高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制7.1.2 弧度制及其与角度制的换算达标测试

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制7.1.2 弧度制及其与角度制的换算达标测试，共7页。试卷主要包含了9平方米（参考数据 )，【考点】扇形的弧长与面积， 2 等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知扇形面积为 3π8 ,半径是1,则扇形的圆心角是（ ）
A．3π16B．3π8C．3π4D．3π2
2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= 12(弦×矢+矢2) ，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为 2π3 ，半径等于4米的弧田.下列说法不正确的是（ ）
A．“弦” 米，“矢” 米
B．按照经验公式计算所得弧田面积（ ）平方米
C．按照弓形的面积计算实际面积为（ ）平方米
D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据 )
3．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）
A．4 cm2B．6 cm2C．8 cm2D．16 cm2
4．若某个扇形的半径为3cm，弧长为πcm，则该扇形的面积为（ ）
A．πcm2B．32π cm2C．3πcm2D．6πcm2
5．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中（方田）章给出的计算弧田面积的经验公式为：弧田面积 =12 （弦 × 矢 + 矢 2 ），弧田（如图阴影部分）由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长减去圆心到弦的距离，若有弧长为 π ，半径为2的弧田，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是（ ）
A．1B．2C．322−1D．3
6．已知扇形OAB的圆心角为4，其面积是2cm2则该扇形的周长是（ ）
A．8cmB．6cmC．4cmD．2cm
7．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．2B．sin2C．2sinlD．2sin1
8．已知扇形的弧长是 5π ，面积是 15π ，则该扇形的圆心角的正切值等于（ ）
A．3B．−3C．33D．−33
9．下列判断正确的是（ ）
A．“若 sinx=csx, 则 x=π4 ”的逆否命题为真命题
B．∀x>0 ，总有 ex>1+sinx
C．二次函数 f(x)=x2−ax+1 在R上恒大于0的充要条件是 a<2
D．已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为1
10．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 π4 米，肩宽约为 π8 米，“弓”所在圆的半径约为 1.25 米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
（参考数据： 2≈1.414,3≈1.732 ）
A．1.012 米B．1.768 米C．2.043 米D．2.945 米
二、填空题
11．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为 平方米．
12．母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 .
13．一个扇形的中心角为2弧度，半径为1，则其面积为 ．
14．一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是 ．
15．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为 ,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为 .
三、解答题
16．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长是多少．
17．已知扇形OAB的周长是60cm，
（Ⅰ）若其面积是20cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数；
（Ⅱ）求扇形OAB的最大面积．
18．已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l，若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
人教B版（2019）数学高中必修第三册
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意可得扇形的面积S= 12rl=3π8 ，
解得 l=3π4 ，
所以扇形的圆心角为 lr = 3π4 ．
故答案为：C。
2.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：如图，
由题意可得∠AOB =2π3 ，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得∠AOD =π3 ，∠DAO =π6 ，OD =12 AO =12×4=2 ，
可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AOsin π3= 4 ×32= 2 3 ，
可得弦＝2AD＝4 3 ，
所以弧田面积 =12 （弦×矢+矢2） =12 （4 3× 2+22）＝4 3+2 平方米．
实际面积 =12⋅2π3⋅42−12⋅43⋅2=16π3−43 ，
16π3−83−2=0.907≈0.9 ．
可得A，B，D符合题意；C不符合题意．
故答案为：C．
3.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则
扇形的周长为l+2r=8，
∴弧长为：αr=2r，
∴r=2cm，
根据扇形的面积公式，得
S= 12 αr2=4cm2，
故选：A．
4.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：扇形面积计算公式 S=12lr = 12×3×π = 32 πcm2．
故选：B．
5.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】根据弧长公式，圆心角 α=lr=π2 ，根据勾股定理可得弦长 d=2r2=22 ，
根据题意可知矢的长度为 2−2 ，
根据公式可得弧田面积 =12 （弦 × 矢 + 矢 2 ） =12[22×(2−2)+(2−2)2]=1 .
故答案为：A.
6.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：设扇形的半径r，扇形OAB的圆心角为4弧度，弧长为：4r，
其面积为2cm2，
可得 12×4r×r =2，解得r=1．
扇形的周长：1+1+4=6cm．
故选：B．
7.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1
故半径为 1sinl
这个圆心角所对的弧长为2× 1sinl = 2sinl
故选C
8.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】设该扇形的圆心角为 α ，扇形所在圆的半径为 r ，
因为扇形的弧长是 5π ，面积是 15π ，
所以 rα=5π12⋅rα⋅r=15π ，解得： α=(rα)2r2α=25π30=56π ，
因此 tanα=tan56π=−33 .
故答案为：D.
9.【考点】四种命题的真假关系；充要条件；全称量词命题；扇形的弧长与面积
【解答】对A, 若 sinx=csx, 则 x=kπ+π4,k∈Z ,故原命题为假命题，则逆否命题为假命题，错误；
对B, 设 f(x)=ex−sinx−1(x>0),∴f'(x)=ex−csx>0 ，
则 f(x)=ex−sinx−1 单调递增，则 f(x)=ex−sinx−1>f(0)=1 ，正确；
对C, 二次函数 f(x)=x2−ax+1 在R上恒大于0的充要条件是 Δ=a2−4<0∴−2对D, 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的圆心角为1，则面积为 12 ，错误.
故答案为：B
10.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】由题：“弓”所在弧长 l=π4+π4+π8=5π8 ，其所对圆心角 α=5π854=π2 ，
两手之间距离 d=2×1.25≈1.768 .
故选：B
二．填空题
11.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】扇形的半径为 12 ，故面积为 12×12×20=120 （平方米），填 120 ．
故答案为120
12.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】因为圆锥的母线长为3、底面半径为1，所以圆锥的侧面展开图中半径为3，弧长为 2π ，
所以圆心角的弧度数为 2π3 .
故答案为： 2π3 .
13.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：∵扇形的中心角为2弧度，半径为1，
∴S= 12lr = 12×2×1×1 =1，
故答案为1．
14.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：∵扇形圆心角是1弧度，
∴扇形周长和面积为整个圆的 12π
弧长l=2πr• 12π =r
故扇形周长C=l+2r=3r=6，
∴r=l=2
扇形面积S=π•r2• 12π =2
故答案为：2
15.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为 2 ，由扇形的面积公式得 S=12⋅|α|⋅r2=12×2×12=1 .
故答案为：(1). 2 (2). 1
三．解答题
16．【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：根据题意知s=2，θ=4，
∵s=12θR2∴2=12×4×R2 即R=1
∵l=θR=4×1=4，
∴扇形的周长为l+2R=4+2=6
17．【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：（Ⅰ）设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则 12lr=20l+2r=60 ，
∴r=15+205l=4015+205 ，或 r=15−205l=4015−205 ，
∴圆心角为 1r =43﹣3 205 ，或43+3 205 ，
（Ⅱ）设扇形半径为r，弧长为l，则周长为2r+l=60，面积为s= 12 lr，
∵60=2r+l≥2 2r1 ，
∴rl≤450，
∴s= 12 lr≤ 12 ×450=225，可得扇形OAB的最大面积为225cm2．
18．【考点】基本不等式；扇形的弧长与面积
【解答】解：根据题意知l+2r=20即l=20﹣2r
∵s=121r，∴s=12×(20−2r)r=−(r−5)2+25
∴当r=5时smax=25，
又∵l=2r，∴10=α×5即α=2
∴扇形的面积的最大值是25，此时扇形圆心角的弧度数为2