按，，，，随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本（等距抽样），已知编号为，，，，号学生在样本中，则（ ）
A. B. C. 14D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出组距，然后根据第一个被取编号即可确定a、b，即可得答案.
【详解】因为，所以组距为10，
因为第一个被抽取的编号为4，所以，
所以.
故选：A
8. 某咖啡店门前有一个临时停车位，小轿车在此停车时长超过10分钟就会被贴罚单．某顾客将小轿车停在该车位后，来到该咖啡店消费，忽略该顾客从车内到咖啡店以及以从咖啡店回到车内的时间，若该顾客上午10：02到达咖啡店内，他将在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，则他的车不会被贴罚单的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用几何概型的概率计算公式直接求解.
【详解】他在当天上午10：08至上午10：15的任意时刻离开咖啡店回到车内，
其中在10：08至上午10：12的任意时刻离开咖啡店回到车内，他的车不会被贴罚单，
故由几何概型可知他的车不会被贴罚单的概率为．
故选：C
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 没有公共点的两条直线是异面直线
B. 若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则
C. 若平面α，β，γ满足，，则
D. 已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间位置关系的定义及判定来判断选项即可.
【详解】对A，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故A错误；
对B，若两条直线a，b与平面α所成的角相等，
则a，b可以平行、相交或异面，故B错误；
对C，若平面α，β，γ满足，，则α，γ不一定垂直，故C错误；
对D，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直，故D正确.
故选：D.
10. 直线（）截圆所得弦长的最小值是（ ）
A. 2B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线过的定点、圆的圆心坐标及半径，再利用圆的性质及弦长公式计算即得.
【详解】依题意，直线过定点，圆的圆心，半径，
，即点在圆内，当且仅当直线与直线垂直时，直线截圆所得弦长最短，
所以所求最短弦长为.
故选：C
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，在第一象限存在点，且点在双曲线上，满足，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形面积公式可得，然后求出，根据余弦定理构造齐次式，结合求出即可得解.
【详解】由得，
因为点在第一象限，所以为锐角，所以，
因为，所以，
由双曲线定义得，
在中，由余弦定理有，
整理得，
又，所以，即，
解得，所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：B
12. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到是以为周期的周期函数，作出的图象，转化为与直线的图象有5个交点，结合图象及对称性，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为，可得函数的图象关于对称，且，
又因为函数为定义在上的偶函数，可得，
则，即，所以是以为周期的周期函数，
因为当时，，作出函数的图象，如图所示，
由关于x的方程恰有5个实数解，
即函数与直线的图象有5个交点，
结合图象，及其图象的对称性，则满足或，
解得或，
即实数的取值范围是.
故选：A.

二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 设x，y满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意画出可行域，利用目标函数的几何意义结合图象即可求解.
【详解】作出可行域如下：

由可得，由图可知当直线过点时，
最小，则z最大，此时．
故答案：4．
14. 在的展开式中，常数项是___________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.
【详解】的展开式的通项公式为
，
令 ，
故常数项为 ，
故答案为：
15. 数列的通项，前项和为，则____________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据数列的通项公式，求得数列的周期为4，利用规律计算，即可求解．
【详解】由题意，数列的通项，
可得，
，得到数列是以4项为周期的形式，
所以
=．
故答案为7.
【点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据数列的通项公式求得数列的周期，以及各项的变化规律是解答的关键，属于基础题，着重考查了．
16. 如图，在中，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当平面平面时，其外接球的体积为__________.

【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得两两垂直，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，补成长方体后计算体对角线即可得其外接球的半径，即可得外接球的体积.
【详解】如图，由题意，当平面平面，
是的中点，，即两两垂直，
又，
如图，作长方体，则三棱锥的外接球，
即是长方体的外接球，
设长方体的外接球的半径为，
则，
.
当平面平面时，
其外接球的体积为.
故答案为：.
三、解答题（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17. 已知，，函数.
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.
【答案】（1），递增区间为，；（2）.
【解析】
【分析】(1)利用向量的数量积公式与降幂公式和差角公式化简即可.
(2)根据可得,再根据的面积为可得,再利用余弦定理求即可.
【详解】(1)
即.故最小正周期为.
单调递增区间：.
故,递增区间为,.
(2)由得,因为.
故,故.
又,故.
故,故
【点睛】本题主要考查了向量与三角函数降幂公式与辅助角公式的应用,同时也考查了利用正余弦定义与面积公式解三角形的方法等.属于中等题型.
18. 刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.
（1）据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
（2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品．
①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；
②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到）
【答案】（1）68 （2）①分布列见详解，；②选择方案二更划算.
【解析】
【分析】（1）根据直方图估算平均数的方法直接计算即可；
（2）①先确定X的取值，然后根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；②确定实际付款金额Y的值，然后根据所给概率写出分布列，即可计算出期望，通过比较期望大小即可作出判断.
【小问1详解】
由直方图可知，满意度的平均数为：
.
【小问2详解】
①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为；
摸到个红球，返消费金额的，实际付款为，
所以的可能取值为，
因为，
所以，
的分布列为：
所以（元）.
②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为，
因为，
所以，Y的分布列为：
所以，（元）
因为，所以选择方案二付款更划算.
19. 在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，为棱上的点．

（1）证明：；
（2）是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在一点，且为中点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直判定与性质定理推得，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；
（2）利用空间向量法分别将平面与平面的法向量表示出来，再由夹角的余弦值即可求出的位置，进而得解.
【小问1详解】
因为，，所以，
又因为直三棱柱中，，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
所以、、两两垂直，
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题知，，
所以，，，，，
设，且且，
即，则，
所以，又，
所以，所以.
【小问2详解】
存在一点，且中点，理由如下：
由（1）易知，平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，所以，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，即，
解得或（舍去），
所以当为中点时，符合题意.
20. 已知抛物线，O是坐标原点，过的直线与E相交于A，B两点，满足．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若在抛物线E上，过的直线交抛物线E于M，N两点，直线，的斜率都存在，分别记为，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的直线方程为：，，， 联立方程，利用韦达定理求出，再根据，可得，求出，即可得解；
（2）先求出点的坐标，设的直线为，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再利用斜率公式化简整理即可得解.
【小问1详解】
当直线的斜率为0时不成立，
设的直线方程为：，，，
联立，消去x得，
则恒成立，
故，
又，，故，
又，则，
故，解得，
故抛物线E的方程是；
【小问2详解】
因为，在抛物线上，故，则，
当直线的斜率为0时不成立，
设的直线为，，，
联立，消去x得：，
则，，
因为，，
则，
故的值为．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21. 已知.
（1）证明：当时，在上单调递增；
（2）当时，关于不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，得到导函数大于0恒成立，证明出结论；
（2）变形得到在上恒成立，令，二次求导，求出导函数单调递增，结合，分与两种情况，讨论得到的取值范围.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，
因为，所以，又，所以，
所以上单调递增.
【小问2详解】
当时，，
即
所以，即在上恒成立.
令，则，
令，
则.
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，所以.
①当，即时，在上，，即，所以在上单调递增，
所以对，即在上恒成立，符合题意；
②当，即时，，
又，若，则在上，，即，所以在上单调递减，所以，不合题意；
若，则存在，使得，
所以在上，，即，
所以在上，单调递减，所以对不合题意.
综上所述，关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
选修44：坐标系与参数方程
22. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．在平面直角坐标系中，已知直线过点，且倾斜角为．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值．
【答案】（1）；（t为参数）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先展开曲线的极坐标方程，再由公式替换转化即可，由直线的参数方程直接写出参数即可；
（2）将直线的参数方程代入圆的方程，利用直线参数方程的几何意义求解即可
【详解】（1）把，展开得，
两边同乘得①．
将，代入①，
即得曲线的直角坐标方程为，
又直线过点，且倾斜角为，则的参数方程为（t为参数）．
（2）将代入，得，
点的直角坐标为，设这个方程的两个实数根分别为，
则，，
则由参数t的几何意义即得
（选修4-5：不等式选讲）
23. 已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）分类讨论即可求解；
（2）根据三角绝对值不等式可得，即可求解.
【小问1详解】
当时，等价于
或或，
所以，或，或，
综上可得：，
不等式的解集为.
【小问2详解】
恒成立，恒成立，
（当且仅当时等号成立），
,解得，
的取值范围是或.
X
800
900
1000
P
Y
800
900
950
P