2024年山东省烟台市开发区九年级数学中考一模试题（原卷版+解析版）

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1.本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟.考试结来后，请将本试卷与答题卡一井交回.
2.合题前，务必用0.5毫来黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上.
3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用棉皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.非选择题必须用0.5毫来黑色签字笔作答，各案必须写在答题卡指定区域内相应位丑：如高改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.
5.数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验.
6.写在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效.
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.
1. 下列各数的相反数中，最大的是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，首先求出所给个数的相反数，然后根据有理数大小比较的方法，判断出所给的各数的相反数中，最大的是哪个数即可，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小．
【详解】解：、、1、的相反数分别是、、、1，
，
所给的各数的相反数中，最大的是．
故选：D．
2. 已知a=3.1×10﹣4，b=5.2×10﹣8，判断下列关于a﹣b之值的叙述何者正确？（ ）
A. 比1大B. 介于0、1之间C. 介于﹣1、0之间D. 比﹣1小
【答案】B
【解析】
【分析】由科学记数法还原a、b两数，相减计算结果可得答案．
【详解】∵a=3.1×10﹣4，b=5.2×10﹣8，
∴a=000031、b=0.000000052，
则a﹣b=0.000309948，
故选B．
【点睛】本题主要考查科学记数法﹣表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如果，那么m，n的值分别等于（ ）
A. 2，4B. 3，4C. 2，5D. 3，5
【答案】A
【解析】
【分析】根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法将等号左边化简，然后列方程即可.
【详解】解：
∵
∴
∴
解得：
故选A.
【点睛】此题考查的是幂的性质，掌握积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法将等号左边化简是解决此题的关键.
4. 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 主视图B. 左视图C. 俯视图D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称；根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可．
【详解】解：该几何体的三视图如下：
三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，
故选：C．
5. 已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（ ）

A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数．
【详解】∵解：四边形是平行四边形，
∴，，则，
∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，
∴是得垂直平分线，则，
所以，
那么，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键．
6. 如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点B作交于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点B作交于点F，

∵，
∴，
∵五边形正五边形，
∴°，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
7. 2011年春季因干旱影响，政府鼓励居民节约用水，为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭的月用水量，结果如下表：
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ）
A. 中位数是6吨B. 平均数是5.8吨
C. 众数是6吨D. 极差是4吨
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数和极差的概念，对选项一一分析，选择正确答案．
【详解】解：A、20个数据的中位数是第10、11个，都是6，
则中位数=（6+6）÷2=6(吨)，故该选项正确，不符合题意；
B、平均数=（4×4+5×5+6×7+8×3+9×1）÷20=5.8(吨)，故该选项正确，不符合题意；
C、数据6出现7次，次数最多，所以6是众数，故该选项正确，不符合题意；
D、极差为9-4=5(吨)，故该选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
8. 一般的，在数学中我们规定将实数，，…，中的最大数记为，例如.那么函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的图象，画出一次函数，，，如图，一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，根据函数图象比较大小可得，当时，，当时，，当时，，当时，，即可得出答案，熟练应用函数图象的性质进行求解是解决本题的关键．
【详解】解：画出一次函数，，，如图，
一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，一次函数与的交点横坐标为，由图象可知，
当时，，
所以；
当时，，
所以；
当时，，
所以；
当时，，
所以；
综上，函数的图象大致为A选项图形．
故选：A．

9. 如图，直线与y轴、x轴分别交于点A，B，点C为双曲线上一点， ，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是（ ）
A. B. 2C. 14D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：线段中点坐标公式，两直线平行时斜率满足的关系，坐标与图形性质，先确定出坐标，根据，利用两直线平行时斜率相等确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立表示出坐标，再利用线段中点坐标公式表示出坐标，代入反比例解析式中列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，熟练表示相关点的坐标是解题的关键．
【详解】解：对于直线，
令，得到，
，
，
直线解析式为，
与反比例解析式联立消去得：，
去分母得：，
解得：或（舍去），
．
，
为中点，
，
将坐标代入反比例解析式得：，
解得：．
故选：A．
10. 如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数的图象和性质依次判断即可，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴，
，，，
，
①正确．
当时，，
，
②错误．
抛物线过点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
③正确．
如图：
设，，
由图知，时，，
故④正确．
故选：C．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共计18分）
11. 因式分解：___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分组分解法分解因式，可以将后三项分为一组，即可写成平方差的形式，利用平方差公式分解因式．熟练将后三项可组成完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
12. 若x为实数，在“”的“口”中添上一种运算符号（在“”、“ ”、“ ”、“ ”中选择），其运算结果是有理数，则可能是___________.
【答案】或或（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，符合题意；
，符合题意；
，符合题意；
故答案为：或或（答案不唯一）．
13. 某科技有限公司为了鼓励员工创新，计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2022年全年投入的研发资金为100万元.2024年全年投入的研发资金为144万元，则平均每年增长的百分率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每年增长的百分率为，利用该公司2024年全年投入的研发资金该公司2022年全年投入的研发资金平均每年增长的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设平均每年增长的百分率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
平均每年增长的百分率为．
故答案为：．
14. 如图，是的直径，点、在上，，则______度．
【答案】120
【解析】
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则．
【详解】解：∵ ，是弧AC所对的圆周角，是弧AC所对的圆心角，
∴，
∴，
故答案为：120．
【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．
15. 如图，在直角坐标系中，点A是函数图象上的动点，1为半径作，已知点，连接，当与两坐标轴同时相切时，的值为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】此题重点考查一次函数的图象与性质、切线的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，分两种情况讨论，一是点在第一象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、，则，由切线的性质得轴，轴，所以，而，所以，则；二是点在第三象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、，则，所以，则，于是得到问题的答案．正确地作出画出两种图形是解题的关键．
【详解】解：如图1，点在第一象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、，
的半径长为1，
，
轴，轴，
，
点，
，
，
；
如图2，点在第三象限，设与轴、轴同时相切的切点分别为、，连接、，
，轴，轴，
，
，
，
，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
16. 在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点，，点C是第一象限内的一个动点，且.当最长时，点C的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形性质，根据得出点的运动轨迹，再由最长即可解决问题，能根据得出点的运动轨迹是解题的关键．
【详解】解：因为，，且，
所以可构造出以为圆周角的圆．
如图所示，
当点在的延长线与的交点处时，
取得最大值，即为的直径．
因为为的直径，
所以，
，且，
在中，，
即，
所以，
因此点的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本题共8个题，满分72分）
17. 阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题.
解方程组时，如果考虑常规的消元法(即代入消元法和加减消元法)那将非常麻烦！若用下而的方法，则轻而易举.
解：(1)-(2)，得，即(3).
(3)×16，得(4).
(2)-(4)，得.
把代入(3)得，即.
所以原方组的解是.
以上解法的技巧是根据方程的特点构造了方程(3)，我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，②①得出，求出③，①③求出，把代入③求出即可．
【详解】解：
②①得：，即：③，
①③得：，解得：，
把代入③得：，
所以原方程组的解为：．
18. 综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：

（1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；
（2）证明是等腰直角三角形即可.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
证明：连接，

设小正方形边长为1，则，，
，
为等腰直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
故
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
19. 学校把学生参与劳动教育情况纳入积分考核.学校抽取了部分学生的劳动积分(积分用x表示)进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图.
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中 ，等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）学校规定劳动积分大于等于学生为“劳动之星”.若该学校共有学生3000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率.
【答案】（1），
（2）该学校“劳动之星”大约有人
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查扇形统计图与统计表、概率；
（1）根据统计图可得抽取学生的总人数为50人，然后可得m的值，进而问题可求解；
（2）根据题意易知大于等于80的学生所占比，然后问题可求解；
（3）根据列表法可进行求解概率．
【小问1详解】
解：由统计图可知：D等级的人数有8人，所占比为，
∴抽取学生的总人数为（人），
∴，A等级对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为15，；
【小问2详解】
解：由题意得：
（人），
答：该学校“劳动之星”大约有人
【小问3详解】
解：由题意可列表如下：
从A等级两名男同学和两名女同学中随机选取2人进行经验分享，共有12种情况，恰好抽取一名男同学和一名女同学共有8种情况，所以抽取一名男同学和一名女同学的概率为．
20. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度.
【答案】树的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解，得到是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，，，
则，
，
，，
则，
，
，
则，
，
．
答：树的高度约为．
21. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元
（2）共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．
【解析】
【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解
【小问1详解】
解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
,
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
【小问2详解】
解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
22. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证：为圆的直径；
（2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）圆的半径长是
【解析】
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，即可得出是直径；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径；
【小问2详解】
解：∵是直径；
∴，
∵，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图（图1），点P是线段上与点，点不重合的任意一点，分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线.
（1）请直接写出（图）中与的形状关系 ；
（2）如（图2），在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，，在格点上请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹：
（3）如（图3），在矩形中，，，点是射线上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点
①设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②是否存在这样的点，使周长等于周长的倍？若存在，请求出的长度；若不在，请简要说明理由
【答案】（1）
（2）见解析 （3）①；②存在这样的点P，使周长等于周长的2倍，的长度为
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，函数关系式；
（1）根据三角形的外角的性质得出，进而结合，即可得证；
（2）根据新定义，画出等联角；
（3）①分当在线段上时即，当在的延长线上时，则时，证明，根据相似三角形的性质，写出函数关系式，即可求解；
②根据题意结合相似三角形的性质得出，联立解析式，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：
证明：∵，
∴
又∵
∴
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图所示（方法不唯一）
【小问3详解】
解：①当在线段上时即，如图所示，
∵
∴
∴
∴
∵，，，，
∴，
∴
∴
当时，即重合，此时重合，则，
∴
当在的延长线上时，如图所示，则时，
∵
∴
∴
∴
∵，，，，
∴，
∴
∴
∴
②∵
∴当周长等于周长的2倍时，
即，即
当时，，
解得：（舍去）或（舍去）
时，
解得：（舍去）或
∴存在这样的点P，使周长等于周长的2倍，的长度为
24. （1）如果四个点，，，中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上.
① ；
②如图1，已知菱形的顶点B，C，D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形的顶点B，D在该二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由；
（2）已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，直接写出m，n满足的等量关系式.
【答案】（1）①1；②；③是定值，（2）、满足的等量关系式为或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）①在中，令得，即知不在二次函数为常数，且的图象上，用待定系数法可得；
②设交轴于，设菱形的边长为，可得，故，，代入得，即可求解；
③过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，可得，，，，证明，有，，故，，即可得；
（2）过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，知，，分三种情况：①当，在轴左侧时，由，可得，，即可求解；②当在轴左侧，在轴右侧时，由，有，，即可求解；③当，在轴右侧时，，，即可求解．
【详解】解：（1）①在中，令得，
在二次函数为常数，且的图象上，不在二次函数为常数，且的图象上，
四个点、、、中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上，
二次函数为常数，且的图象上的三个点是、、，
把代入得：，
解得：，
故答案为：1；
②设交轴于，如图：
设菱形边长为，则，
，关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
把代入得：
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
③是为定值，理由如下：
过作轴于，过作轴于，如图：
点、的横坐标分别为、，
，，
，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
点、在轴的同侧，
，
；
（2）过作轴于，过作轴于，
点、的横坐标分别为、，
，，
①当，在轴左侧时，如图：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
，
；
②当在轴左侧，在轴右侧时，如图：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
或；
③当，在轴右侧时，如图：
，，，，
同理可得，
，，
，，
，
，
；
综上所述，、满足的等量关系式为或．月用水量（吨）
4
5
6
8
9
户数
4
5
7
3
1
等级
劳动积分
人数
男1
男2
女1
女2
男1
/
男1男2
男1女1
男1女2
男2
男1男2
/
男2女1
男2女2
女1
男1女1
男2女1
/
女1女2
女2
男1女2
男2女2
女1女2
/