江西省抚州市金溪县第一中学等校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 （原卷版+解析版）

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试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.考查范围：选择性必修第一册前5章占20%，第六章和第七章占20%，选择性必修第二册第一章至第二章前5节占60%.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡指定位置上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列满足，数列满足，若是数列中的项，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
3. 已知函数，满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 中国古代建筑中的圆柱，多是根部略粗，顶部略细，这种做法称为“收分”，柱子做出收分，既稳定又轻巧．已知某古代建筑的一根圆柱，每增高，直径收分，若该柱子柱根直径为，柱高，则柱头直径为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数在上的平均变化率等于（ ）
A. B. C. D.
7. 近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020-2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列满足，，，若数列前项和为，则所有满足的的和为（ ）
A 875B. 918C. 994D. 1015
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 若二项式的展开式中含有常数项，则的值可以是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
10. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知等差数列前项和为，若，则下列各式的值恒为负的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列中，，若是等差数列，则________．
13. 平面几何中有定理：若点为锐角的外心，直线，，分别与锐角外接圆交于另外一点，，，则．若锐角的外接圆方程为，且该圆与轴的交点分别为，，则六边形的面积的最大值为________．
14. 已知数列满足，则数列的前20项之和为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若的图象上存在两点，，使得的图象在点，处的切线都与直线垂直，求实数的取值范围．
16. 已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
（1）求的标准方程；
（2）若抛物线：的焦点与的右焦点重合，的准线与的一个交点为，线段与交于点，求．
17. 已知数列是等差数列，且，，．
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式．
18. 近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为．
（1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率；
（2）随机抽取200名成年人，得到如下列联表：
是否有把握认为是否养宠物与性别有关？
（3）记2018-2023年年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且．求相关系数，并判断该回归方程是否有价值．
参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联．
回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性．
19. 若数列满足，从数列中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列的和数列，记作数列．
（1）已知等差数列的前n项和为，且．
①若，，求的通项公式，并写出的前5项；
②若，，求数列的前50项的和；
（2）若，证明：对任意或，，并求数列的所有项的和．
成年男性
成年女性
合计
养宠物
38
60
98
不养宠物
62
40
102
合计
100
100
200