高中人教B版 (2019)7.1.2 弧度制及其与角度制的换算练习

这是一份高中人教B版 (2019)7.1.2 弧度制及其与角度制的换算练习，共10页。试卷主要包含了【考点】扇形的弧长与面积等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动 73 π弧长到达Q，则Q点坐标（ ）
A．（﹣ 12 ， 32 ）B．（﹣ 32 ，﹣ 12 ）
C．（﹣ 12 ，﹣ 32 ）D．（﹣ 32 ， 12 ）
2．已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为 ( )
A．1B．4C．1或4D．2或4
3．若一扇形的圆心角为25π，半径为20cm，则扇形的面积为( )
A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2
4．已知圆 O 与直线 l 相切与点 A ，点 P,Q 同时从点 A 出发， P 沿直线 l 匀速向右、 Q 沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点 Q 运动到如图所示的位置时，点 P 也停止运动，连接 OQ,OP ，则阴影部分的面积 S1,S2 的大小关系是（ ）
A．S1≥S2
B．S1≤S2
C．S1=S2
D．先 S1S2
5．圆的半径是6cm，则30°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ）
A．π2cm2B．3π2cm2C．πcm2D．3πcm2
6．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂 BAC 是圆弧形，A是弧 BAC 的中点， D 是弦 BC 的中点，测得 AD=10 ， BC=60 （单位： cm ），设弧 AB 所对的圆心角为 θ （单位：弧度），则弧 BAC 的长为（ ）
A．30θB．40θC．100θD．120θ
7．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示，将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD)有15 cm，跨接了6个坐位的宽度(AB)，每个座位宽度为43 cm，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是( )．
A．250 cmB．260 cmC．295 cmD．305 cm
8．若一圆弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角弧度数为（ ）
A．π3B．3C．2π3D．2
9．已知a<0,则x0为函数fx=2ax−b的零点的充要条件是 （ ）
A．∃x∈R,ax2−bx≥ax02−bx0B．∃x∈R,ax2−bx≤ax02−bx0
C．∀x∈R,ax2−bx≥ax02−bx0D．∀x∈R,ax2−bx≤ax02−bx0
10．如图，半径都为1的三个圆两两相交，且弧长AB=弧长BC=弧长AC，弧长CD等于 ，则图中阴影部分的面积为（）
A．3πB．2πC．D．
二、填空题
11．已知圆锥底面半径为 r ，母线长是底面半径的3倍，底面圆周上有一点 A ，则一个小虫 P 自 A 点出发在侧面上绕一周回到 A 点的最短路程为 .
12．已知扇形的圆心角为 π6 ，弧长为 2π3 ，则该扇形的面积为 ．
13．已知矩形 ABCD ， AB=3 ， AD=1 ，现将 ΔACD 沿对角线 AC 向上翻折，若翻折过程中 BD 的长度在 [72,132] 范围内变化，则点 D 的运动轨迹的长度是 ．
14．扇形的圆心角是72°，半径为20cm，则扇形的面积为 cm2．
15．已知扇形POQ的半径为2，∠POQ=π3，如图所示，在此扇形中截出一个内接矩形ABCD（点B，C在弧PQ上），则矩形ABCD面积的最大值为 .
三、解答题
16．一个圆内切于圆心角为 π3 、半径R的扇形，求该圆的面积与该扇形的面积之比．
17．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是12cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？
18．某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．
（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系： Q(x)=170−0.05x ，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）
人教B版（2019）数学高中必修第三册
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
参考答案与试题解析
一．选择题
1.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：如图所示，
；
点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动 73 π弧长到达Q，
则∠POQ= 7π3 ﹣2π= π3 ，
∴∠xOQ= 2π3 ，
∴cs 2π3 =﹣ 12 ，sin 2π3 = 32 ，
∴Q点的坐标为（﹣ 12 ， 32 ）；
故选：A．
2.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】设扇形的圆心角为 α ，半径为 Rcm ，则 2R+α÷R=612R2·α=2 解得 α=1 或 α=4 ，
故答案为：C．
3.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】因为，扇形的圆心角为，半径为20cm，所以，扇形的面积为80cm2，故选B。
4.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解： ∵ 圆 O 与直线 l 相切，
∴OA⊥AP ，
∴S扇形AOQ=12⋅AQ⋅r=12⋅AQ⋅OA,S△AOP=12⋅OA⋅AP
∵AQ=AP
∴S扇AOQ=SΔAOP ，即 S扇AOQ−S扇AOB=SΔAOP−S扇AOB ，
则 S1=S2 .
故答案为：C
5.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：30°化为弧度为 π180 ×30= π6 ，
∴30°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是S= 12 αr2= 12×π6 ×62=3πcm2
故选：D．
6.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】如图，
作出弓形所在圆的圆心 O ，连接 AO ， BO ，
设圆半径为 r ，则在 RtΔBDO 中， 302+(r−10)2=r2 ，
解得 r=50 ，故弧 BAC 的长 50×2θ=100θ ，
故答案为：C.
7.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：如图所示，AB⏜为弯管，AB为6个座位的宽度，
则AB=6×43=258cm,CD=15cm，
设弧AB⏜所在圆的半径为r，则r2=(r-CD)2+AC2=(r-15)2+1292
解得r≈562cm，sin∠AOD=129562≈0.23
可以近似地认为sinx≈x，即∠AOD≈0.23
于是∠AOB≈0.46 ， AB⏜长≈562×0.46≈258.5，
所以260是最接近的，其中选项A的长度比AB还小，不可能，
因此只能选B，260或者由csx≈0.97， sin2x≈0.45⇒2x<π6
所以弧长<562×π6≈294 .
故选：B
8.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：如图所示，
△ABC是半径为r的⊙O的内接正三角形，
则BC=2CD=2rsin π3 = 3 ，
设圆弧所对圆心角的弧度数为α，
则rα= 3 ，
解得α= 3 ．
故选：B．
9.【考点】充要条件；函数零点的判定定理
【解答】由于a＞0，令函数y=ax2-bx=a(x-)2-，此时函数对应的开口向下，
当x=时，y取得最大值-．因为x0为函数f（x)=2ax-b的零点，所以x0满足关于x的方程2ax=b．所以有x0=时，ymax=ax02-bx0=-，那么对于任意的x∈R，都有y=ax2-bx≤-=ax02-bx0．
故答案选：D
10.【考点】扇形的弧长与面积
解答：解：如图：因为 = ，所以 ，
故图中阴影部分的面积为 ．
所以可得原题中阴影部分的面积为 ．
故选D．
二．填空题
11.【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；扇形的弧长与面积
【解答】解：如图，作出圆锥的侧面展开图。
由几何知识可得动点P自A出发在侧面上绕一周回到A点的最短路程为弧所对的弦AA′的长。
设展开图扇形的圆心角为 θ ，
∵圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，
∴由弧长公式得到 2πr=θ⋅3r ，
解得 θ=2π3 。
∴AA'=2×(3rsin60°)=33r 。
答案： 33r 。
12.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：∵扇形的圆心角为 π6 ，弧长为 2π3 ，
∴扇形的半径为4，
∴扇形的面积为 12×23π×4 = 4π3 ．
故答案为： 4π3 ．
13.【考点】扇形的弧长与面积；余弦定理
【解答】如图所示：
在矩形 ABCD 中，过点D作 DF⊥AC 交AC于点F，交AB于点G，
过点B作 BE⊥DF 交DF于点E，
所以点 D 的运动轨迹是以F为圆心，以DF为半径的圆弧，
∠DFE 为二面角D-AC-B的平面角.
因为 AB=3 ， AD=1 ，
所以 DF=AD×DCAC=32,∠ACB=π3,CF=32 ，
EF=sin∠ACB×BC=32 ， BE=CF−cs∠ACB×BC=1
翻折后 BE⊥DF ， BE⊥EFDF∩EF=F ，
所以 BE⊥ 平面DFE，
所以 BE⊥DE .
当 BD=72 时， DE=BD2−BE2=32 ， ΔDEF 时等边三角形，所以 ∠DFE=π3
当 BD=132 时， DE=BD2−BE2=32 ， cs∠DFE=DF2+EF2−DE22DF×EF=−12
所以 ∠DFE=2π3 ，
所以点 D 的运动圆弧所对应的圆心角为 2π3−π3=π3 .
所以点 D 的运动轨迹的长度是 αr=π3×32=3π6 .
故答案为： 3π6
14.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：由题意知扇形的圆心角是72°，半径为20cm，
∴扇形的面积是S= 72°360°π202 = 400π5 =80π，
故答案为：80π．
15.【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：作∠POQ的角平分线OE，交AD于F，BC于E，连接OC，
根据题意可知△AOD为等边三角形，则E为BC的中点，F为AD的中点，
设∠COE=α,α∈(0,π6)，
CE=OCsinα=2sinα，则AD=BC=2CE=4sinα，
则OF=32AD=23sinα，
OE=OCcsα=2csα，则AB=2csα−23sinα，
所以矩形ABCD的面积S=AB⋅BC=4sinα(2csα−23sinα)
=4sin2α+43cs2α−43=8sin(2α+π3)−43，
当2α+π3=π2，即α=π12时，S取得最大值8−43，
所以矩形ABCD面积的最大值为8−43.
故答案为：8−43.
三.解答题
16．【考点】扇形的弧长与面积
【解答】解：如图所示，
设内切圆的半径为r．
连接CE，OD（经过内切圆的圆心C）．
设内切圆的半径为r，在△OCE中，则CE= 12 OC，
∵OC+CD=OD，
∴2r+r=R，
∴r= 13 R．
S扇形= 12R⋅π3×R=π6R2 ．
∴该圆的面积与该扇形的面积之比= π(13R)2π6R2=23 ．
17.【考点】基本不等式在最值问题中的应用；扇形的弧长与面积
【解答】（1）解：设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α=60°= π3 ，R=10，
∴l=αR= 10π3 （cm）．
S弓=S扇﹣S△= 12 × 10π3 ×10﹣ 12 ×2×10×sin π6 ×10×cs π6
=50（ π3 ﹣ 32 ） （cm2）．
（2）解：扇形周长12=2R+l=2R+αR，
∴α= 12−2RR ，
∴S扇= 12 αR2= 12 • 12−2RR •R2
=﹣R2+6R=﹣（R﹣3）2+9．
当且仅当R=3cm，即α=2时，扇形面积最大，且最大面积是9cm2．
18.【考点】二次函数在闭区间上的最值；根据实际问题选择函数类型；基本不等式
【解答】（1）P(x)=12500x+40+0.05x
由基本不等式得 P(x)≥212500×0.05+40=90
当且仅当 12500x=0.05x ，即 x=500 时，等号成立
∴P(x)=12500x+40+0.05x ，成本的最小值为 元．
（2）设总利润为y元，则
y=xQ(x)−xP(x)=−0.1x2+130x−12500=−0.1(x+29750
当 x=650 时, ymax=29750
答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．